Bài 7 giải bài toán bằng cách lập phương trình

Câu 5: Một người thợ làm 120 sản phẩm trong một thời gian và năng suất dự định.. + Nếu đội nào làm xong công việc trong x ngày thì trong một ngày đội đó làm được 1 x công việc.. Số phần

BÀI 7: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm vững các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

+ Nắm vững các kiến thức liên quan đến các dạng toán: Quan hệ giữa các số; toán chuyển động;toán năng suất, toán công việc chung riêng, toán hình học,…

 Kĩ năng

+ Gọi ẩn chính xác và biểu diễn các đại lượng trong bài toán theo ẩn số đã cho và các đại lượng

đã biết

+ Lập luận logic, chính xác, chặt chẽ khi lập phương trình

+ Giải được các dạng toán cơ bản: Quan hệ giữa các số; toán chuyển động; toán năng suất, toáncông việc chung riêng, toán hình học,… bằng cách lập phương trình

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương

trình

Bước 1 Lập phương trình:

Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

Lưu ý khi đặt điều kiện cho ẩn:

+ Ẩn x là vận tốc, thời gian, độ dài, năng suất: x 0

+ Ẩn x là người, con vật, sản phẩm: x nguyên dương + Ẩn x là chữ số hàng đơn vị: 0 x 9,x 

Ẩn x là chữ số hàng lớn nhất trong số:

0x9,x 

 Biểu diễn các đại lượng chưa biết thông

qua ẩn và các đại lượng đã biết

 Lập phương trình biểu thị mối quan hệ

giữa các đại lượng

Bước 2 Giải phương trình.

Bước 3 Đối chiếu nghiệm của phương trình với

điều kiện của ẩn số và kết luận bài toán

HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

1 Phương pháp giải

+ Lập phương trình:

 Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

 Biểu diễn các đại lượng

Thực hiện đầy đủ các bước trong giải bài toán bằng cách lập phương trình

Sử dụng mối quan hệ giữa các số để ta biểu diễn các đại lượng:

+ Biểu diễn số có hai chữ số: ab10ab0a9;0 b 9; ,a b .

+ Biểu diễn số có ba chữ số: abc100a10bc với 0a9;0b c, 9; , ,a b c 

Gọi số bé là x x    Số tự nhiên kề sau là x 1

Vì tổng các bình phương của nó là 145 nên ta có phương trình:

Vậy hai số phải tìm là 8 và 9

Ví dụ 2 Tìm số tự nhiên có hai chữ số Biết tổng của hai chữ số của chúng bằng 10 và tích của hai chữ số

ấy nhỏ hơn số đã cho là 12

Hướng dẫn giải

Gọi chữ số hàng chục của số đã cho là x, điều kiện: *

x xChữ số hàng đơn vị là 10 x

Giá trị của số đã cho là 10x10 x9x10

Theo bài ra, ta có phương trình:   2

x  x  x   x  x   x (thỏa mãn) hoặc1

Câu 1: Cho một số tự nhiên có hai chữ số Tổng hai chữ số của chúng bằng 12 Tích hai chữ số ấy nhỏ

hơn số đã cho là 16 Tìm số đã cho

Câu 2: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109 Tìm hai số đó.

Câu 3: Tìm hai số tự nhiên biết rằng số thứ nhất lớn hơn số thứ hai là 5 đơn vị và tổng các bình phương

của chúng bằng 125

Câu 4: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 9 Nếu bớt tử số đi 1 đơn vị và bớt mẫu số đi 1 đơn vị sẽ

được phân số mới là nghịch đảo của phân số đã cho Tìm phân số đó

đường 30 km trong thời gian t giờ là 30

Ví dụ 1 Một người đi ô tô từ A đến B cách nhau 90 km Khi đi từ B trở về A, người đó tăng tốc độ thêm

5 km/h so với tốc độ lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 15 phút Tính vận tốc của ô tô khi đi

từ A đến B?

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của ô tô khi đi từ A đến B là x (km/h) Điều kiện: x 0

Vận tốc của ô tô khi đi từ B đến A là x 5 (km/h)

Thời gian của ô tô khi đi từ A đến B là 90

Phương trình có hai nghiệm x 1 40 (thỏa mãn) và x 2 45 (không thỏa mãn)

Vậy vận tốc của ô tô khi đi từ A đến B là 40 km/h

Câu 2: Một ô tô đi trên quãng đường dài 520 km Khi đi được 240 km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/h

nữa và đi hết quãng đường còn lại Tính vận tốc ban đầu của ô tô biết thời gian đi hết quãng đường là 8giờ

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc ban đầu của ô tô là x (km/h) Điều kiện: x 0.

