Bài 2 hình nón hình nón cụt diện tích xung quanh và thể tích hình nón, hình nón cụt

+ Chỉ ra được các yếu tố của hình nón, hình nón cụt như: mặt đáy, mặt xung quanh, đường sinh, chiều cao.. + Tính được diện tích xung quanh, thể tích hình nón và các yếu tố đường cao, đườ

Trang 1

CHƯƠNG 4 HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN - HÌNH CẦU BÀI 2 HÌNH NÓN - HÌNH NÓN CỤT DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH HÌNH NÓN,

HÌNH NÓN CỤT Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nêu được khái niệm hình nón, hình nón cụt

+ Chỉ ra được các yếu tố của hình nón, hình nón cụt như: mặt đáy, mặt xung quanh, đường sinh, chiều cao

+ Nắm các công thức tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón, hình nón cụt

 Kĩ năng

+ Vẽ được hình nón, hình nón cụt

+ Tính được diện tích xung quanh, thể tích hình nón và các yếu tố đường cao, đường sinh, bán kính hình tròn đáy của hình nón, hình nón cụt

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Hình nón

Khi quay tam giác vuông AOC một vòng quanh

cạnh góc vuông OA cố định thì được một hình nón

Khi đó:

Cạnh OC quét nên đáy của hình nón, là một hình

tròn tâm O

Cạnh AC quét nên mặt xung quanh của hình nón,

mỗi vị trí của AC được gọi là một đường sinh.

Chẳng hạn AD là một đường sinh

A gọi là đỉnh và AO gọi là đường cao của hình nón

Dỉện tích xung quanh hình nón

Cắt mặt xung quanh của một hình nón dọc theo một

đường sinh của nó rồi trải phẳng ra, ta được hình

khai triển là một hình quạt tròn có tâm là đỉnh nón,

bán kính bằng độ dài đường sinh và độ dài cung

bằng độ dài đường tròn đáy của hình nón

Diện tích xung quanh của hình nón bằng diện tích

của hình quạt tròn khai triển

Diện tích xung quanh của hình nón: S xq rl

Diện tích toàn phần của hình nón: S xq rlr2

Diện tích toàn phần bằng tổng diện tích xung quanh

và diện tích đáy

Trang 2

Qua thực nghiệm, ta thấy: nón 1 trụ

3

Ta cĩ thể tích hình nĩn là: 1 2

3

V  r h

Diện tích xung quanh và thể tích hình nĩn cụt

Cơng thức tính diện tích xung quanh của hình nĩn

cụt: S xq r r l1 2

Cơng thức tính diện tích tồn phần của hình nĩn

tp

S  r r  r

Cơng thức tính thể tích hình nĩn cụt:

1

3

V  h r r r r

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần của hình nĩn

Trang 3

Bài toán 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phàn của hình nón, hình nón cụt

Phương pháp giải

Bước 1: Áp dụng công thức tính diện tích xung

quanh, tính diện tích toàn phần của hình nón, hình

nón cụt

Bước 2: Kiểm tra các yếu tố có trong công thức

tính diện tích xung quanh, tính diện tích toàn phần

Bước 3: Tính toán và kết luận.

Ví dụ: Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn

phần của hình nón, biết độ dài đường sinh của hình nón bằng 20cm bán kính hình tròn đáy bằng 5cm

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tính diện tích toàn phần của

hình nón ta có: S tp .5.20.52 125cm2

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của

hình nón ta có: S xq .5.20 100 cm2 Vậy S tp 125cm S2, xq 100cm2

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Một hình nón có đường sinh dài 12 cm và diện tích hình tròn đáy là 9 cm 2 Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

Diện tích hình tròn đáy là 9 cm 2 nên ta có: R2 9  R3cm

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón, ta có:

.3.12 36

xq

Áp dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình nón, ta có:

.3.12 3 45

tp

Ví dụ 2 Một hình nón có đường sinh dài 15 cm và chu vi hình tròn đáy là 6 cm Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

Chu vi của hình tròn đáy là 6 cm nên ta có:

2  R6 R3 cm

.3.15 45

xq

Áp dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình nón, ta có:

.3.15 3 54

tp

Bài toán 2: Tính độ dài bán kính đường tròn đáy và chiều cao của hình nón, hình nón cụt

