Bài 7 vị trí tương đối của hai đường tròn

Tính chất đường nối tâm Định lý: Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.. Nếu hai đường

CHUYÊN ĐỀ BÀI 7 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nhận biết được các vị trí tương đối của hai đường tròn

+ Nắm chắc tính chất đường nối tâm

+ Biết các hệ thức giữa đoạn nối tâm và các bán kính

+ Biết tính chất tiếp tuyến chung của hai đường tròn

 Kĩ năng

+ Vẽ được các vị trí tương đối của hai đường tròn

+ Vẽ được tiếp tuyến chung của hai đường tròn

+ Xác định được vị trí tương đối của hai đường tròn.

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Ba vị trí tương đối của hai đường tròn

a) Hai đường tròn có hai điểm chung

,

A B gọi là giao điểm, AB gọi là dây chung

b) Hai đường tròn có một điểm chung

Hai đường tròn có một điểm chung được gọi là hai

đường tròn tiếp xúc nhau Điểm chung gọi là tiếp

điểm

c) Hai đường tròn không có điểm chung

Tính chất đường nối tâm

Định lý:

Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối

xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường

nối tâm là đường trung trực của dây chung

Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm

nằm trên đường nối tâm

Hệ thức giữa đoạn nối tâm và các bán kính

a) Hai đường tròn cắt nhau

R r OO  R r

b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau

Nếu hai đường tròn  O và  O tiếp xúc ngoài thì

OO  R r.

Nếu hai đường tròn  O và  O tiếp xúc trong thì

OO  R r

c) Hai đường tròn không giao nhau

Nếu hai đường tròn  O và  O ở ngoài nhau thì

OO R r

Nếu đường tròn  O chứa đường tròn   O thì

OO R r

Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường

thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Các bài toán có hai đường tròn tiếp xúc nhau

Phương pháp giải

- Vẽ đường nối tâm và chú ý rằng tiếp điểm nằm

trên đường nối tâm, dùng hệ thức d  R r hoặc

d  R r

- Nếu cần, có thể vẽ tiếp tuyến chung tại tiếp

điểm

Ví dụ: Cho hai đường tròn  O và  O tiếp xúc

ngoài tại điểm A Đường thẳng d(d không trùngvới OO) qua điểm Acắt hai đường tròn  O và

 O lần lượt tại C và D Chứng minh rằng

Mặt khác OAC O AD  (đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra OCA O DA (so le trong)

 OC O D//  Vậy OC O D// 

Ví dụ mẫu

Ví dụ Cho hai đường tròn  O và  O tiếp xúc ngoài tại A Kẻ các đường kính AOB và AO C Gọi

DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (D thuộc  O , E thuộc  O ) Gọi M là giao điểm của

a) Xét hai tam giác cân OAD và O CE có

b) Vì đường tròn  O đường kính AB đi qua 3 điểm , ,A B D nên ADBD

Vì đường tròn  O đường kính AC đi qua 3 điểm , ,A C E nên AECE

Xét tứ giác ADME có DAEAEM ADM 90 nên tứ giác ADME là hình chữ nhật

c) Vì ADME là hình chữ nhật nên DAM ADE

Tam giác OAD cân tại O nên DAO ODA

Ta có ADE ODA 90 DAM OAD 

Suy ra MAAB hay MABC

Vì MAABtại A nên MA là tiếp tuyến của đường tròn  O

Vì MAACtại A nên MA là tiếp tuyến của đường tròn  O

Vậy MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn  O và  O

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1: Cho đường tròn  O và  O tiếp xúc ngoài tại A Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B nằm trênđường tròn  O , C nằm trên đường tròn  O Tiếp tuyến chung trong tại Acắt tiếp tuyến chung ngoài

BC ở I

a) Chứng minh BAC   90

b) Tính số đo góc OIO.

c) Tính độ dài BC biết OA 4 cm, O A 9 cm

Câu 2: Hai đường tròn O;3cm và O;1cm tiếp xúc ngoài tại A Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC(Bvà

C là các tiếp điểm) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC

Bài tập nâng cao

Câu 3: Cho hai đường tròn O R và ;  O r; tiếp xúc ngoài tại A Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC (

tròn trên và tiếp xúc với đoạn thẳng AB

Dạng 2: Các bài toán cho hai đường tròn cắt nhau

Phương pháp giải

Phương pháp: Sử dụng các kiến thức sau:

