Hsg khối 11 thpt nho quan a ninh bình 2018 2019

Cắt tứ diện bởi một mặt phẳng song song với AB, CDsao cho thiết diện đó là một hình thoi... Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh SA a và vuông góc với mặt phẳng

THPT NHO QUAN A

ĐỀ THI HSG KHỐI 11

(Đề gồm 06 trang)

NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN: TOÁN Thời gian: 180 phút

Câu 6. Trên đoạn [- 2018; 2018]

phương trình sinx(2cosx- 3)=0

có tất cả bao nhiêu nghiệm ?

O

A a0, b0, c 0 B a0, b0, c 0

Trang 1

Câu 11. Số đường thẳng đi qua điểm M5;6

và tiếp xúc với đường tròn  C : (x1)2(y 2)2 1

a

32

a

33

a

63

a

Câu 15. Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C   , có M là trung điểm của đoạn thẳng BC Vectơ A M 

được biểu thị qua các vectơ AB AC AA, ,

Câu 16. Cho bốn điểm không đồng phẳng, ta có thể xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng

phân biệt từ bốn điểm đã cho?

Câu 23. Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên hai viên bi

Xác suất đề chọn được hai viên bi cùng màu là

Câu 24. Cho hình lăng trụ đều ABC A B C   có tất cả các cạnh bằng a (tham khảo hình bên dưới) Gọi

M là trung điểm của cạnh BC Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B C là

Trang 3

A

24

a

22



2 32

tính bằng mét Hỏi tại thời điểm nào thì vận tốc của vật nhỏ nhất?

A 3giây B 1giây C 2giây D 6giây

Câu 36. Cho hàm số

2

1

x y

Câu 39. Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 4 Điểm M là trung điểm của đoạn BC ,

điểm E nằm trên đoạn BM, E không trùng với B và M Mặt phẳng ( )P qua E và song

song với mặt phẳng (AMD Diện tích thiết diện của ( )) P với tứ diện ABCD bằng

4 2

9 Độ dài đoạn BE bằng

Câu 40. Cho hình chóp đều S ABCD Mặt phẳng    qua AB và vuông góc với mặt phẳng SCD

Thiết diện tạo bởi   

với hình chóp đã cho là:

A Hình thang vuông B Hình bình hành

Câu 41. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC 60

a

36

a

33

a

Trang 5

Câu 42. Biết rằng phương trình x5x33x1 0 có duy nhất một nghiệm x mệnh đề nào dưới đây 0,

Câu 43. Cho tứ diện ABCD có AB  , 6 CD 8 Cắt tứ diện bởi một mặt phẳng song song với AB,

CDsao cho thiết diện đó là một hình thoi Cạnh của hình thoi đó bằng





 có đồ thị  C

Số tiếp tuyến của đồ thị  C

song song với đường thẳng : y  làx 1

x 

C    3 x 2 D

133

4

n

u 

Câu 52. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x2 2mx 2m có tập xác định 3

là ?

Câu 53. Cho hình chóp S ABCD có đáy là một hình vuông, SA vuông góc đáy Gọi M , N lần lượt là

hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng SB , SD Gọi P là giao điểm của SC và

AMN

Khi đó góc giữa hai đường thẳng AP và MN bằng

A

23

Câu 54. Cho

 1

II PHẦN TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)

Câu 1 Giải phương trình

Câu 4 Trong mặt phẳng Ox cho đường tròn y   2 2

và C2

là A, viết phương trình đường thẳng đi

qua A cắt  C1

và C2

theo hai dây cung có độ dài bằng nhau

Câu 5. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh SA a và vuông góc với

mặt phẳng ABCD

.a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông

b) M là điểm di động trên đoạn BC và BM  , x K là hình chiếu của S trên DM Tính độ

dài đoạn SK theo a và x Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn SK

Trang 7

m m

Vậy có 5 số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 6. Trên đoạn [- 2018; 2018]

phương trình sinx(2cosx- 3)=0

có tất cả bao nhiêu nghiệm ?

