Đề khảo sát lớp chọn hsg 12 năm học 2019 2020(cc)c

ới đồ thị hàm số tại các ất, lớn nhất.. ủa các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các bi u th c.ể đồ thị hàm số ứng minh rằng 3 2... Cán b coi thi không gi i thích gì thêm.. Cán bộ coi thi

S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O HÀ N I Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ẠO HÀ NỘI ỘI

TR ƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN-ĐỐNG ĐA NG THPT LÊ QUÝ ĐÔN-Đ NG ĐA ỐNG ĐA

(Đ g m 01 trang ềgồm 01 trang ồm 01 trang )

Đ KH O SÁT CH N Đ I TUY N HSG 12 Ề KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG 12 ẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG 12 ỌN ĐỘI TUYỂN HSG 12 ỘI TUYỂN HSG 12 ỂN HSG 12

MÔN: TOÁN NĂM H C: 2019-2020 ỌN ĐỘI TUYỂN HSG 12

Th i gian làm bài 180 phút ời gian làm bài 180 phút

Câu 1(4 đi m ểm ).

Tìm m đ đ th hàm s ể đồ thị hàm số ồ thị hàm số ị hàm số ố y x 3 3x2mx 2 m c t tr c hoành t i 3 đi m phânắt trục hoành tại 3 điểm phân ục hoành tại 3 điểm phân ại 3 điểm phân ể đồ thị hàm số

bi t ệt A B C, , sao cho t ng h s góc c a các ti p tuy n v i đ th hàm s t i cácổng hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các ệt ố ủa các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các ếp tuyến với đồ thị hàm số tại các ếp tuyến với đồ thị hàm số tại các ới đồ thị hàm số tại các ồ thị hàm số ị hàm số ố ại 3 điểm phân

đi m ể đồ thị hàm số A B C, , b ng 3.ằng 3

Câu 2(6 đi m ểm )

a Gi i phải phương trình: ương trình: ng trình: 2sin 2xcos 2x 2 2 sin 2 cos x xsinx2cos x

b Gi i h phải phương trình: ệt ương trình: ng trình:

2







Câu 3(4 đi m ểm )

Cho dãy số  u xác đ nh b i n ị hàm số ởi

2 1

2020

2019

u

n















n

n

S

Câu 4(4 đi m ểm ).

Cho hình chóp tam giác đ u ều S ABC có c nh đáy b ng 1 G i . ại 3 điểm phân ằng 3 ọi M N, là hai đi m ể đồ thị hàm số thay đ i l n lổng hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các ần lượt thuộc các cạnh ượt thuộc các cạnht thu c các c nhộc các cạnh ại 3 điểm phân AB AC, sao cho m t ph ng ặt ẳng SMN luôn vuông 

góc v i m t ph ngới đồ thị hàm số tại các ặt ẳng ABC Đ t ặt AM x AN, y.

a Ch ng minh r ng ứng minh rằng ằng 3 x y 3 xy

b Tìm ,x y đ ể đồ thị hàm số SMN có di n tích bé nh t, l n nh t.ệt ất, lớn nhất ới đồ thị hàm số tại các ất, lớn nhất

Câu 5(2 đi m ểm ).

Cho a b c, , là các s th c dố ực dương thoả mãn ương trình: ng tho mãn ải phương trình: a b c   Tìm giá tr l n nh t c a3 ị hàm số ới đồ thị hàm số tại các ất, lớn nhất ủa các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các

bi u th c.ể đồ thị hàm số ứng minh rằng

3

2

P

- H T ẾT

-Thí sinh không s d ng tài li u Cán b coi thi không gi i thích gì thêm ử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ộ coi thi không giải thích gì thêm ải thích gì thêm.

