047 đề hsg toán 9 hà tĩnh 21 22

Một đường tròn  I tiếp xúc với hai nửa đường tròn đã cho và tiếp xúc với cạnh của hình vuông.. Lần thứ hai xóa đi 2 số bất kỳ và viết tổng của chúng lên bảng và cứ tiếp tục như vậy.. G

SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 9 NĂM HỌC 2021-2022

MÔN TOÁN

Thời gian làm bài : 120 phút

I.PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)

Câu 1.Cho

3 3

1

2 3

2 3

 Tính giá trị của biểu thức P a 3  3a 2022

Câu 2.Tính giá trị của biểu thức

.

     

Câu 3.Cho các số x y z, , thỏa mãn x y ; 0và

 





 

 Tính giá trị của biểu thức 2

2 2

2 3

2

P







Câu 4 Giải phương trình

1

2 x 3x 2 3

x

Câu 5.Giải hệ phương trình

    





   



Câu 6.Tìm bốn chữ số tận cùng của 52022viết trong hệ thập phân

Câu 7.Cho hình vuông cạnh 2avà hai nửa đường tròn bán kính cùng bằng a, tiếp xúc nhau như hình vẽ Một đường tròn  I tiếp xúc với hai nửa đường tròn đã cho

và tiếp xúc với cạnh của hình vuông Tính diện tích của hình tròn  I

Câu 8.Cho đường thẳng  d :y m x   23với

3

2

Biết rằng đường thẳng

 d luôn cắt trục tọa độ Ox Oy, tại hai điểm A B, phân biệt Tính giá trị nhỏ nhất của

Câu 9.Cho tam giác nhọn ABCcân tại A, đường cao AD,trực tâm H biết

AH  cm BH  14 cm Tính độ dài đoạn AD

Câu 10 Trên bảng có 2022 số tự nhiên khác nhau từ 1 đến số 2022 Lần thứ nhất

xóa đi 2 số bất kỳ và viết tổng của chúng lên bảng, lúc này trên bảng còn 2021 số Lần thứ hai xóa đi 2 số bất kỳ và viết tổng của chúng lên bảng và cứ tiếp tục như vậy Hỏi lần thứ 2021, trên bảng còn lại số nào ?

II PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)

Câu 11.Giải phương trình nghiệm nguyên x42x36x2 4y232x4y39 0

Câu 12.Cho đường tròn  O đường kính BCvà điểm A di động trên đường tròn

 O (A khác Bvà C) Gọi Hlà chân đường vuông góc kẻ từ Ađến cạnh BCcủa tam giác ABC.Gọi D là trung điểm của HC.Qua Hkẻ đường thẳng vuông góc với AD

cắt ABtại E

a) Chứng minh rằng HD HE AD AH.

b) Chứng minh rằng Blà trung điểm của AE.Tìm quỹ tích điểm E

Câu 13 Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn ab a b  3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 1

P



ĐÁP ÁN I.PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)

Câu 1.Cho

3 3

1

2 3

2 3

 Tính giá trị của biểu thức P a 3 3a 2022

2 3



Câu 2.Tính giá trị của biểu thức

.

     

Ta có:

1

2022 2

x

A



Câu 3.Cho các số x y z, , thỏa mãn x y ; 0và

 





 

 Tính giá trị của biểu

thức

2

2 2

2 3

2

P







Ta có :

7

5

z x

P

y









Câu 4 Giải phương trình

1

2 x 3x 2 3

x

ĐKXĐ:

2 3

x 

Ta có :

 

2

2

1

2

3 1

2

x

x

x





      



Câu 5.Giải hệ phương trình

    





   



ĐKXĐ:

1 0

x

y









 Ta có : x2y x 1 x2 8y2  x2  4y2 x2y 4y2 2xy0

x 2y x  2y x 2y 2y x 2y 0 x 2y x  4y 1 0

Vì

1

2 0.

