Bài 10 diện tích hình tròn, hình quạt tròn

DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, HÌNH QUẠT TRÒN. Mục tiêu + Nắm vững công thức tính diện tích hình tròn bán kính R là SR2..  Kiến thức + Viết được công thức tính diện tích hình tròn, hình quạt t

BÀI 10 DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, HÌNH QUẠT TRÒN.

 Mục tiêu

+ Nắm vững công thức tính diện tích hình tròn bán kính R là SR2

+ Nắm vững cách tính diện tích hình quạt tròn, hình vành khăn, các hình thực tế

 Kiến thức

+ Viết được công thức tính diện tích hình tròn, hình quạt tròn, hình vành khăn

+ Tính được diện tích hình tròn, hình quạt tròn

+ Rút ra được công thức tính hình quạt tròn từ công thức tính diện tích hình tròn

+ Vận dụng được công thức và để tính diện tích hình vành khăn và các bài toán thực tế liên quan

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Công thức tính diện tích hình tròn

- Diện tích S của một hình tròn bán kính R được

tính theo công thức: SR2

Công thức tính diện tích hình quạt tròn

- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n

được tính theo công thức:

2 360

R n

S  hay

2

lR

S 

(l là độ dài cung n của hình quạt tròn)

Công thức tính diện tích hình viên phân

- Hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một

cung và dây căng cung ấy

- Với hình tròn bán kính R, l là độ dài cung n

của hình quạt tròn

- Diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung AB

và dây AB là

vp AIB q AOB AOB

Công thức tính diện tích hình vành khăn

- Hình vành khăn là phần hình tròn nằm giữa hai

đường tròn đồng tâm

- Diện tích hình tròn O R là ; 1 2

1 1

- Diện tích hình tròn O R là ;  S R2

- Diện tích hình vành khăn là

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Diện tích hình tròn

Diện tích hình quạt

tròn

Diện tích hình viên

phân

Diện tích hình vành khăn

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính diện tích hình tròn, hình quạt tròn và các đại lượng liên quan

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho nửa đường tròn  O đường kính AB Gọi M là điểm trên nửa đường tròn, kẻ MH vuông góc với AB Vẽ vào phía bên trong nửa đường tròn  O các nửa đường tròn  O đường kính 1 BH , nửa đường tròn O đường kính 2 AH Tính diện tích giới hạn bởi ba nửa đường tròn trên, biết MH 6cm,

4

BH  cm, AH 9cm

Hướng dẫn giải

2 2 2 13

2 2 13

 

2

13

gh



Ví dụ 2 Cho đường tròn  O đường kính AB Lấy M thuộc đoạn AB Vẽ dây CD vuông góc với AB

tại M Giả sử AM 2cm, CD4 3cm Tính

a) Độ dài đường tròn  O và diện tích đường tròn  O

b) Độ dài cung CAD và diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OC, OD và cung nhỏ

CD

Hướng dẫn giải

a) Ta có ABCD tại M

2 3 2

CD

    (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

Áp dụng định lý Py-ta-go trong AMC vuông tại M ta có

Ta lại có ACB   (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).90

Áp dụng hệ thức lượng trong ACB vuông tại C đường cao CM ta có:

2

AC

AM

16

b) ACB vuông tại C trung tuyến CO nên 1 4 

2

AOC

  đều (COAO AC 4cm) AOC60  COD 120

 .4.120 8  

180 3

CAD

 2

8 4 16 3





Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1: Cho đường tròn O R và ;  O R;  tiếp xúc ngoài nhau tại A Qua A vẽ đường thẳng cắt  O tại

B và cắt  O tại C

a) Chứng tỏ OB O C/ / 

b) Chứng tỏ tỉ số diện tích hai hình quạt nằm trong góc ở tâm AOB và AO C của hai hình tròn không đổi khi cát tuyến BAC quay quanh A

Câu 2: Cho đường tròn O R , đường kính ;  AB cố định Gọi M là trung điểm của đoạn OB Dây CD

vuông góc với AB tại M Điểm E chuyển động trên cung lớn CD (E khác A) Nối AE cắt CD tại K

Nối BE cắt CD tại H Chứng minh

a) Bốn điểm ,B M E K thuộc một đường tròn., ,

b) AE AK không đổi

c) Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi OB OE và cung nhỏ , BE khi tam giác OBE đều

Bài tập nâng cao

Câu 3: Cho P là điểm chuyển động trên nửa đường tròn tâm O đường kính MN 2R Hạ PK MN , gọi r r r là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác 1, ,2 3 MPN MPK NPK Độ dài đoạn , , PK bằng bao nhiêu để r r1 2r3 đạt giá trị lớn nhất?