ĐÁP ÁN Đ KH O SÁT CH N Đ I TUY N H C SINH GI I 12 Ề KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG 12 ẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG 12 ỌN ĐỘI TUYỂN HSG 12 ỘI TUYỂN HSG 12 ỂN HSG 12 ỌN ĐỘI TUYỂN HSG 12 ỎI 12

1

Tìm m đ đ th hàm s ể đồ thị hàm số ồ thị hàm số ị hàm số ố y x 3 3x2mx 2 m c t tr c hoành t i 3 đi m phânắt trục hoành tại 3 điểm phân ục hoành tại 3 điểm phân ại 3 điểm phân ể đồ thị hàm số

bi t ệt A B C, , sao cho t ng h s góc c a các ti p tuy n v i đ th hàm s t i cácổng hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các ệt ố ủa các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các ếp tuyến với đồ thị hàm số tại các ếp tuyến với đồ thị hàm số tại các ới đồ thị hàm số tại các ồ thị hàm số ị hàm số ố ại 3 điểm phân

đi m ể đồ thị hàm số A B C, , b ng 3.ằng 3

4

Đ th hàm s c t tr c hoành t i 3 đi m phân bi t khi và ch khi phồ thị hàm số ị hàm số ố ắt trục hoành tại 3 điểm phân ục hoành tại 3 điểm phân ại 3 điểm phân ể đồ thị hàm số ệt ỉ khi phương trình ương trình: ng trình

1,0

Phương trình: ng trình (1) có 3 nghi m phân bi t ệt ệt  x2 2x m  2 0 (2) có hai nghi mệt

phân bi t khác 1ệt

(*)

3

m

m m



1,0

G i ọi x x là nghi m c a ph ng trình (2), suy ra t ng h s góc ti p tuy n c a1, 2 ệt ủa các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các ương trình: ổng hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các ệt ố ếp tuyến với đồ thị hàm số tại các ếp tuyến với đồ thị hàm số tại các ủa các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các

đ th hàm s t i giao đi mồ thị hàm số ị hàm số ố ại 3 điểm phân ể đồ thị hàm số A B C, , là:

2

1,5

T ng HSG c a các ti p tuy n b ng 3 ổng hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các ủa các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các ếp tuyến với đồ thị hàm số tại các ếp tuyến với đồ thị hàm số tại các ằng 3  9 3 m 3 m (t/m đk (*)).2

ĐS: m 2

0.5

2

a

Gi i phải phương trình: ương trình: ng trình: 2sin 2xcos 2x 2 2 sin 2 cos x xsinx2cosx

1,0

2

c

 

1

2

c





 



0.5





0.5

+ (2) x 4 k x 4 k2

,

K t lu n phếp tuyến với đồ thị hàm số tại các ận phương trình có 3 họ nghiệm ương trình: ng trình có 3 h nghi mọi ệt : ………

b Gi i h ph ng trình: ải phương trình: ệt ương trình:

2





Vi t l i h : ếp tuyến với đồ thị hàm số tại các ại 3 điểm phân ệt

2





Đ t ặt u x 22 ,x v x y  D có: ễ có: u  1

H tr thành: ệt ởi

2

u v

u v







 



0.5

Suy ra:

1 1

u v









Ta có

1

x y



1 0

x

y









3

Cho dãy số  u xác đ nh b i: n ị hàm số ởi

2 1

2020

, 2019

u

n















n

n

S

4

Ta ch ng minh ứng minh rằng u n    1, n *(1) b ng phằng 3 ương trình: ng pháp qui n p toán h c.ại 3 điểm phân ọi

V i ới đồ thị hàm số tại các 1

2020

2019

đúng v i ới đồ thị hàm số tại các n  1

Gi s (1) đúng v i ải phương trình: ử (1) đúng với ới đồ thị hàm số tại các n k k ( 1) ta có u k 1gtqn Ta ph i ch ng minh (1) đúng ải phương trình: ứng minh rằng

v i ới đồ thị hàm số tại các n k  t c là ph i ch ng minh 1 ứng minh rằng ải phương trình: ứng minh rằng u k1 1

Th t v y ận phương trình có 3 họ nghiệm ận phương trình có 3 họ nghiệm

1,0

Theo nguyên lý qui n p toán h c ta có ại 3 điểm phân ọi u n    1, n *

M t khác ặt u n1 u n u n2u n 0,   vì dãy số n * u  nên dãy s n 1 ố  u là dãy s ố n

tăng

V i m i k ới đồ thị hàm số tại các ọi  N*, ta có :

1



S



1,0

Ta ch ng minh dãy s ứng minh rằng ố  u là dãy s không b ch n n ố ị hàm số ặt

Gi s ph n ch ng dãy s (uải phương trình: ử (1) đúng với ải phương trình: ứng minh rằng ố n) b ch n Do dãy s ị hàm số ặt ố  u là dãy tăng (cmt) nên ta có n

dãy  u tăng và b ch n thì dãy s n ị hàm số ặt ố  u có gi i h n h u h n.Gi s n ới đồ thị hàm số tại các ại 3 điểm phân ữu hạn.Giả sử ại 3 điểm phân ải phương trình: ử (1) đúng với lim u n  a

