Tìm x để AM và CN vuông góc với nhau.. Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Hiền ; Fb: Nguyễn Hiền... Vậy không có giá trị nào của mthỏa mãn bài toán đã cho... Vậy tập nghiệm của phương trình đã
Trang 1GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI HSG LỚP 10 THPT YÊN PHONG
2-BẮC NINH NĂM 2018-2019
MÔN TOÁN
Câu 1 (4 điểm).Cho hàm số y x 2 2m 3x 2m2 1
1) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1 khi m 0
2) Xác định m để đồ thị hàm số 1 cắt đường thẳng y3x1 tại hai điểm A B, phân biệt sao
cho OAB vuông tại O (với O là gốc tọa độ ).
Câu 2 (2 điểm).Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
2 1
2
x
xác định trên khoảng 1;3
Câu 3 (5 điểm).Giải phương trình:
1) x2 3x1 7 2 x
2) 3x 1 4x 3 5x4
3) 3x 3 5 2 x x 33x210x 26 0
Câu 4: (2 điểm).Giải hệ phương trình: ( )
4 2
1
x x y xy xy y
ïí
ïî
Câu 5 (3 điểm). Cho tam giác ABC có AB 1, AC x và BAC Các điểm 60 M , N được xác
định bởi MC 2MB
và NB 2NA
Tìm x để AM và CN vuông góc với nhau.
Câu 6 (2 điểm).Cho tam giác ABC Chứng minh rằng với G là trọng tâm tam giác ABC , ta có
1
6
GA GB GB GC GC GA AB BC CA
Câu 7 (2 điểm) Cho x y z, , 2018;2019 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2018.2019 2018.2019 2018.2019
f( , , )
x y z
LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Cho hàm số y x 2 2m 3x 2m2 1
1) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1
khi m 0
2) Xác định m để đồ thị hàm số 1
cắt đường thẳng y3x1 tại hai điểm A B, phân biệt sao
cho OAB vuông tại O (với O là gốc tọa độ ).
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Hiền ; Fb: Nguyễn Hiền
Trang 21) Khi m 0 ta được hàm số y x 23x2
*) Tập xác định: D
*) Tọa độ đỉnh:
3 1
;
2 4
I
*) Sự biến thiên: Vì a nên hàm số đồng biến trên khoảng 1 0
3
; 2
, nghịch biến trên
khoảng
3
; 2
*) Bảng biến thiên
*) Điểm đặc biệt
*) Đồ thị : Đồ thị là 1 đường parabol có đỉnh
3 1
;
2 4
I
, hướng bề lõm lên trên và nhận đường
thẳng
3 2
x
làm trục đối xứng
2) Phương trình hoành độ giao điểm của ĐTHS 1
và đường thẳng y3x1là:
x m x m x
Trang 32 2 2 3 0
*
Để ĐTHS 1
cắt đường thẳng y3x1tại 2 điểm phân biệt A B, phương trình *
có 2 nghiệm phân biệt 0
3 1
m m
Gọi x x là các nghiệm của phương trình 1, 2 *
,ta có
1 2
1 2
2
ĐặtA x 1;3x11 , B x 2;3x21
OAB
vuông tại O OA OB 0
10x x 3 x x 1 0
26m 31 0
31 26
m
( thỏa mãn) Vậy
31 26
m
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
2 1
2
x
xác định trên khoảng 1;3
Lời giải
Tác giả:Trần Thị Kim Xuyến ; Fb: Xuyen Tran
Hàm số xác định khi
1 0
x m
1 2
x m
Với điều kiện m 1 2m m thì hàm số có tập xác định là 1 Dm1; 2m
Vậy hàm số
2 1
2
x
xác định trên khoảng 1;3
1
m
1
m
0 3 2 1
m m m
Hệ vô nghiệm
Vậy không có giá trị nào của mthỏa mãn bài toán đã cho
Câu 3. Giải phương trình
1) x2 3x1 7 2 x
Lời giải
Tác giả:Anh Tuấn ; Fb: Anh Tuan
Ta có x2 3x1 7 2 x
3 1 (2 7)
x
Trang 4x
7
2
5
10
3
x
x
x
5
x
Kết luận:Tập nghiệm của phương trình là S 5
2) 3x 1 4x 3 5x4
Lời giải
Tác giả:Anh Tuấn ; Fb: Anh Tuan
Ta có 3x 1 4x 3 5x4
3 1 0
3 1 4 3 2 (3 1)(4 3) 5 4
x
x
3
4
(3 1)(4 3) 3
x
2
3
3
4
x
3
4
1
12
11
x
x
x
1
x
Kết luận:Tập nghiệm của phương trình là S 1
3) Giải phương trình: 3x 3 5 2 x x 33x210x 26 0
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Hằng; Fb: Hang Nguyen
ĐKXĐ:
1
x
x x
Với ĐKXĐ ở trên ta có:
3 2
3x 3 5 2 x x 3x 10x 26 0 .