Câu 4: Cho M là điểm di động trên nửa đường tròn đường kính AB2R Khi đó 3MA4MB đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

Câu 5: Cho tam giác ABC đều có trọng tâm O, cạnh 6cm Vẽ đường tròn O cm Tính diện tích của; 2 

phần tam giác nằm ngoài hình tròn  O

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.

a) Ta có  

1 2

A A (hai góc đối đỉnh);

OAB

 cân tại  

1

O AC

 cân tại  

2

Suy ra B C

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên OB O C/ / 

b) Ta có

2 360

qAOB

R n

 ,

2 360

qAOB qAO C

qAO C

S

S











 (không đổi)

Câu 2

a) Ta có MKE12sdCE sd DE   

 tứ giác BMEK nội tiếp hay bốn điểm ,B M E K cùng thuộc, ,

một đường tròn

b) Ta chứng minh ABE∽AKM (g.g)

c) OBC đều  60 2

6

q

R

Câu 3.

Gọi , ,E F I lần lượt là tiếp điểm mà đường tròn nội tiếp MNP tiếp xúc với các cạnh MN MP PN , ,

1

O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP

Tứ giác FPIO có ba góc vuông và 1 PO là phân giác góc 1 P  tứ giác FPIO là hình vuông cạnh1 bằng r 1

Ta có PM PN PF FM PI IN   2r1FM IN  1

Mà MF ME; NI NK MF NI MN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Thay vào  1 ta được PM PN 2r MN1  2r1PM PN MN   

Chứng minh tương tự với MKP; NKP ta được

2

1

Cộng vế với vế của   , ,  và rút gọn ta được

 1 2 3 1 2 3

2 r r r 2KP2R r r r R

Dấu " " xảy ra khi PK R

Câu 4.

3MA4MB2 3242 MA2MB225.4R2 100R2 3MA4MB10R

Khi đó 3MA4MB đạt giá trị lớn nhất bằng 10R

Dấu " " xảy ra khi

Câu 5.

Gọi giao điểm của đường tròn O cm và hai cạnh ; 2  AB AC lần lượt là , M và N

Nối BO cắt AC tại E, nối AO cắt BC tại H

BE là đường cao của tam giác đều ABC cạnh 6cm nên CE3cm BE 62 32 3 3cm Xét tam giác OEN vuông tại E, áp dụng định lý Pitago ta có

2

2

3

BE

Chứng minh tứ giác AMON là hình thoi có OA OB 2 3cm và MN 2cm (do tam giác MAN

đều)

2 3 2

AMOC

AO MN

Diện tích hình quạt tròn OMN là 260 2  2

R

 qu¹t trßn OMN Đặt diện tích phần bị giới hạn bởi hai cạnh AM ; AN và MN là S AMN.

2 3

3

AMN AMON

S S  Squ¹t trßn OMN    cm

Gọi diện tích phần phải tính (phần kẻ sọc trên hình vẽ) là S thì

3 AMON

S  S  Squ¹t trßn OMN

Vậy diện tích phần tam giác nằm ngoài hình tròn là

2

3

Dạng 2: Tính diện tích hình viên phân, hình vành khăn

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Hình viên phân là phần hình tròn bao gồm giữa một cung và dây trước cung ấy Hãy tính diện

tích hình viên phân AmB theo R Biết góc ở tâm AOB 120 và bán kính hình tròn là R

Hướng dẫn giải

Kẻ đường cao OH AB H AB.

Ta có AOB120  OAB OBA  30

 tam giác AHO là tam giác nửa đều

2

R

2

R

AOB

2 2120 2

q

q AOB

R

S S  S     (đvdt)

Ví dụ 2 Hình vành khăn là phần hình tròn nằm giữa hai đường tròn đồng tâm.

a) Tính diện tích S của hình vành khăn theo R và 1 R (giả sử 2 R1R2)

b) Tính diện tích hình vành khăn khi R110,5cm; R2 7,8cm

Hướng dẫn giải

a) Diện tích hình tròn O R là ; 1 2

1 1

Diện tích hình tròn O R là ; 2 2

2 2

Diện tích hình vành khăn là 2 2  2 2

b) Thay số S 10,52 7,82 155, 2cm2

Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1: Cho hai đường tròn có cùng tâm O và có bán

kính R và 1 R (2 R1 R2) Các bán kính OA và OB

của đường tròn O R cắt đường tròn ; 1 O R tại ; 2 A

và B Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AA

và BB Chứng minh rằng diện tích của hình ABB A 

(phần gạch sọc trong hình) bằng tích của hiệu hai bán

kính với độ dài của cung MN của đường tròn

O OM ; 

Bài tập nâng cao

Câu 2: Cho đường tròn  O đường kính AB, Ax là tiếp tuyến của đường tròn  O và AC là dây cung (CB ) Tia phân giác của xAC cắt đường tròn  O tại D, AD và BC cắt nhau tại E Gọi K và F

lần lượt là giao điểm của BD với AC và Ax

a) Chứng minh ABE cân

b) Chứng minh tứ giác AKEF là hình thoi và EK vuông góc AB

c) Cho xAC   Chứng minh 60 DB DK R2 và ba điểm , ,O K E thẳng hàng Tính diện tích tứ giác