2

x x

2 6

Vậy phương trình có 2571 nghiệm.

Câu 7. Trong tập giá trị của hàm số

Do y  ¢ nên y   1 0;  Vậy có 2 giá trị nguyên y

Câu 8. Cho hàm số y ax 2bx c có đồ thị như hình bên dưới Khẳng định nào sau đây đúng?

Trang 11

x y

O

Vì đồ thị quay bề lõm lên trên nên a  0, ta loại B

Đồ thị cắt trục oy tại điểm có tung độ âm nên c  0, ta loại C,D

2 (do a  0) ta có thể loại được D

Câu 9. Xét hàm số ytanx trên khoảng

Câu 10. Cho hàm số 1

ax b y

Câu 11. Số đường thẳng đi qua điểm M5;6

và tiếp xúc với đường tròn  C : (x1)2(y 2)2 1

sẽ có 2 đường thẳng tiếp xúc với đường tròn  C

 

3 3

lim

544

544

a

32

a

33

a

63

Từ giả thiết suy ra hình chóp B ACB. có các cặp cạnh BA BC BB đôi một vuông góc., ,

Câu 15. Chohình lăng trụ tam giác ABC A B C   , có M là trung điểm của đoạn thẳng BC Vectơ A M 

được biểu thị qua các vectơ AB AC AA, ,

Câu 16. Cho bốn điểm không đồng phẳng, ta có thể xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng

phân biệt từ bốn điểm đã cho?

Trang 15

Lời giải

Tác giả: Bui Bai; Fb: Bui Bai

Chọn B

 Cách 1:

Vì qua 3 điểm phân biệt không thẳng hàng ta xác định được một mặt phẳng duy nhất

 Số mặt phẳng được xác định từ 4 điểm không đồng phẳng là C 43 4.

 Cách 2:

Gọi A B C D, , , lần lượt là 4 điểm không đồng phẳng

 Các mặt phẳng nhiều nhất được xác định là: ABC , ABD , ACD , BCD

A'

B

A

C B'

và bằng DAD Từ giả thiết ta có DAD    60

Xét tam giác vuông DAD có DD AD.tan 60 a 3

Vậy cạnh bên của hình lăng trụ bằng a 3.

Câu 18. Tìm giới hạn sau

3

2 1



 Ta có cosx 4 0,x.Nên cosx  1 0 cosx 1 cosx (vì cos1 x  )1, x x k 2 , k .

.Với f  1 0

y x   y x

Câu 23. Một hộp đựng 4viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên hai viên bi Xác

suất đề chọn được hai viên bi cùng màu là

Câu 24. Cho hình lăng trụ đều ABC A B C   có tất cả các cạnh bằng a(tham khảo hình bên dưới) Gọi

M là trung điểm của cạnh BC Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B C là

A

24

a

22

a

Lời giải

Trang 19

Tác giả: Nhữ Văn Huấn; Fb: Huân Nhu

Chọn A

H I

C'

B' A'

M

C

B A

Từ giả thiết suy ra ABC là tam giác đều cạnh bằng a, các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông cạnh bằng a

Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình vuông BCC B  Từ M kẻ MH B C tại H  1

,

12

Mà BCC B  là hình vuông cạnh bằng a suy ra

22

m m

m m

2 0

2 0

x x

m m

M

M

x y

3sin x2 cos x m 2  sin2x2 sin 2xcos2 x  m 2  sin x m2  (1)

Vì 0 sin 2 x nên phương trình 1  1

x 

;

718

x 

Vậy có 4 nghiệm của phương trình thỏa yêu cầu đề bài là: x 6

x 

;

718

k k

Mà k   nên suy ra k  Suy ra hệ số lớn nhất là 9 a9 C1592 36 9

So sánh các hệ số a ,0 a và 9 a ta thấy 15 a lớn nhất Vậy 9 a là hệ số lớn nhất trong khai triển đã9

Trang 23

Ta có A  1;2 , 1;5 , 2;1 , 2;4 , 3;3 , 3;6 , 4;2 ; 4;5 , 5;1 , 5;4 , 6;3 , 6;6                       

Ta có tổng số các kết quả thuận lợi cho biến cố Alà n A   12

Xác suất của biến cố Alà

.Vậy a 1 thì hàm số liên tục tại x 1

Câu 33. Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằng a Khoảng cách giữa BB và AC bằng:

I A

a



2 32

tính bằng mét Hỏi tại thời điểm nào thì vận tốc của vật nhỏ nhất?