1 Dùng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

2 Dùng khái niệm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp

3 Dùng hệ thức lượng về cạnh và góc trong tam

giác vuông

Ví dụ: Cho hai đường tròn  O và  O cắt nhau

tại Avà B Tính độ dài đoạn OO, biết

15cm, 13cm, 24cm

OA O A  AB

Hướng dẫn giải

Vì OA OB và O A O B   nên OO là đường

trung trực của đoạn thẳng AB

Gọi H là giao điểm của AB và OO.Khi đó H là trung điểm của AB và OO AB

Vì ACcắt đường tròn  B tại C và ACBCnên AClà tiếp tuyến của đường tròn  B

b) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC có

AB AC CB  AC   AC (cm)

c) Chứng minh tương tự phần a) ta có AD là tiếp tuyến của đường tròn  B

Vì tiếp tuyến tại C và D của đường tròn  B cắt nhau tại Anên ACAD (1)

Và BCBD R (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB là đường trung trực của đoạn thẳng CD.

Câu 1: Cho hai đường tròn  O và  O cắt nhau tại A và B Gọi M là trung điểm của OO Qua A

kẻ đường thẳng vuông góc với AM , cắt các đường tròn  O và  O ở C và D Chứng minh rằng

ACAD

Câu 2: Cho hai đường tròn tâm O và O cắt nhau tại hai điểm A và B Đường thẳng AO cắt đườngtròn  O tại điểm C, đường thẳng AO cắt đường tròn  O tại điểm D

a) Chứng minh rằng , ,C B D thẳng hàng.

b) So sánh độ dài hai đoạn thẳng OOvà CD

c) Kẻ CEvuông góc với DA và DF vuông góc với CA Chứng minh ,E F nằm trên các đường tròn

 O và  O

d) Chứng minh rằng ba đường thẳng CE, DFvà AB đồng quy

Bài tập nâng cao

Câu 3: Cho đường tròn  O và một điểm A nằm trên đường tròn đó Trên đoạn OA lấy điểm Bsao cho1

3

OB OA Vẽ đường tròn đường kính AB

a) Chứng minh đường tròn đường kính ABtiếp xúc với đường tròn  O cho trước.

b) Vẽ đường tròn đồng tâm  O với đường tròn  O cho trước, cắt đường tròn đường kính AB tại C Tia

AC cắt hai đường tròn đồng tâm tại D và E (D nằm giữa C và E) Chứng minh AC CD DE 

Câu 4: Cho đường tròn  O , đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O Vẽ đường tròn  I có đường

kính CB

a) Xét vị trí tương đối của hai đường tròn  O và  I

b) Kẻ dây DE của đường tròn  O vuông góc với AC tại trung điểm H của AC Tứ giác ADCE làhình gì? Vì sao?

c) Gọi K là giao điểm của DB và đường tròn  I Chứng minh , , E C K thẳng hàng.

d) Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn  I

Dạng 3: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn khi biết hệ thức giữa d với ,R r và ngược lại

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức:

a) Hai đường tròn cắt nhau:

R r OO  R r

b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau:

 Nếu hai đường tròn  O và   O tiếp xúc

ngoài thì OO  R r

 Nếu hai đường tròn  O và   O tiếp xúc

trong thì OO  R r

c) Hai đường tròn không giao nhau:

 Nếu hai đường tròn  O và  O ở ngoài nhau

Gọi H  1;1 thuộc đường tròn  I

Xét tam giác IHJ có H 90 , IH 3,JH  3

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông

IHJ có

IJ IH HJ     IJ 

Ta có IJ 3 2 3 2    R rVậy hai đường tròn  I và  J cắt nhau tại hai

điểm phân biệt

Vậy đường tròn  O và M tiếp xúc nhau tại  A.

 Xét vị trí tương đối giữa hai đường tròn  O và  I

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông OIN có

Ta có OI R O R I nên hai đường tròn  O và  I cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

 Xét vị trí tương đối giữa hai đường tròn M và   I

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông MIN có

Câu 1 Cho góc vuông xOy Các điểm A và B theo thứ tự di chuyển trên các tia Ox Oy sao cho,

OA OB k  (hằng số) Vẽ các đường tròn A OB và ;  B OA Chứng minh rằng hai đường tròn ;   A và

 B luôn cắt nhau.

