027 đề thi hsg toán 9 2019 2020 trường vu lan

Cho tam giác ABC M là một điểm thuộc cạnh , BC qua M kẻ các đường , thẳng song song với AC AB Chúng cắt ,,.

ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS VU LAN

Năm học 2019-2020 Câu 1.

1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 4x6 x2 6x6 3x2

2) Cho ,a b là các số thỏa mãn a b  và 0 a3  a b ab2  2  6b3  Tính giá trị 0. của biểu thức

4 4

B







Câu 2.Giải các phương trình:

3

3

3

2

2)

x

x x





Câu 3.

1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 20y2  6xy150 15 x

2) Tìm số nguyên tố p sao cho các số 2p2  1;2p2 3;3p2  đều là số nguyên 4 tố

Câu 4.

Cho tam giác ABC M là một điểm thuộc cạnh , BC qua M kẻ các đường , thẳng song song với AC AB Chúng cắt ,, AB AC tương ứng tại , N P

1) Gọi O là trung điểm của NP Chứng minh ba điểm , ,. A O M thẳng hàng

2) Giả sử đường thẳng NP cắt đường thẳng BC tại Q và

1 2

MB

MC  Tính tỉ số QB

QC

3) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác MNP có giá trị lớn nhất

Câu 5 Cho 0a b c; ;  thỏa mãn điều kiện :2 a b c   Tính giá trị lớn nhất của3 biểu thức A a 3 b3c3

ĐÁP ÁN Câu 1.

Vì a b  0 a2 ab3b2  0  *  a2b

Vậy biểu thức

B

Câu 2.

1) ĐKXĐ: x 2

3 3

3

x x





Đặt

 32

, 2

x

t

x





 ta được: t33t216 0 *  

2

2

2

3

2

x

x





Vậy x 1

2 13

6

3x 5 3x 1

Đặt

2

x

  

ta có phương trình:

2

1

( ) 2

a

a tm







 



Với

2

2

x

Với

2

4 ( )

1

( ) 2

x tm

x

x tm







 



Vậy nghiệm của phương trình là

,

x x 

Câu 3.

1) Ta có:

2

Xét 5 trường hợp sau:

2 5 1 10 2 5 25 58

70

2 5 5

y





(ktm)

 Vậy x y ;   10;3 ; 58;15   

2) Vì p là số chính phương nên 2 2

p chia cho 7 có số dư là 0;1;2;4

Nếu p27 p7 p7

Khi đó 2p  2 1 2.72 1 97 là số nguyên tố

2p  3 2.7  3 101là số nguyên tố

3p  4 3.7  4 151là số nguyên tố

+)Nếu p chia 7 dư 1 thì 2 3p  2 4 7 suy ra trái với đề bài

)

 Nếu p chia 7 dư 2 thì 2 3p  2 1 7 suy ra trái với đề bài

+)Nếu p chia 7 dư 4 thì 2 2p  2 1 7 suy ra trái với đề bài

Vậy p 7

Q

N

P A

a) Xét tứ giác APMN có:

/ / ( ) / / ( )

APMN







 là hình bình hành có O là

trung điểm của đường chéo NP nên O cũng là trung điểm của đường chéo

AM Vậy ba điểm , , A O M thẳng hàng.

b) Theo giả thiết:

MC   BC BA AC 

1 2

QM MN

QM MC

QC PC   

Mà

1

QC

c) Kẻ đường thẳng vuông góc với MN AC tại , , H K Ta có:

1

2

S  S  S

lớn nhất khi S ANMPlớn nhất

Ta có:

1

2

2

AMNP ABC

Đặt

BM x MC y

AC x y BK x y

AMNP

ABC



NMP

S

 lớn nhất bằng

1

4S ABC khi x y  hay M là trung điểm của BC

Câu 5.

Vai trò của , ,a b c là như nhau, giả sử a b c 

Ta có: 3a a b c    3 a1

Do 2  a 1 a 1 a 2  0 a2  3a 2 0

3

3

M a b c a b c b c bc a b c

Vậy giá trị lớn nhất của M là 9 khi a b c , ,  2,1,0và các hoán vị của chúng.