020 đề thi hsg toán 9 2019 2020 huyện trường mỹ

Cho tam giác ABC nhọn.. Các đường cao AD BE CF của tam giác ABC cắt , , nhau tại H 1 Chứng minh rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác AEF 2 Giả sử BAC 45 .0 Hãy tính diện tích tứ g

ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 9 – HUYỆN TRƯỜNG MỸ

NĂM 2019-2020 Bài 1 Tim số ,a b trong sơ đồ sau :

b 9 a

14 8

6

19 13

7 9

20 22

8 10

12

Bài 2 Cho biểu thức

4

x A

x



a) Tìm x để A 1

b) Biết 1 19 8 3 19 8 3 1

2

, hãy tìm giá trị của

3 : 2 2

x

x







c) Tìm giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên, khi

3 :

2

x

P A

x







d) Tìm x để A. x  25 x   x 4 x16 9 x

Bài 3.

1) Tìm m để phương trình

1



  vô nghiệm 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y x  2 1  x với 0 x 1 3) Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

x  y  xy 

Bài 4.

1) Cho x  2 1. Hãy tính giá trị của D x 5 x4  3x3  4x26x2022 2) Tìm ,a b để P x  3x3ax2 bx9chia hết cho Q x  x2  9

3) Cho , ,a b c là ba số thực bất kỳ.

Chứng minh bất đẳng thức :

2

a b c a b c  

Bài 5 Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao AD BE CF của tam giác ABC cắt , ,

nhau tại H

1) Chứng minh rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác AEF

2) Giả sử BAC 45 0 Hãy tính diện tích tứ giác BCEF Biết diện tích tam giác. ABC là 60cm2

3) Chứng minh rằng:

D



4) Chứng minh : Điểm H cách đều 3 cạnh của DEF

BC  AC  AB 

ĐÁP ÁN Bài 1.

Quy luật: tổng 2 số hàng dưới chia 2 rồi trừ 2 được số ở hàng trên giữa hai số đó Tính được a5,b5

Bài 2.

a) Điều kiện : x4,x0

Rút gọn 2

x A

x





Do

2

x

Kết hợp với điều kiện ta có kết luận: 0 x 4

b) Tính được A 3

Từ đó suy ra :

2

x

x tm

x    

: 6



c) Tính được

3 1

x P

Để P nguyên thì

3

3 x , từ đó lập luận tìm x là 0;36;16;4

So sánh điều kiện và kết luận x 0;16;36

d) Thay Avào rồi biến đổi về dạng 5  x  32  x16  9 x

Đánh giá VT 5;VP  với mọi x DKXD5 

Dấu " " xảy ra  x9

Vậy x 9

Bài 3.

ĐK: x m x , 1

1) Biến đổi phương trình ban đầu về dạng mx 2 m  2

Nếu m  thì 0  2 có dạng 0 2x  , phương trinh vô nghiệm

Nếu

2

m



  

Để phương trình vô nghiệm thì x m x , 1

Khi

1 2

2

m m

x m m

m m









Khi

2

m



Vậy m  1; 2

2) Đặt 1 x t 0 t 1  x 1 t2

Thay vào ta được :

2

2 1

2 2 2

yt  t   t   

Vậy GTLN là

2  t 2  x2 3) Điều kiện : x0,y 0

Biến đổi phương trình ta được x 6  y 6 37

Lập bảng ta được kết quả :

x y ;   7;43 ; 43;7 ; 5; 31 ; 31;5        

Bài 4.

a) Từ x  2 1 biến đổi x2  2x 1 0

2019

D



b) Ta có: x2  9x 3 x3

Để cho P x chia hết cho   x 2 9

 

3 0

3 0

P P





 

 



 

27

3 9 3 72 0

b







c) Bất đẳng thức đã cho tương đương với :

2

2

3

a b c

 

 

a b2 b c2 c a2 0

Bất đẳng thức cuối đúng, kéo theo bất đẳng thức cần chứng minh cũng đúng Dấu " " xảy ra  a b c 

Bài 5.

H F

E

D

A

B

C

1) Chứng minh

( )

AEF ABC c g c

  

2) EABvuông tại E và có  A 450

2

EA EA EAB

AB AB

  (câu a)

1 2

AE k

AB

2 2

2

30

60 30 30

AEF

ABC

S

S

2



2

2

2

2 2

DC DC BD







4) AEF ABC(chứng minh câu a) AFEACB

Chứng minh tương tự câu a BDF BAC BFDACB

       là phân giác của EFD

Chứng minh tương tự ta có EB là phân giác của FED

Nên H là giao điểm ba đường phân giác của DEF

Vậy H cách đều ba cạnh của DEF

5)S BHC S CHA S AHB S ABC

( )

HEC AFC g g

 

HBC ABC

Tương tự:

HB HA S HA HC S

AC BC S AB BC S Do đó:

1

ABC

Chứng minh được : x y z  2 3xy yz zx    *

Áp dụng  * ta có:

2

3