Bài tập nâng cao

Câu 2 Cho hai đường tròn tâm O và O có cùng bán kính, cắt nhau tại A và B Đoạn nối tâm OO cắt

các đường tròn  O và  O thứ tự ở C và D Tính bán kính mỗi đường tròn biết AB 24 cm,

12

CD  cm

Câu 3 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tạiđiểm C Gọi D và E theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và B trên d

a) Các đường tròn A AD và ;  B BE có vị trí nào đối với nhau?; 

b) Chứng minh rẳng AB là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là DE

Câu 4 Cho điểm Athuộc đoạn OI sao cho OA AI Dựng đường tròn O OA và ;  I IA Tiếp tuyến; chung ngoài BC của hai đường tròn (B O và   C I ) giao với tiếp tuyến chung trong tại điểm   M a)  O và  I tiếp xúc ngoài tại A

b) Tam giácABC vuông tại Avà tam giác OMIvuông tại M

c) Tia AO giao với  O tại D, tia OA giao với  I tại E, tia DB và EC giao nhau tại K Chứng minh

3 điểm ,K M A thẳng hàng.,

d) Tính diện tích tứ giác OBCI biết OA 16cm, IA 9 cm

ĐÁP ÁN Dạng 1: Các bài toán có hai đường tròn tiếp xúc nhau

Câu 1

a) Vì tiếp tuyến tại A và B của đường tròn  O cắt nhau tại I nên IA IB và BIO OIA (1)

Vì tiếp tuyến tại A và C của đường tròn  O cắt nhau tại I nên IA IC và AIOO IC  (2)

Từ (1) và (2) suy ra IA IB IC 

Xét tam giác ABCcó IA IB IC  và I nằm trên BC nên tam

giác ABC vuông tại A

Dựng tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại tiếp điểm chung A, cắt BC tại M suy ra MA OO

Và theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau của một đường tròn thì

1

32

Tương tự ta tính được AB  3cm.

Vậy AB  3cm, AC 3cm, BC 2 3cm

Câu 3.

a) Dựng tiếp tuyến chung tại A của hai đường tròn, tiếp tuyến đó cắt BC tại M

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì MA MB MC 

Xét tam giác ABC có MA MB MC  và M nằm trên BC thì ABC vuông tại A

Vậy BAC   90

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì MO MO lần lượt là tia,

phân giác của hai góc AMB và CMA.

Vì AMB và CMA là hai góc kề bù nên MOMO

Xét tam giác vuông OMO, với MA là đường cao có

Do đó tứ giác BDEC là hình thang

Kẻ tiếp tuyến chung tại Acủa đường tròn  O và  O , tiếp tuyến đó cắt BC DE theo thứ tự tại ,, M N

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau thì MO và MO là tia phân giác hai góc BMA và AMC.Mặt khác hai góc BMA và AMCkề bù nhau nên MOMO

Xét tam giác vuông OMO với MA là đường cao có

2

MA OA O A   MA  MN  MA và BC2MA12

Vì M là trung điểm BC, N cũng là trung điểm của DE nên

MN là đường trung bình của hình thang BCED

2

BD CE

Qua B dựng đường vuông góc với CE cắt CE tại H, cắt O C tại K

Xét tứ giác OBKO có BO KO (cùng vuông góc với // BC);

//

BK OO (cùng vuông góc với CE)

Do đó tứ giác OBKO là hình bình hành, suy ra BK OO 13

Xét tam giác vuông BCK với đường cao CH có

Với a 2 6xthay vào (1) không thỏa mãn.

Với a 6 2x thay vào (1) ta được

Xét tứ giác OIJO có OI O J//  (cùng vuông góc với IJ )

Suy ra tứ giác OIJOlà hình thang và I J 90 nên tứ giác

OIJOlà hình thang vuông.