A 3giây B 1giây C 2giây D 6giây

Lời giải

Tác giả: Bồ Văn Hậu; Fb: Nắng Đông

Trang 25

Chọn B

Ta có s t   t3 3t29t 2 v t  s t 3t2 6t 9 3t12 6 6

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t 1

Hay tại thời điểm t 1 thì vận tốc của vật nhỏ nhất

Câu 36. Cho hàm số

2

1

x y

x y

n

n

n y

Câu 38. Từ các chữ số 1, 2, 3 , 4, 5 , 6 lập các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau Tính tổng tất cả các

Câu 39. Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 4 Điểm M là trung điểm của đoạn BC ,

điểm E nằm trên đoạn BM, E không trùng với B và M Mặt phẳng ( )P qua E và song song với mặt phẳng (AMD Diện tích thiết diện của ( )) P với tứ diện ABCD bằng

4 2

9 Độ dài đoạn BE bằng

a

Trang 27

Ta có

   

 / /

 nên suy ra   P  ABC

theo giao tuyến song song với AM

Từ đó, qua E ta kẻ EN/ /AM ( N AB ) thì   P  ABC EN

.Lập luận tương tự với mặt phẳng BCD

thì   P  BCDEF

và EF/ /MD

Khi đó thiết diện của ( )P với tứ diện ABCD là tam giác EFN

Gọi G là trọng tâm tam giác BCD , khi đó

23

x 

Câu 40. Cho hình chóp đều S ABCD Mặt phẳng    qua AB và vuông góc với mặt phẳng SCD

Thiết diện tạo bởi   

Gọi d là giao tuyến của mặt phẳng   

qua AB và vuông góc với mặt phẳng SCD.

Vì S ABCD là hình chóp đều nên AB/ /SCD, mà AB 

từ đó suy ra / /d AB

TH1: Đường thẳng d không có điểm chung với mặt bên SCD

Khi đó, mặt phẳng  

không cắt hình chóp Suy ra không tạo thành thiết diện

TH2: Đường thẳng d đi qua điểm S , khi đó mặt phẳng   là mặt phẳng SAB

không cắt hình chóp Suy ra không tạo thành thiết diện

TH3: Đường thẳng d trùng với đường thẳng DC , khi đó mặt phẳng  

là mặt phẳng

ABCD

không cắt hình chóp Suy ra không tạo thành thiết diện

TH4: Đường thẳng d cắt hai cạnh SC và SD

Gọi M  d SD N d,  SC thì thiết diện là hình thang AMNB

Vì đoạn MN song song và không trùng với CD nên ta suy ra MN CD hay hình thang

AMNB không là hình bình hành.

Ta chứng minh AM BN

Trong SDC có MN/ /CD nên MD NC Mặt khác ta có AD BC , ADM BCN (tính chất hình chóp đều)

Từ đó hai tam giác AMD và BNC bằng nhau (c-g-c), suy ra AM BN

Suy ra thiết diện tạo bởi   

với hình chóp đã cho là hình thang cân

Ta chứng minh thiết diện không là hình thang vuông

Trang 29

Giả sử hình thang cân AMNB là hình thang vuông thì ta suy được nó là hình chữ nhật, mâu thuẫn với MN CD