Vận tốc lúc sau của ô tô là x 10 (km/h)

Thời gian của ô tô đi hết quãng đường đầu là 240

Phương trình có hai nghiệm x 1 60 (thỏa mãn) và x 2 5 (không thỏa mãn)

Vậy vận tốc ban đầu của ô tô khi đi là 60 km/h

Bài toán 2 Chuyển động trên dòng nước

Phương pháp giải

Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng của ca nô + vận tốc dòng nước (viết tắt là v x v r v n)

Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng của ca nô – vận tốc dòng nước (viết tắt là v ng v r v n, chú ý v r v n

)

Quãng đường = vận tốc  thời gian; S x v t S x ;x ng v t ng.ng

Ví dụ mẫu

Ví dụ Một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 40 km sau đó đi ngược dòng từ B về A Cho biết thời

gian đi xuôi dòng ít hơn thời gian đi ngược dòng là 20 phút, vận tốc dòng nước là 3 km/h và vận tốc riêngcủa ca nô không đổi Tính vận tốc riêng của ca nô

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h) Điều kiện x 3

Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là x 3 (km/h)

Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là x  3 (km/h)

Thời gian ca nô khi xuôi dòng là 40

Câu 1: Quãng đường từ A đến B dài 90 km Một người đi xe máy từ A đến B, người đó nghỉ 30 phút rồi

quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9 (km/h) Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúctrở về A là 5 giờ Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B

Câu 2: Một ô tô dự định đi quãng đường A đến B dài 120 km trong một thời gian nhất định Khi đi được

nửa quãng đường thì xe dừng lại 3 phút vì vậy để đến B đúng hẹn thì nửa quãng đường sau ô tô phải tăngvận tốc thêm 2 km/h Tính vận tốc dự định của ô tô

Câu 3: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 30 km với vận tốc xác định Khi từ B trở về A người

ấy có chút việc riêng nên đi theo đường khác dài hơn đường cũ 6 km và vận tốc lớn hơn lúc đầu đi là 3km/h Tính vận tốc lúc đi của xe đạp, biết rằng thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút

Câu 4: Quãng đường AB dài 150 km, hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A để đi đến B Vận tốc của xe

thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe thứ hai 10 km/h nên xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ hai là 30 phút Tínhvận tốc của mỗi xe

Câu 5: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48 km Một ca nô đi từ bến A đến bến B, rồi quay lại

bến A Thời gian cả đi và về là 5 giờ Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc củadòng nước là 4 km/h

Câu 6: Lúc 6 giờ 30 phút sáng, một ca nô xuôi dòng từ A đến B dài 48 km Khi đến B, ca nô nghỉ 30 phút

sau đó lại ngược dòng từ B về đến A lúc 10 giờ 36 phút cùng ngày Tìm vận tốc riêng của ca nô, biết vậntốc dòng nước là 3 km/h

Bài tập nâng cao

Câu 7: Cho quãng đường AB dài 90 km Lúc 6 giờ một xe máy đi từ A để đến B Lúc 6 giờ 30 phút cùng

ngày, một ô tô cũng đi từ A để tới B với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy 15 km/h (hai xe chạy trên cùngmột con đường đã cho) Hai xe nói trên đều đến B cùng lúc Tính vận tốc mỗi xe

Câu 8: Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km; cùng lúc đó, cũng từ A về

B một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước là 4 km/h Khi đến B ca nô quay lại và gặp bè nứa tại địa điểm Ccách A là 8 km Tính vận tốc riêng của ca nô?

Câu 9: Một ca nô xuôi dòng 45 km rồi ngược dòng 18 km Biết rằng vận tốc xuôi dòng lớn hơn vận tốc

ngược dòng là 6 km/h Thời gian đi xuôi nhiều hơn thời gian đi ngược là 1 giờ Tính vận tốc xuôi dòng vàvận tốc ngược dòng của ca nô biết rằng vận tốc ca nô đi ngược dòng lớn hơn 10 km/h?

Dạng 3: Toán về năng suất lao động

Phương pháp giải

Năng suất là khối lượng công việc làm được trong một

đơn vị thời gian

 Tổng lượng công việc = Năng suất  thời gian

 Năng suất = Tổng lượng công việc: Thời gian

 Thời gian = Tổng lượng công việc: Năng suất

Ví dụ Một xí nghiệp theo kế hoạch phải sản xuất 75 sản phẩm trong một số ngày dự kiến Trong thực tế,

do cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày xí nghiệp làm vượt mức 5 sản phẩm, vì vậy không những họ đã làmđược 80 sản phẩm mà còn hoàn thành sớm hơn kế hoạch 1 ngày Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xí nghiệp

đó sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Hướng dẫn giải

Gọi số sản phẩm mà xí nghiệp phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là x (sản phẩm) Điều kiện x ;x75

Số sản phẩm mỗi ngày xí nghiệp làm được trong thực tế là x 5 (sản phẩm)

Số ngày xí nghiệp cần làm theo dự kiến là 75

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x 15 (thỏa mãn) và x 25 (loại)

