Tổ 15 đề olympics lớp 10 cụm thanh xuân cầu giấy thường tín hà nội năm 2018 2019

Tính số đo góc nhỏ nhất của tam giác ABC và diện tích tam giác ABC.. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD.. Gọi H là hình chiếu của A lên BD; I là trung điểm của BH.. b Vi

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 15 – Đ2 – ĐỀ THI THỬ OLYMPIC 10 – HÀ NỘI – 2018-2019

ĐỀ OLYMPIC LỚP 10 CỤM TRƯỜNG THPT THANH XUÂN –

CẦU GIẤY – THƯỜNG TÍN - HÀ NỘI NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn: Toán Lớp: 10

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề).

Câu 1. Cho hàm số y x 2 2x 2  1

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị  P

của hàm số  1

b) Tìm m để phương trìnhx22x 2 m0 có hai nghiệm x và 1 x thỏa mãn2

Câu 2.

a) Giải bất phương trình sau: x24x 2x25x 3 0

b) Giải hệ phương trình sau :

2 2

4 0

x xy y x y

x y x y





c) Tìm m để bất phương trình

2 2

4

x x m

Câu 3. Cho tam giác ABC Đặt a BC , b AC , c AB Gọi M là điểm tùy ý

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P MA 2MB2MC2 theo a ,b , c

b) Giả sử a  6 cm, b 2cm, c  1 3 cm

Tính số đo góc nhỏ nhất của tam giác

ABC và diện tích tam giác ABC

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là hình chiếu của A lên

BD; I là trung điểm của BH Biết đỉnhA2;1

, phương trình đường chéo BD là:

42 41

;

13 13

I  

a) Viết phương trình tham số của đường thẳngAH Tìm tọa độ điểmH?

b) Viết phương trình tổng quát của cạnh AD.

Câu 5. Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn a2b2c2 1 Chứng minh rằng

3 3 2

b c c a a b 

_Hết _

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 15 – Đ2 – ĐỀ THI THỬ OLYMPIC 10 – HÀ NỘI – 2018-2019

Lời Giải Chi Tiết Câu 1. Cho hàm số y x 2 2x 2 ( )1

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị  P

của hàm số ( )1

b) Tìm m để phương trìnhx22x 2 m0 có hai nghiệm x và 1 x thỏa mãn2

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Hoài Phước ; Fb:Nguyễn Phước

a) Tập xác định: D 

Tọa độ đỉnh I 1;1

Hệ số a   nên hàm số nghịch biến trên khoảng 1 0  ;1 và đồng biến trên khoảng

1; 

Bảng biến thiên:

Đồ thị:  P

có tọa độ đỉnh I 1;1

; trục đối xứng là đường thẳng x  1  P đi qua các điểm

0;2

A

; B2;2

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 15 – Đ2 – ĐỀ THI THỬ OLYMPIC 10 – HÀ NỘI – 2018-2019

b) Tìm m để phương trình x22x 2 m0 có hai nghiệm x và 1 x thỏa mãn2

Lời giải

Tác giả:Lê Thị Hương ; Fb:Lê Hương

Cách 1:

Để phương trình x22x 2 m0 có hai nghiệm x và 1 x thỏa mãn 2 x1   1 3 x2

thì

m



1

5

m

m

m m



 





 



    



Vậy m  5

Cách 2:

Ta có  x22x 2 m 0 x2 2x 2 m *

Số nghiệm của phương trình  *

bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số:

 

2 2 2

y x  x P

với đường thẳng ym.

Để phương trình  *

có hai nghiệm x và 1 x thỏa mãn 2 x1   1 3 x2, từ đồ thị ở phần a)

ta có m 5 m 5

Câu 2. a) Giải bất phương trình sau: x24x 2x25x 3 0

Lời giải

Tác giả:Thu Hương; Fb: HươngMùa Thu

x24x 2x25x 3 0  *

ĐKXĐ:

2

3

2

x

x







 



 

2 2

4 0

1 2

x x

x

x











 



So sánh điều kiện, suy ra tập nghiệm của bất phương trình là

 ; 4 1;  3

2

S        

b) Giải hệ phương trình sau :

2 2

4 0(2)

x xy y x y

x y x y





STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 15 – Đ2 – ĐỀ THI THỬ OLYMPIC 10 – HÀ NỘI – 2018-2019

Tác giả ; Trần Dung ; Fb: Dung Chang.

2x 2xy xy y x 4x 2y y 2 0

(2x y 1)(x y 2) 0

2 0 (4)

x y

x y





Kết hợp (2) và (3) hoặc (2) và (4) ta có hệ :

2 2

2 2

4 0

4 0

2 0

x y x y

x y

x y x y

x y

 







 

   



2 2

2 2

4 0

4 0 2

x y x y

y x

x y x y

 





 

 

  



2

y x

 





 

 

  



4

5

1

1

x

y

x

y

 



 















S  x y    

c) Tìm m để bất phương trình

2 2

4

x x m

Lời giải

Tác giả: Vũ Quốc Triệu ; Fb: Vũ Quốc Triệu

+/ Ta cóx2 2x 3 x12   2 0 x

nên :

2

4

+/ Yêu cầu bài toán trở thành tìm mđể mỗi bất phương trình  1 và  2 nghiệm đúng

với mọi x thuộc .