Phương pháp giải

Trang 4

Bước 1: Viết công thức tính S S xq, tp

Từ đó suy ra công thức tính R, l

Bước 2: Kiểm tra các đại lượng cần để tính R, l

Bước 3: Thay đầy đủ các giá trị của các đại lượng

vào công thức và thực hiện phép tính

Ví dụ: Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy

bằng 5cm, diện tích xung quanh của hình nón bằng

2

25 cm Tính độ dài đường sinh của hình nón

Ta có

xq xq

S

R



  

Mà S xq 25; R 5 nên 25 5 





Vậy độ dài đường sinh của hình nón là 5cm

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hình nón có đường kính hình tròn đáy là 12cm, chiều cao của hình nón là 8cm Tính độ dài

đường sinh của hình nón

Đường kính của hình tròn đáy là 12 cm, suy ra bán kính hình tròn đáy

12

6

2

Ta có đường sinh, chiều cao và bán kính đáy tạo thành một tam giác

vuông với cạnh huyền là đường sinh, nên áp dụng định lý Py-ta-go ta

có:

Ví dụ 2 Một hình nón có đường sinh dài 12 cm và diện tích xung quanh

là 48 cm Tính chiều cao của hình nón

Đường sinh, chiều cao và bán kính đáy tạo thành một tam giác vuông với cạnh huyền là đường sinh, nên

áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB3cm BC, 5cm người ta quay tam giác ABC quanh cạnh AC được hình nón Tính diện tích xung quanh của hình nón

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB6cm AC, 8cm Người ta quay tam giác ABC quanh cạnh AC được hình nón Tính diện tích toàn phần của hình nón

Câu 3: Một hình nón có diện tích xung quanh là 36 cm 2, bán kính đáy là 3cm Tính độ dài đường sinh

Trang 5

Câu 4: Một hình nón có diện tích xung quanh là 48 cm 2, chu vi hình tròn đáy là 16 cm Tính độ dài đường sinh

Câu 5: Một hình nón cụt có diện tích xung quanh là 56 cm 2, độ dài đường sinh là 8cm Tính tổng bán kính hai đáy của hình nón cụt

Câu 6: Một hình nón cụt có tổng độ dài hai đường kính của hai đáy là 12cm, độ dài đường sinh là 7cm.

Tính diện tích xung quanh của hình nón cụt

Bài tập nâng cao

Câu 7: Một hình nón có đường sinh dài 9cm và diện tích xung quanh là 72 cm 2

a) Tính bán kính của hình nón đó

b) Tính diện tích toàn phần của hình nón đó

Câu 8: Một chiếc xô hình nón cụt làm bằng tôn để đựng nước Các bán kính đáy là 13cm và 9cm, chiều

cao của xô là 24cm Tính diện tích tôn để làm xô (không kể diện tích các miếng ghép)

Câu 9: Cho ABC vuông tại C Biết BC a AC b ,  Quay tam giác vuông này một vòng lần lượt quanh cạnh AC và BC được một hình nón đỉnh A và một hình nón đỉnh B Hãy so sánh tỉ số diện tích xung quanh của hai hình nón ấy

ĐÁP ÁN

Câu 1:

Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được một hình nón có độ dài

đường sinh bằng 5cm, bán kính hình tròn đáy là 3cm

S R l S    cm

Câu 2:

Khi quay tam giác ABC quay xung quanh AC ta được một hình nón có độ dài đường sinh

BC   cm , bán kính hình tròn đáy là 6cm

Áp dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình nón ta có:

S  R lR  S     cm

Câu 3:

Hình nón có diện tích xung quanh là 36 m 2, bán kính đáy là 3cm,

nên ta có:

36

.3



Câu 4:

Chu vi hình tròn đáy của hình nón là 16, nên ta có: 2R16  R8cm

Hình nón có diện tích xung quanh là 48 cm 2, ta có: 48 48 6 

.8



Trang 6

Câu 5:

Hình nón cụt có diện tích xung quanh 56 cm 2, độ dài đường sinh 8cm, nên ta có:

8



Câu 6:

Hình nón cụt có tổng độ dài hai đường kính của hai đáy là 12cm, nên ta có: 12 6 

2

R r   cm

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón cụt, ta có:

S  R r l  S    cm

Câu 7:

a) Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón, ta có:

72

.9



b) Áp dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình nón, ta có:

