Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác OAB đến các trục tọa độ bằng nhau.. Giải hệ phương trình: b.. Giải ph
Trang 1SỞ GD & ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC
ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN 10
NĂM HỌC 2016 – 2017
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Câu 1 (3,5 điểm): Cho hàm số và
hàm số Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời
khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác OAB đến các trục tọa độ bằng nhau (điểm O là
gốc tọa độ)
Câu 2 (6.5 điểm):
a) Giải hệ phương trình:
b) Giải phương trình:
Câu 3 (1,5 điểm): Cho tam giác ABC
thỏa mãn hệ thức ( là độ dài đường cao ứng với cạnh AC) Chứng minh tam giác ABC là
tam giác cân
Câu 4 (3,5 điểm): Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(3;1) Trên trục Ox, Oy lần lượt lấy
hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại A Tìm tọa độ điểm B, C sao cho diện tích
tam giác ABC lớn nhất biết hoành độ của điểm B và tung độ của điểm C không âm.
Câu 5 (3,0 điểm): Cho đường tròn tâm O và ba dây cung song song AB, CD, EF của đường
tròn đó Gọi H, I, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ACF, AED, CEB Chứng minh H,
I, K thẳng hàng.
Câu 6 (2,0 điểm): Cho thỏa
mãn:
Chứng minh:
- Hết
-Họ tên thí sinh: SBD:
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
y x y2x mx
1 2 4
6x3(x22 ) 2x x1 2 x34
( )
b
h p p b h b
, , 0
a b c
a b c ab bc ca
a b a b c a b
Trang 2SỞ GD & ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC
KỲ THI OLYMPIC MÔN TOÁN 10
NĂM HỌC 2016 – 2017
ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM
1
(3,5đ)
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
(1)
Hai đồ thị cắt nhau tại hai
điểm phân biệt A, B Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
1,5
Gọi là hai nghiệm của phương trình (1), G là trọng tâm của
tam giác OAB
Ta có:
1,0
Yêu cầu bài toán
Kết hợp điều kiện,vậy
m=-3 thỏa mãn yêu cầu bài
toán
1,0
2a
(3,5 đ)
1,0
KL: Vậy hệ phương trình có
nghiệm (5; 2)
0,5
2b
(3,0 đ)
Với điều kiện trên, phương trình tương đương:
1,0
0,5
8
m
0
x x x m
,
A B
x x
2 3
12 2
A B O G
A B O G
x
y
G G
12 2 6 3 9
m m m
1; 0
x y
1 2 4
( )( 2 1) 0
1 2 4
2 1 0
1 2 4
2 1
2 2 4
y
5
y x
1 2
x
3
3 (x x2) 2x1 2 x 6x4
2 2
2
3 ( 2) 2 1 ( 2)(2 4 2) ( 2)(3 2 1 2 4 2) 0 2
3 2 1 2 4 2 0(1)
x
2
(1) 2(2x1) 3 x 2x1 2 x 0
2
2(2 1) 3 2 1
2 0(2)
2 1 ( 0)
x
x
(loại)
(loại)
Trang 3Phương trình (2) trở thành:
Với
Kết hợp điều kiện, tập
nghiệm của phương trình
là:
0,5
0,25 3
(1,5đ)
Theo đề bài:
0,5
Vậy tam giác ABC
cân tại B
0,5
4
(3,5đ)
Gọi B(b;0), C(0;c) ()
Tam giác ABC
vuông tại A
Mà
1,5
Lại có:
1,0
Xét hàm số ()
Bảng biến thiên:
x 0 3
f(x) 15
Vậy diện tích tam giác
ABC lớn nhất là 15 khi b=0
1,0
5
(3,0đ)
*) Chứng minh tính chất:
Cho tam giác ABC Gọi H, O lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác thì:
1,0
2
2t 3t 2 0
2 1 2
t t
{4-2 3; 4+2 3}
S
4 2 3
4 2 3
x x
1 2 1 1
x t
x
2 ( )( )( )
b b
S
b
2
( )
S
p p b
2 ( )
2 ( )( )
2 ( )( )
S
b
p p b
a c
, 0
b c
2 2
( 3; 1) ( 3) 1 ( 3; 1) 9 ( 1)
0
AB AC
3( 3) ( 1) 0
10 3
0 10 3 0 0
3
c b b
1 ( 3) 1 ( 1) 9 2
ABC
2
3 ( 3) 1 (3 ) 1 2
3
9 15 2
2
3 ( ) 9 15 2
f x x 10x 0
3
x
10 3 5 33 2 (0;0), (0;10)
OA OB OC OH
(loại)
Trang 4Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua O, D là trung điểm của BC.
Ta có: tứ giác BHCA’ là hình bình hành nên D là trung điểm của HA’
Mà
*)Ta có: H, I, K lần lượt là trực tâm của tam giác ACF, AED, BCE
Từ (1)và (2)
(1)và (3)
1,0
Mà AB//CD//EF sao cho ,
,
cùng phương
thẳng hàng
1,0
6
(3,0đ)
Đặt , (x,y >0)
Theo đề bài :
Áp dụng bất đẳng
thức Cô-si:
Do đó:
1,0
Ta có:
1,5
Dấu bằng xảy ra
khi x = y =1a=b=c
0,5
OB OC OH OA
OA OB OC OH
2
OB OC OD AH
EF
IH DC EF
OF(1)
(2) (3)
OH OA OC
OI OA OE OD
OK OB OC OE
,
m n
EF
DC m
EF
BH n
( 1)EF
( 1)EF
KH n
,
IH KH
, ,
I H K
a x c
b y c
a b c ab bc ca
2
( 1)
( )2
4
x y
xy
2
x y
x y x y
P
2
2
( 1)
1 1
2
2 ( ) 2( )
xy
xy
xy
xy
2
2 ( ) 2( ).
2
P
x y
2
2 2.2
