Tính S kết quả để dưới dạng phân số tối giản Bài 2.. tam giác ABC cắt đường thẳng DE tại N.. Chứng minh rằng AM AN Bài 5.. Người ta điền vào mỗi ô vuông của bảng 1 số nguyên tùy ý sao c
Trang 1SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP THÀNH PHỐ
LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019
MÔN TOÁN Bài 1
a) Giải phương trình: 3 2 x 1 x 1
b) Cho
2.3 3.4 2020.2021
S
là tích của 2019 thừa số Tính
S (kết quả để dưới dạng phân số tối giản)
Bài 2
a) Biết ,a b là các số nguyên dương thỏa mãn a2 ab b 2chia hết cho 9
Chứng minh rằng cả a và b đều chia hết cho 3
b) Tìm số nguyên dương n sao cho 9 n 11là tích của k k ;k 2số tự nhiên liên tiếp
Bài 3.
a) Cho , ,x y z là các số thực dương nhỏ hơn 4
Chứng minh rằng trong các số
x y y z z xluôn luôn tồn tại ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng 1
b) Với các số thực dương , ,a b c thỏa mãn a2 b2 c2 2abc1
Tìm GTLN của biểu thức P ab bc ca abc
Bài 4 Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC .Đường tròn I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC CA AB lần lượt tại , , , , D E F Gọi S là giao điểm của
AI và DE
a) Chứng minh rằng IAB EAS
b) Gọi K là trung điểm của AB O là trung điểm của , BC Chứng minh rằng ba
điểm , ,K O S thẳng hàng
c) Gọi M là giao điểm của KI và AC Đường thẳng chứa đường cao AH của .
tam giác ABC cắt đường thẳng DE tại N Chứng minh rằng AM AN
Bài 5 Xét bảng ô vuông cở 10 10 gồm có 100 hình vuông có cạnh 1 đơn vị
Người ta điền vào mỗi ô vuông của bảng 1 số nguyên tùy ý sao cho hiệu hai số
Trang 2được điền ở hai ô chung cạnh bất kỳ đều có giá trị tuyệt đối không vượt quá 1 Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên xuất hiện trong bảng ít nhất 6 lần
Trang 3ĐÁP ÁN Bài 1.
a) Phương trình 3 2 x 1 x 1 (*), ĐKXĐ: x 1
Đặt
3 2
1
3
3 2 2
2
1
b x
Từ (*) ta có:a 1 b b 1 a
Thay b 1 avào hệ thức a3b2 1
2
1 1
1 9
1 0
x
x x
x x
x
Vậy phương trình có tập nghiệm S 1;2;10
b) Với n ta có: *
n n
Thay n 2;3 ;2020ta có:
1.2.3 2019 4.5.6 2022
2.3 3.4 4.5 2020.2021 2.3.4 2020 3.4.5 2021 2020.3 1010
Bài 2.
a) Ta có : a2 ab b 2 9 4a2 ab b 2 9 3a b 2 a b 2 9
(*)
3 a b 9 a b 9 a b Do đó 3
2 3
3 3
a
b
a b
b) Nhận xét : tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
Trang 4Ta thấy với n nguyên dương thì 9 n 11không chia hết cho 3 nên k 2
Đặt 9n 11a a 1với a nguyên dương Ta có
9n 11a a1 4.9n 45 4 a 4a1
2a 12 2.3n2 45 2a 1 2.3n 2a 1 2.3n 45
Vì ,a n nguyên dương nên 2 1 2.3 9 a n Ta có các trường hợp sau:
2 1 2.3 9
2 1 2.3 5
2 1 2.3 15
2 1 2.3 3
2 1 2.3 45
2 1 2.3 1
n
n n
n
n n
n
n
a
a
a
a
a
a
Vậy n1,k thỏa mãn bài toán2
Bài 3.
a) Ta có :
x y y z z x Áp dụng BĐT Bunhia ta có:
2
3
; 4
x y
4
y z ;
4
z x luôn luôn tồn tại ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng 1
b) Ta có
2P2 ab bc ca 2abc2 ab bc ca a b c 1 a b c 1 Mặt khác : a2 b2 c2 2abc 1 a b2 2abc c 2 1 a2 b2 a b2 2
Trang 5
2
a b
Do đó
a b c P P
Vậy GTLN của P là
5
8 Đạt được khi
1 2
a b c
Bài 4.
H
N
M O
K
S D
E F
I A
B
C
a) Ta có
Và EAS IAB nên IAB EAS
b) Ta có IABEAS ASE IBA IBD do đó tứ giác IBDS nội tiếp
ISB IDB
mà IAB 450nên ASB vuông cân tại S
có KA KB nên SK là trung trực của AB.
Trang 6Mặt khác ABC vuông có OB OC nên OA OB suy ra O đường trung trực của
AB Hay ba điểm , , K O S thẳng hàng.
c) Vì IA là phân giác của AMK nên
AK IK
AM IM .Áp dụng định lý Talet và hệ
IM FA AM FA FK FA Mặt khác ,
(2)
AN SA AK
ID SI FK
Từ (1) và (2) suy ra
FA ID mà FA ID nên AM AN
Bài 5.
Ta thấy 2 ô vuông ở hai góc của hình
vuông 10 10 là xa nhau nhất Gọi các số
được điền vào mỗi ô vuông đó lần lượt là
1; ; ;2 19
a a a Ta có:
1 2 1 1 1 2 1; 1 2 3 1
18 19
; ; 1 a a 1, cộng vế theo vế ta
có
Vậy a a1; ; ;2 a19là các số nguyên nên chỉ
có tối đa 19 số nguyên khác nhau được
điền vào trong bảng Có 100 ô vuông trên
bảng, nên theo nguyên lý Dirichle thì có ít
nhất một số xuất hiện trên bảng
100
1 6
19
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
A11 A12 A13 A14 A15 A16 A17 A18 A19