S  R l R  S       cm

Câu 8:

Để tính được diện tích tôn làm xô ta cần tính được diện tích xung quanh và

diện tích đáy nhỏ

+) Độ dài đường sinh: BC AB2AC2

2

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón cụt, ta có:

Diện tích hình tròn đáy nhỏ là:

.9 81

S    cm

Vậy diện tích tôn cần để làm xô là:  2

88 37 81  1935 cm

Câu 9:

+) Khi quay tam giác vuông ABC quanh cạnh AC ta được một hình nón đỉnh A có chiều cao AC b , bán kính đáy BC a , đường sinh AB a2b2

Diện tích xung quanh của hình nón đó là: 2 2

S  a a b

+) Khi quay tam giác vuông ABC quanh cạnh BC ta được một hình nón đỉnh B, có chiều cao BC a , bán kính đáy AC b , đường sinh AB a2b2

Trang 7

Diện tích xung quanh của hình nón đó là: 2 2

S  a b

Tỉ số diện tích xung quanh của hai hình nón đó là:

1

2

.b





Dạng 2: Tính thể tích hình nón, hình nón cụt

Bài toán 1 Tính thể tích của hình nón, hình nón cụt

Bước 1: Viết công thức tính thể tích của hình nón.

Bước 2: Xem xét những đại lượng nào đã biết,

những đại lượng nào cần tính

Bước 3: Thay đầy đủ giá trị của các đại lượng vào

công thức và thực hiện phép tính

Ví dụ: Cho hình nón biết bán kính hình tròn đáy

bằng 5cm, chiều cao bằng 9cm Tính thể tích hình nón đó

Thể tích hình nón là 1 2

3

V  R h

Ta có R5cm h; 9cm

Áp dụng công thức tính thể tích hình nón, ta có:

V   R h V     cm

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hình nón có đường kính hình tròn đáy bằng 8 cm, độ dài đường sinh là 5cm Tính thể tích

hình nón

Đường kính hình tròn đáy bằng 8 cm, suy ra bán kính hình tròn đáy

8

4

2

R  cm

Ta có bán kính hình tròn đáy, đường sinh và đường cao của hình nón tạo với nhau một tam giác vuông với cạnh huyền là đường sinh của hình nón, nên theo định lý Py-ta-go ta có:

l h R  h     h cm

V   R h V     cm

Ví dụ 2 Một cái xô bằng inox có dạng hình nón cụt đựng nước có bán kính hai đáy là 8cm và 20cm, độ

dài đường sinh bằng 36cm Khi xô đựng đầy nước thì dung tích của xô là bao nhiêu?

Để tính được dung tích của xô ta cần biết thêm chiều cao OO' của xô

Trang 8

Ta có: OO BH  AB2 HA2

2

Áp dụng công thức tính thể tích hình nón cụt, ta có:

1

3

V  h R r Rr

1

.24 2 8 20 8.20 4992 2

3

Vậy thể tích của xô là 4992 2 cm 3

Bài toán 2 Tính các đại lượng liên quan thông qua công thức tính thể tích của hình nón, hình nón cụt

Bước 1: Sử dụng công thức tính thể tích hình nón,

hình nón cụt

Bước 2: Kiểm tra các đại lượng đã biết và các đại

lượng cần tìm

Bước 3: Từ công thức tính thể tích hình nón, hình

nón cụt Suy ra các đại lượng cần tìm

Ví dụ: Cho hình nón có thể tích là 54 cm 3, chiều cao của hình nón là 6cm Tính bán kính hình tròn đáy của hình nón đó

Thể tích hình nón là 1 2

3

V  R h

Hình nón có thể tích 3

54 cm , nên ta có:



3 3

Vậy bán kính đường tròn đáy là 3 3 cm

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho ABC vuông tại A, biết AB5cm Quay ABC quanh cạnh AB ta được hình nón có thể tích bằng 3

15cm Tính độ dài đường sinh của hình nón đó.