Trang 5
2
2
2
2
2
12 0 *
x
2
x , do
2
nên phương trình *
vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 2
Câu 4: Giải hệ phương trình: ( )
4 2
1
x x y xy xy y
ïí
ïî
Lời giải
4 2
1 (1) *
2 1 1 (2)
x x y xy xy y
ïí
ïî
2 2
1 1
ïï
Û íï
ïïî + Đặt
2
b xy
ìï =
-ïí
ï =
ïî Hệ trở thành 2 1( )**
1
a ab b
ì + + = ïï
íï + = ïî
+ Hệ
3 2
(**)
a a a
ï
ïî
Từ đó ta tìm ra (a b; ) (Î { 0; 1 ; 1; 0 ; 2; 3 }) ( ) (- - )
Với (a b; ) (= 0; 1)
ta có hệ
1 1
x y xy
ìï - =
íï = ïî
Với (a b; ) (= 1; 0) ta có hệ 2 1 ( ; ) (0; 1 ; 1; 0 ;) ( ) ( 1; 0)
0
x y xy
ìï - =
-íï = ïî
Với (a b; ) (= - 2; 3- )
ta có hệ
2
2 3
3 3
2
1; 3
y y
x
Vậy hệ có 5 nghiệm (x y; ) (Î { 1; 1 ; 0; 1 ; 1; 0 :) ( - ) ( ) (- 1; 0 ; 1; 3 }) (- )
Câu 5 (3 điểm). Cho tam giác ABC có AB 1, AC x và BAC Các điểm 60 M , N được xác
định bởi MC 2MB
và NB 2NA
Tìm x để AM và CN vuông góc với nhau.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Huỳnh ; Fb: Nguyễn Văn Huỳnh
Trang 6Điều kiện: x 0
Ta có:
+) MC 2MB MA AC 2MA AB
3MA AC 2AB
3AM AC 2AB
+) NB 2NA NC CB 2 NC CA
3NC CA AB 2CA
3NC 3AC AB
Vậy: AM CN AM NC 0
AC 2AB 3AC AB 0
3AC 2AB 5AB AC 0
3AC 2AB 5 AB AC cos AB AC, 0
2
2
1
2
4
3
x
x
Tháa m·n
Lo¹i
Vậy
1 2
x
thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 6. Cho tam giác ABC Chứng minh rằng với G là trọng tâm tam giác ABC , ta có
1
6
GA GB GB GC GC GA AB BC CA
Lời giải
Tác giả: Bối Bối ; Fb: Bối Bối
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:
GA GB GA GB c GA GB
os
GA GB c AGB
2
GA GB
GA GB
2
GA GB AB
2
2
AB
2
2
AB
4
(1) 2
Tương tự ta có:
Trang 72 2
4
2
GB GC
4
2
GC GA
Từ (1), (2) và (3), ta có:
4
2
GA GB GB GC GC GA
2
2
3
2
AB BA CA AB BA CA
1 3
2
1
6 AB BC CA
Câu 7 (2 điểm) Cho x y z, , 2018;2019 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2018.2019 2018.2019 2018.2019
f( , , )
x y z
Lời giải
Tác giả: Trần Quang Tiềm ; Fb:Tiem Tran
Cách 1:
Ta đi chứng minh với: x y z, , a; b ,(a 0) ta luôn có
2 4(ab xy) (x y) (b a)
2 2 (x y)(b a) 2 2 (x y)(b a) 0
x y
b(2a x y) x(a y) y(a x) a(2 b x y) x(b y) y(b x) 0 (đúng)
Vậy ta có
Dấu bằng xảy ra khi x y a z, a hay x y z a
Áp dụng ta có:
f( , , )
x y z
Trang 8Dấu bằng xảy ra khi x y z a.
Thay a 2018,b 2019, ta được
3
4036
Cách 2:
Ta có
(Theo BDT AM-GM)
Đặt t xy,(2018 t 2019), do gt ,x y2018;2019
Xét hàm
2 2018.2019 2018.2019
t t , liên tục trên 2018;2019và nghịch biến trên
2018;2019 do đó
2018;2019
2018;2019 2018;2019
Maxg(t) (2018) 1
Max g(t) (2019) (2018) 1 Ming(t) (2019) 1
g
g
nên
z
z , dấu bằng xảy ra khi x 2018y z Đánh giá tương tư cho 2 biểu thức còn lại
3
4036