Ta thấy :  1 nghiệm đúng với mọi x

thuộc

2 1

2

3



        



 2 nghiệm đúng với mọi x

thuộc

2 2

17

2





Vậy

2 17

3 2

m   

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 15 – Đ2 – ĐỀ THI THỬ OLYMPIC 10 – HÀ NỘI – 2018-2019

Câu 3. a) Cho tam giác ABC Đặt a BC ,b AC , c AB Gọi M là điểm tùy ý Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức P MA 2MB2MC2 theo a ,b , c

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Phi Thanh Phong ; Fb: Nguyễn Phi Thanh Phong

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra GA GB GC    0

Ta có P MA 2MB2MC2 MA 2MB 2MC2

Với

2

2

2

2

2

2

2

2

2











3

        

Khi đó P3MG2GA2GB2GC2

và Pmin  MG2min  MGmin  M G

Mặt khác

a

b

c

b c a

a c b

a b c







min

1 3

P GA GB GC  a b c

Dấu bằng diễn ra khi và chỉ khi

M  G

b) Giả sử a  6 cm, b 2cm, c  1 3 cm

Tính số đo góc nhỏ nhất của tam giác

ABC và diện tích tam giác ABC

Lời giải

Tác giả: Hoàng Thị Mến ; Fb: Hoàng Mến

Do a 6 cm,b2cm,c 1 3 cm

nên b là cạnh nhỏ nhất trong ba cạnh của tam giác

Từ đó góc B là góc có số đo nhỏ nhất trong tam giác

Áp dụng hệ quả của định lý Cosin trong tam giác ABC ta có:

cos

2

a c b B

ac



2

2 6 1 3



2

 Vậy góc B có số đo là 45

Diện tích tam giác ABC là:

1 sin 2

2



cm 2





Hoặc: Gọi plà nửa chu vi của tam giác ABC Ta có:

2

a b c

p   3 6 3

2



STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 15 – Đ2 – ĐỀ THI THỬ OLYMPIC 10 – HÀ NỘI – 2018-2019

2

p a   

2

p b   

2

p c   

Diện tích tam giác ABC là: S  p p a p b p c         3 3  2

cm 2





Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là hình chiếu của A lên

BD; I là trung điểm của BH Biết đỉnhA2;1, phương trình đường chéo BD

là:

42 41

;

13 13

I  

a) Viết phương trình tham số đường thẳngAH Tìm tọa độ điểmH?

Lời giải

Tác giả: Lê Quang Nhân ; Fb: Lê Quang Nhân

BD: x5y19 0 có một véc tơ pháp tuyến là nBD 1;5

AH BD nên AH nhận nBD 1;5 làm véc tơ chỉ phương

1;5

AH BD

+ Đường thẳngAH đi quaA2;1và có một véc tơ chỉ phương uAH 1;5nên có phương

trình tham số là:

2

1 5

t

 







 



 + H là giao điểm củaAHvàBD nên tọa độ củaHthỏa mãn hệ phương trình:

32 43

13 13

13

x y

t









b) Viết phương trình tổng quát cạnh AD.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Mạnh Quyền; Fb: Nguyễn Mạnh Quyền

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 15 – Đ2 – ĐỀ THI THỬ OLYMPIC 10 – HÀ NỘI – 2018-2019

I

H

C

A

D

B

Theo câu a) ta có

32 43

;

13 13

H  

  mà I là trung điểm của BH nên suy ra B4;3 nên tọa độ

của véctơ là AB 2; 2 2 1;1 

Đường thẳng AD đi qua điểm A2;1, nhận n  1;1 làm một vectơ pháp tuyến, có

phương trình tổng quát là: x 2  y 1  0 x y  3 0

Câu 5. Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn a2b2c2  Chứng minh rằng 1

3 3 2

b c c a a b 

Lời giải

Tác giả: Thu Hà ; Fb: Thu Ha

Do , ,a b c dương và a2b2c2  nên 01 a b c, ,  và 1 1 a2,1 b2,1 c2  0

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm 2 ,1a2  a2,1 a2, ta được:

2a  1 a  1 a 3 2a 1 a 1 a

27

 * , dấu " " xảy ra  3a2  1 a 33

Ta có:

2

b c   a a  a    

2

1

2

a



3

3 3 2

1 2

2 27







 1 Chứng minh tương tự, ta được:

2

c a   b b  b    

2

2

b



3

3 3 2

1 2

2 27







 2

2

a b   c c  c    

2

2

c



3

3 3 2

1 2

2 27







 3

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 15 – Đ2 – ĐỀ THI THỬ OLYMPIC 10 – HÀ NỘI – 2018-2019

3 3 2

a b c

b c c a a b   

3 3 2

3 3

a b c