Kết luận: Thiết diện đã cho là hình thang cân

Câu 41. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC 60

a

36

a

33

Ta có: ABC   nên 60 ABC đều

Gọi H là trung điểm AB Từ đó suy ra CH AB (1) và

32

Tác giả: Trần Công Sơn; Fb: Trần Công Sơn

Câu 43.Cho tứ diện ABCD có AB 6, CD 8 Cắt tứ diện bởi một mặt phẳng song song với AB, CD

sao cho thiết diện đó là một hình thoi Cạnh của hình thoi đó bằng

Vì thiết diện song song với AB nên nó cắt (ABC) theo giao tuyến MN//AB như hình vẽ

Vì thiết diện song song với CD nên nó cắt (ACD), BCD

lần lượt theo các giao tuyến MQ,

NP cùng song song với AB

Do đó thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng song song với AB, CDlà hình bình hành MNPQ

Theo bài ra ta có thiết diện là hình thoi MNPQ

Gọi a là cạnh của hình thoi MNPQ0a6



 có đồ thị  C

Số tiếp tuyến của đồ thị  C

song song với đường thẳng : y  làx 1

y x

;1

x



0 0

02

x x

tại M0;1

là y x  (loại).1

 Với x  ta có 0 2 M  2;3

.Khi đó phương trình tiếp tuyến của  C

tại M  2;3

là y  x 5Vậy có 1 tiếp tuyến của  C

Câu 46. Cho cấp số cộng  u n với

3 4

1017

u d

x 

C    3 x 2 D

133

x x x x x

6

x x

x

Trang 33

Câu 49. Biết các số C C C n1, n2, n3 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với n  Tìm 3 n.

Cách 1: Trắc nghiệm: Thay giá trị n từ các đáp án vào phương trình ta thấy n  thỏa mãn.7

Cách 2: Tự luận: Điều kiện: n  , n 3

ta được: y xy  sinx  2

.Lấy đạo hàm 2 vế của  2

nên có 5 giá trị của m.

Câu 53. Cho hình chóp S ABCD có đáy là một hình vuông, SA vuông góc đáy Gọi M , N lần lượt là

hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng SB , SD Gọi P là giao điểm của SC và

AMN

Khi đó góc giữa hai đường thẳng AP và MN bằng

A

23

Số hạng không chứa x ứng với k   thỏa mãn x20 5 k x0  1 20 5 k  0 k 4

Vậy số hạng không chứa x là C104 Mà ta có 4 6

10 10

C C , nên số hạng không chứa x là C106 .

Câu 56. Cho biết

II PHẦN TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)

Câu 1 Giải phương trình

34

2 14 11

0311

k i

k i k i

1 13

.2

a) Tọa độ các giao điểm của  C1

và C2

thỏa AH1AH2, với H không trùng 1 H 2

Gọi M và 1 M lần lượt là trung điểm của 2 AH , 1 AH Vì 2 A là trung điểm của đoạn H H nên1 2

A là trung điểm của đoạn M M 1 2

Gọi I là trung điểm của đoạn O O1 2 I3;0

Ta có IA O M và // 1 1 O M1 1d nên IA d   d

có vtpt IA   1;3

và qua A2;3

Vậy phương trình đường thẳng d : 1x 23y 3   0 x 3y 7 0

+) TH2: Đường thẳng đi qua 2 điểm A B, cũng thỏa mãn

Ta có AB 0; 6 

Chọn VTPT của đường thẳng AB là n  1;0

Khi đó phương trình đường thẳng AB là 1x 20y 3  0 x 2 0

Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn cần tìm là x3y 7 0 và x  2 0

Câu 5. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh SA a và vuông góc với

mặt phẳng ABCD

Trang 39

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.

b) M là điểm di động trên đoạn BC và BM  , x K là hình chiếu của S trên DM Tính độ

dài đoạn SK theo a và x Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn SK

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Xuân Tiến Fb: Tien nguyen Ckte

Theo giả thiết SA ABCD SA AB

Tương tự, SDC vuông tại D (đpcm)

b)Theo giả thiết BM  x CM  a x

Do 0 x a   x a 2a2, dấu = xảy ra khi và chỉ khi x  0

SK đạt giá trị nhỏ nhất  giá trị biểu thức  

a

, đạt khi M B

Trang 41