Có MAIJ nên MA OI O J// // 

Vì M là trung điểm của OO nên A là trung điểm của IJ.

b) Xét tam giác ACDcó O là trung điểm của AC;

O là trung điểm của AD.Suy ra OO là đường trung bình trong tam giác ACD

Vậy OO// CD và OO 1

2CD

c) Vì tam giác ACE vuông tại E nên OA OC OE 

Khi đó E nằm trên đường tròn tâm O đường kính AC

Vì tam giác ADF vuông tại F nên O A O D O F    

Khi đó F nằm trên đường tròn tâm O đường kính AD

d) Gọi I là giao điểm của CE và DF

Xét tam giác ICD có 2 đường cao DE và CF cắt nhau tại A nên A là trực tâm tam giác ICD

a) Gọi O là tâm đường tròn đường kính AB

Ta có đường tròn  O và  O cắt nhau tại A

Và OO OA O A   (với OA là bán kính đường tròn  O và O A là bán kính đường tròn  O ).

Vậy đường tròn  O và  O tiếp xúc trong với nhau tại điểm A.

b) Dựng OI CD

Suy ra I là trung điểm của CD hay IC ID (1)

Xét tam giác OAE có OA OE nên tam giác cân tại O

Khi đó OI vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

Vậy hai đường tròn  O và  I tiếp xúc trong với nhau tại B

b) Xét đường tròn  O có OA CD tại H nên H là trung điểm DE

Theo giả thiết Hlà trung điểm AC

Xét tứ giác ADCE có hai đường chéo ACvà DEcắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên tứ giác

ADCE là hình bình hành

Mặt khác ACDE nên tứ giác ADCE là hình thoi

c) Xét tam giác ABD có AB là đường kính của đường tròn  O đi qua 3 điểm , , A B D nên tam giác ABD vuông tại D

Xét tam giác vuông ABD với DH là đường cao có ADH ABD (cùng phụ góc BAD) (1)

Vì ADCE là hình thoi nên ADH HEC (2)

Từ (1) và (2) suy ra HECABD.

Xét tam giác EKD và BHDcó

Xét tam giác BCK có BC là đường kính của đường tròn đi qua 3 điểm , ,B C K nên tam giác BCK

vuông tại K, hay CK BD (4)

Từ (3) và (4) suy ra , ,E C K thẳng hàng.

d) Xét tam giác EKDvuông tại Kcó KH là đường trung tuyến nên HK HD HE

Do đó tam giác HKE cân tại H nên HEC HKE (*)

Lại có tam giác IBK cân tại I nên IKB IBK (**)

Mặt khác HECABD(chứng minh trên) (***)

Do đó từ (*), (**) và (***) ta có HKC IKB

Ta có HKI HKC CKI IKB CKI  90

Hay HK IK

Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn  I

Dạng 3: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn khi biết hệ thức giữa d với ,R r và ngược lại

Vậy R 15(cm).

Câu 3.

a) Vì ADDE BE, DE nên ABEDlà hình thang vuông

Vì DE là tiếp tuyến của đường tròn  C tại C nên OCDE

Ta có tam giác OBC cân tại O nên ABC OCB (1)

Vì OC BE// nên OCB CBE (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) suy ra OBC CBE

Xét tam giác CBH và CBE có

CHB CEB   ;

BC là cạnh chung;

OBC CBE (chứng minh trên)

Suy ra CBH CBE (cạnh huyền – góc nhọn)  CH CE

Vì C là tâm đường tròn đường kính DE và , 1

2

CH AB CH  DE nên AB là tiếp tuyến của đường tròn

đường kính DE, với tiếp điểm làH

Câu 4.

a) Ta có OI OA AI 

Khoảng cách hai tâm bằng tổng bán kính

Suy ra  O và  I tiếp xúc ngoài tại A

b) Xét tam giác ABC ta có:

MA MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

MA MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra MA MB MC   ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC

ABC

  vuông tại A

Gọi ,P Q lần lượt là giao điểm của AB với OM , của AC với MI

Ta có MA MB ( hai tiếp tuyến cắt nhau); OA OB ( ,A B cùng thuộc  O )

Chứng minh tương tự MQA   90

Lại có PAQ   (90 ABC vuông tại A)

Có KA và BC là hai đường chéo của hình chữ nhật ABKC

Suy ra KA cắt BC tại trung điểm mỗi đường

Mà M là trung điểm BC(MB MC )

 M cũng là trung điểm KA K M A, , thẳng hàng

d) Dễ thấy OBCI là hình thang vuông

Xét OMI vuông tại M , đường cao MA , ta có