ACEF phần nằm ngoài đường tròn

Câu 3: Hãy tính diện tích hình vành khăn tạo bởi đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác

đều ABC cạnh 12cm

Câu 4: Cho tam giác AHB có góc H bằng 90 , góc A bằng 30 và BH 4cm Tia phân giác của góc

B cắt AH tại O Vẽ đường tròn O OH và đường tròn ;  O OA ; 

a) Chứng minh đường tròn O OH tiếp xúc với cạnh ;  AB

b) Tính diện tích hình vành khăn nằm giữa hai đường tròn trên

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1

Giả sử số đo của góc ở tâm AOB là n Ta có thể coi diện tích ABB A  là hiệu các diện tích của hai hình quạt tròn AOB và A OB  ứng với góc ở tâm n

Ta có:

2

1

360

OAB

R n



2

2

360

A OB

R n

S  



Do đó:  2 2

1 2 360

ABB A





 hay    1 2

1 2

360

ABB A

  1

M là trung điểm của AA Dễ thấy: 1 2

2

Do đó độ dài cung MN bằng:



1 2

1 2 2

MN





 2

Từ  1 và  2 suy ra: S ABB A R1 R l2 MN

Câu 2.

a) Ta có AD là phân giác của xAC (giả thiết)  DA DC 

Do đó ABD CBD hay BD là phân giác của ABC

Lại có BD vuông góc AD (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra ABE có phân giác BD đồng thời là đường cao nên ABE cân tại B

b) Xét AFK có AD là phân giác đồng thời là đường cao nên AFK cân tại A

Do đó lại AD cũng là đường trung tuyến hay DF DK

Lại có DA DE (ABE cân tại B)

Do đó tứ giác EKAF là hình bình hành có hai đường chéo FK vuông góc AE

EKAF

 là hình thoi  EK / /FA

Mà FA vuông góc AB nên EK vuông góc AB

c) Ta có xAC   (giả thiết) 60  CAB xAD DAK   ABD30

Do đó ADK∽BDA (g.g) DA DK DA2 DB DK

ABD

 vuông có ABD30  DA R

Vậy DB DK R2

Xét tam giác ABE có AC vừa là phân giác vừa là chiều cao hạ từ A

ABE

  cân tại đỉnh A ABE đều  EOAB

Mặt khác theo chứng minh câu b) thì EK AB O K E, , thẳng hàng

Ta có ABC vuông tại C có BAC30  CB R

Lại có AOK∽ACB (g.g) . 2 2 3

3 3

AK

Mặt khác AFK đều (tam giác cân có AFK   ) 60 2 3

3

R

Kẻ FH AC H AC có 3 2 3 3

R

Tứ giác ACEF là hình thang do EF/ /AC (tứ giác AKEF là hình thoi)

2 3 3

3

ACEF

R

S



Ta có BAC30  BOC60  COA 120

Khi đó hình quạt OAC có diện tích là

2.120 2



Kẻ đường cao OI của tam giác AOC, ta có 1

R

OI  OA (vì AOI là tam giác nửa đều)

AOC

Vậy 2 2 3 24 3 3

q AOC

R

Sviªn ph©n OAC S  S    

Gọi diện tích hình cần tính là S, ta có

ACEF vp

R

Câu 3.

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC O đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác đều ABC Gọi H là trung điểm của BC ta có AH BC (trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác đều)  bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R OA và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r OH

Ta có 1 6 

2

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông ABH, ta có

2 2 122 62 6 3

Vì tam giác ABC đều  O đồng thời là trọng tâm tam giác ABC

2

4 3 3

3

 diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 2  2  2

Diện tích hình tròn nội tiếp tam giác ABC là 2  2  2

Vậy diện tích hình vành khăn tạo bởi đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC

1 2 48 12 36

Câu 4.

a) Hạ OK vuông góc với AB

Tâm O nằm trên tia phân giác của góc B nên cách đều hai cạnh của góc.

Ta có OK OH nên đường tròn O OH tiếp xúc với cạnh ;  AB

b) Tia đối của tia AH cắt đường tròn O OA tại ;  C Nối B với C

Ta có AOB cân tại O (vì A ABO 30 ) nên OA OB

Vậy đường tròn O OA đi qua ;  B

ABC   vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn O OA ; 

Trong tam giác vuông ABC, ta có AH HC BH  2

hay OA OH OA OH     42  OA2 OH216  

Nhân hai vế của   với  ta được OA2 OH 2 16

Mà OA2 OH 2 chính là diện tích hình vành khăn cần tính

Vậy diện tích hình vành khăn nằm giữa hai đường tròn là  2

16 cm

THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT SỐ 5