3

Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác ABC, ta có:

Vậy độ dài đường sinh của hình nón là 34 cm

Trang 9

Ví dụ 2 Cho hình nĩn cụt cĩ độ dài đường cao là 5 cm, bán kính hình trịn đáy lớn là 8cm, thể tích hình

nĩn cụt đĩ bằng 135 cm 3 Tính độ dài bán kính hình trịn đáy bé

Áp dụng cơng thức tính thể tích hình nĩn cụt, ta cĩ:

3 h R r Rr    3 r  r  

  



 



4 33 loại

r

Vậy độ dài bán kính hình trịn đáy bé của hình nĩn là  r 4 33 cm

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Cho hình nĩn cĩ chiều cao 10cm, bán kính hình trịn đáy là 6cm Tính thể tích của hình nĩn đĩ Câu 2: Cho ABC vuơng tại A, biết AB8 ,cm AC6cm Quay quanh cạnh AB một vịng ta được hình

nĩn Tính thể tích hình nĩn

Câu 3: Cho hình nĩn cĩ thể tích bằng 35 cm , độ dài đường cao bằng 7cm Tính bán kính hình trịn đáy 3

của hình nĩn đĩ

Câu 4: Cho hình nĩn cĩ thể tích bằng 12 cm , bán kính hình trịn đáy là 3cm Tính độ dài đường sinh3

của hình nĩn

Câu 5: Cho hình nĩn cụt cĩ thể tích bằng 588 cm , độ dài bán kính hai hình trịn đáy lần lượt là 3 cm và 3

5 cm Tính chiều cao của hình nĩn cụt

Câu 6: Cho hình nĩn cụt cĩ bán kính hai hình trịn đáy lần lượt là 2 cm và 5 cm, độ dài đường cao bằng 9

cm Tính thể tích hình nĩn cụt

Câu 7: Cho ABC vuơng tại C Biết BC a AC b ,  Quay tam giác vuơng này một vịng lần lượt quanh cạnh AC và BC, được một hình nĩn đỉnh A và một hình nĩn đỉnh B Hãy so sánh tỉ số thể tích của hai hình nĩn ấy

Câu 8: Một hình nĩn cĩ bán kính đáy bằng 4cm và diện tích xung quanh 20 cm 2 Tính thể tích của hình nĩn đĩ

Câu 9: Một hình nĩn cụt cĩ các bán kính đáy là 7cm và 14cm, độ dài đường sinh là 25cm Tính thể tích

của hình nĩn cụt

ĐÁP ÁN

Câu 1:

Áp dụng cơng thức tính thể tích hình nĩn, ta cĩ:

Câu 2:

Trang 10

Quay quanh cạnh AB một vòng ta được hình nón, có chiều cao bằng 8cm, bán kính đáy bằng 6cm Áp dụng công thức tính thể tích hình nón ta có:

V   R h V     cm

Câu 3:

Hình nón có thể tích 35 cm 3, độ dài đường cao bằng 7cm, nên ta có:



Câu 4:

Giả sử đường sinh, đường cao và bán kính hình tròn đáy của hình nón tạo

thành tam giác vuông ABC như hình vẽ

Theo đề bài ta có:

2

1

3 h   h cm

Khi đó độ dài đường sinh của hình nón là:

l BC    cm

Câu 5:

Hình nón cụt có thể tích bằng 3

588 cm , độ dài bán kính hai hình tròn đáy 3cm và 5cm, nên ta có:



Vậy chiều cao của hình nón cụt là 36 cm

Câu 6:

Câu 7:

+) Khi quay tam giác vuông ABC quanh cạnh AC ta được một hình nón đỉnh A, có chiều cao AC b , bán kính đáy BC a

Thể tích của hình nón là: 1 2

1 3

V   a b

+) Khi quay tam giác vuông ABC quanh cạnh BC, ta được một hình nón đỉnh B, có chiều cao BC a , bán kính đáy AC b

Trang 11

Thể tích của hình nón là: 2 2

1 3

V  b a

Tỉ số thể tích của hai hình nón là:

2

1

2

1

3

1

3

a b



Câu 8:

Giả sử hình nón đã cho như hình vẽ

20

.4



Độ dài đường cao của hình nón là:

V  R h V     cm

Câu 9:

Giả sử hình nón cụt đã cho như hình vẽ

Độ dài chiều cao của hình nón cụt là:

1

3

V  h R r Rr

1

.24 14 7 14.7 2744

3

Tiêu đề	Bài 2 hình nón hình nón cụt diện tích xung quanh và thể tích hình nón, hình nón cụt
Trường học	Trường Đại Học
Thể loại	Bài giảng

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	2,47 MB