Vì u  n 1

Nên ta có a  T đ nh nghĩa 1 ừ định nghĩa ị hàm số 2u n1u n22u n Chuy n qua gi i h n ta có:ể đồ thị hàm số ới đồ thị hàm số tại các ại 3 điểm phân

 2a = a2 + 2a  a = 0 Mâu thu n v i a ≥1.ẫn với a ≥1 ới đồ thị hàm số tại các

1,0

V y gi s sai, suy ra dãy ận phương trình có 3 họ nghiệm ải phương trình: ử (1) đúng với  u không b ch n trên do n ị hàm số ặt  u là dãy tăng nên n

 

2020

4

O

H A

C

B S

N

M

a

Ch ng minh ứng minh rằng x y 3xy

K ẻ SOMN O MN,  do SMN  ABC SOABC

Do hình chóp S ABC là hình chóp đ u nên ều O là tâm đ ng tròn ngo i ti p tamương trình: ại 3 điểm phân ếp tuyến với đồ thị hàm số tại các

giác ABC

1,0

G i ọi H là trung đi m c a ể đồ thị hàm số ủa các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các BC Và O là tr ng tâm c a tam giác ọi ủa các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các ABC

Ta có

2

Vì MAB N, AC

x AM  y AN  xy AO

Do M N O, , th ng hàng nên ẳng x y 3 xy (đpcm)

1,0

1 2

nh nh t khiỏ nhất khi ất, lớn nhất MN nh nh t và ỏ nhất khi ất, lớn nhất

1 2

l n nh t khi ới đồ thị hàm số tại các ất, lớn nhất MN l n nh tới đồ thị hàm số tại các ất, lớn nhất

1,0

T gi thi t ta có ừ định nghĩa ải phương trình: ếp tuyến với đồ thị hàm số tại các 0x y; 1

T (1) ta cóừ định nghĩa

4

9

2

0.5

Đ t t = xy,ặt

4 1

9 2

L p b ng bi n thiên c a hàm sận phương trình có 3 họ nghiệm ải phương trình: ếp tuyến với đồ thị hàm số tại các ủa các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các ố  

9 2

f t  t  t t  

  ta đượt thuộc các cạnhc

MN nh nh t khi ỏ nhất khi ất, lớn nhất

MN l n nh t khiới đồ thị hàm số tại các ất, lớn nhất

1 1

1 2

2

x

y











ho c ặt

1 2 1

x y









 



0,5

Cho a b c, , là các s th c dố ực dương thoả mãn ương trình: ng tho mãn ải phương trình: a b c   Ch ng minh r ng:3 ứng minh rằng ằng 3

3

2

1

2

P

Áp d ng b t đ ng th c: ục hoành tại 3 điểm phân ất, lớn nhất ẳng ứng minh rằng    

2

x y z   xy yz zx  x y z 

V i ới đồ thị hàm số tại các a b c , , 0ta có:

ab bc ca  2 3abc a b c    9abc 0 ab bc ca  3 abc

Ta có: 1a 1b 1c 1 3 abc3 a b c, , 0

Th t v y:ận phương trình có 3 họ nghiệm ận phương trình có 3 họ nghiệm

0.5

3 3

2

6 1

3 1

P

abc abc





Đ t: ặt 6abc t  3abc t 2, abc t 3.

Vì a b c , , 0 nên

3

3

a b c

0.5

2

3 2 3

3 1

t

t t





Suy ra f t( ) đ ng bi n trên ồ thị hàm số ếp tuyến với đồ thị hàm số tại các f t( ) trên (0;1] ta có f t( )f(1) 1,  t (0;1]

0.5

     

3

2

1

D u ‘=’ x y ra khi ất, lớn nhất ải phương trình: a b c   1

V yận phương trình có 3 họ nghiệm MaxP 1khi a b c  1

0.5

L u ý: H c sinh gi i cách khác mà đúng v n cho đi m t i đa ưu ý: Học sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa ọc sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa ải thích gì thêm ẫn cho điểm tối đa ểm tối đa ối đa