0

x

y





  





 Do đó x4y1thay vào phương trình x y y x 1 x 2y được :

4y 1 y y 4y  4y  1 2y 2y 1  y 1   0 y   1 y 1

Hệ phương trình có nghiệm x y ;  5;1

Câu 6.Tìm bốn chữ số tận cùng của 5 2022viết trong hệ thập phân

Ta có : 5 8  1 5 4  1 5  4  1  16.39 5 4   1 16

Do đó 5 2022  5 5 6 8 252  5 5 6  8  1252 5 6  5 6

(mod 10000).Mà 56  15625

Do đó 4 chữ số tận cùng là 5625

Câu 7.Cho hình vuông cạnh 2avà hai nửa đường tròn bán kính cùng bằng a, tiếp xúc nhau như hình vẽ Một đường tròn  I tiếp xúc với hai nửa đường tròn đã cho và tiếp xúc với cạnh của hình vuông Tính diện tích của hình tròn

 I

Gọi điểm tiếp xúc của 2 nửa đường tròn là E Hình vuông ABCD,đường tròn  I tiếp xúc với AD tại P cắt PE tại Q và tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tại N Kẻ tiếp tuyến chung của đường tròn (I) với đường tròn (O) cắt AD tại M

Ta có MP MN MDnên PNDvuông tại N

    thẳng hàng Dễ dàng chứng minh được DPEOlà hình vuông Xét DPQvà ODM có :

2

Suy ra diện tích hình tròn  I là

2 16

a



Câu 8.Cho đường thẳng  d :y m x   23với

3

2

Biết rằng đường thẳng  d luôn cắt trục tọa độ Ox Oy, tại hai điểm A B, phân biệt Tính giá trị nhỏ nhất của 2 2

Gọi I x y 0 ; 0là điểm cố định mà đường thẳng  d luôn đi qua với mọi m

Khi đó ta có : y0 m x 0  2  3 m x 0  2  3 y0với mọi m

Suy ra



  Suy ra tọa độ điểm I2;3 Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ Ođến AB

Áp dụng hệ thức lượng ta có : 2 2 2 2

13

13

Min

Câu 9.Cho tam giác nhọn ABCcân tại A, đường cao AD,trực tâm H biết

AH  cm BH  14 cm Tính độ dài đoạn AD

K

D

A

Gọi E là giao điểm của BH với AC Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC

Dễ dàng chứng minh được BHCKlà hình thoi ta có :

Hay ABKvuông tại B

Ta có BH2 BK2 KD KA. Đặt HD x   0 KD x

2

Do đó

7 105

Câu 10 Trên bảng có 2022 số tự nhiên khác nhau từ 1 đến số 2022 Lần thứ nhất xóa đi 2 số bất kỳ và viết tổng của chúng lên bảng, lúc này trên bảng còn

2021 số Lần thứ hai xóa đi 2 số bất kỳ và viết tổng của chúng lên bảng và cứ tiếp tục như vậy Hỏi lần thứ 2021, trên bảng còn lại số nào ?

Mỗi lần xóa đi hai số a,b lại viết thêm lên bảng số bằng a b nên tổng các số trên bảng không thay đổi Do đó sau 2021 lần thực hiện thì trên bảng còn số

2022.2023

2

II PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)

Câu 11.Giải phương trình nghiệm nguyên x42x36x2 4y232x4y39 0

Ta có :

  2   2

4 2 3 6 2 4 2 32 4 39 0 2 2 10 2 1

Suy ra x2 2x 10là số chính phương

Đặt x2  2x 10 a2  a2  x 12   9  a  x 1  a  x 1 9,a 

Do a  x1 a x1và a  x1 0 nên chỉ xảy ra các trường hợp sau :

18 5

1 4

3

2

y x

x

x

y

 

 



    



4

1 3

y



     





Vậy phương trình có tập nghiệm x y  ;    3;3 , 3;2 , 1;5 , 1; 4 , 5; 17 , 5;18             

Câu 12.Cho đường tròn  O đường kính BCvà điểm A di động trên đường tròn  O (A khác Bvà C) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ Ađến cạnh

BCcủa tam giác ABC.Gọi D là trung điểm của HC.Qua Hkẻ đường thẳng vuông góc với ADcắt ABtại E

I

E

K

D

B

A

a) Chứng minh rằng HD HE AD AH.

Ta có BAC 90   CADAEH và ACDBAH

( )

b) Chứng minh rằng Blà trung điểm của AE.Tìm quỹ tích điểm E

Mặt khác ADC∽ EHA

2

Hay B là trung điểm của AE

Gọi I là điểm đối xứng với O qua B Ta có :

( )

Vì O B, cố định nên I cố định Do đó điểm E chạy trên đường tròn I OA; 

Câu 13 Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn ab a b   3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 1

P



Ta có

 

2

2

4

a b

a b   ab    a b  a b  

a b 2 a b 6 0 a b 2

        

a b  a b  ab a b  a b  Do đó :

2

2 2

2

P

Áp dụng BĐT Cauchy ta có :

2

a b

a b

3

12 a b a b 2 a b 2

    Do đó :

3

P

Vậy

1

1 6

Max P  a b 