Vậy theo kế hoạch thì mỗi ngày xí nghiệp cần làm 15 sản phẩm

Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 1: Một phân xưởng theo kế hoạch cần sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định Do mỗi

ngày phân xưởng đó vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gianquy định là 2 ngày Hỏi theo kế hoạch thì mỗi ngày phân xưởng đó cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm

Câu 2: Để chở hết 240 tấn hàng ủng hộ đồng bào miền núi, 1 đội xe dự định dùng 1 số xe cùng loại Lúc

sắp khởi hành, họ được bổ sung thêm 4 xe cùng loại của đội, nhờ vậy so với dự định ban đầu mỗi xe phảichở ít hơn 3 tấn Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe, nếu khối lượng mỗi xe phải chở bằng nhau

Câu 3: Một tổ sản xuất phải làm 600 sản phẩm trong một thời gian quy định với năng suất như nhau Sau

khi làm được 400 sản phẩm, tổ đã tăng năng suất thêm mỗi ngày 10 sản phẩm, do đó đã hoàn thành côngviệc sớm hơn 1 ngày Tính số sản phẩm làm trong mỗi ngày theo quy định

Câu 4: Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” một đội tàu dự định chở 280 tấn hàng ra đảo.

Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa đã tăng thêm 6 tấn so với dự định Vì vậy đội tàu phải bổsung thêm 1 tàu và mỗi tàu chở ít hơn dự định 2 tấn hàng Hỏi khi dự định đội tàu có bao nhiêu chiếc tàu,biết các tàu chở số tấn hàng bằng nhau

Câu 5: Một người thợ làm 120 sản phẩm trong một thời gian và năng suất dự định Khi làm được 50 sản

phẩm, người thợ đó nhận thấy làm với năng suất như vậy sẽ thấp hơn năng suất dự định là 2 sản phẩmmột ngày Do đó, để hoàn thành đúng thời gian đã định, người thợ đó tăng năng suất thêm 2 sản phẩmmột ngày so với dự định Tính năng suất dự định của người thợ đó

Dạng 4: Toán công việc làm chung, riêng

Ta chú ý rằng:

+ Thường coi khối lượng công việc là 1 đơn vị

công việc

+ Nếu đội nào làm xong công việc trong x

(ngày) thì trong một ngày đội đó làm được 1

x

(công việc)

+ Nếu vòi nào chảy riêng một mình đầy bể

trong x (giờ) thì trong 1 giờ vòi đó chảy được

Ví dụ Hai người cùng làm một công việc trong 12 giờ

thì xong Trong một giờ hai người làm được 1

12 (côngviệc)

Số phần công việc mà mỗi người làm được trong mộtgiờ và số giờ người đó hoàn thành công việc là hai đạilượng tỉ lệ nghịch với nhau

Nếu người thứ nhất làm xong công việc trong x giờ thì

trong 1 giờ thì người đó làm được 1

x (công việc)

x (bể)

+ Năng suất 1 + Năng suất 2 = Tổng năng suất

Người thứ hai làm xong công việc trong y giờ thì trong

1 giờ người đó làm được 1

y (công việc)

Trong 1 giờ, cả hai người làm được 1 1

x y (công việc)

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Hai công nhân cùng làm chung một công việc thì trong 8 giờ xong công việc Nếu mỗi người

làm một mình, để hoàn thành công việc đó thì người thứ nhất cần làm nhiều hơn người thứ hai là 12 giờ.Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc đó?

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x (giờ).

Điều kiện: x 12

Người thứ hai làm một mình xong công việc trong x  12 (giờ)

Trong một giờ, người thứ nhất làm được 1

x (công việc)

Trong một giờ, người thứ hai làm được 1

12

x  (công việc)

Trong một giờ, cả hai người làm được 1

8 công việc, nên ta có phương trình:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x 1 24 (thỏa mãn), và x 2 4 (loại)

Vậy một mình người thứ nhất làm trong 24 giờ thì xong công việc

Một mình người thứ hai làm trong 12 giờ thì xong công việc

Ví dụ 2 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước sau 6 giờ 40 phút thì đầy bể Nếu để chảy

một mình thì thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 3 giờ Tính thời gian mỗi vòichảy một mình đầy bể

Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là x 3 (giờ)

Một giờ vòi thứ nhất chảy được 1

Câu 1: Nếu hai vòi nước chảy vào một bể không có nước thì bể đầy sau 2 giờ 24 phút Nếu mỗi vòi chảy

riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảytrong bao nhiêu giờ thì đầy bể

Câu 2: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 7 giờ 12 phút đầy bể Nếu để mỗi vòi chảy riêng

mà đầy bể thì tổng thời gian là 30 giờ Hãy tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể

Câu 3: Lớp 9A và lớp 9B cùng lao động tổng vệ sinh sân trường thì sau 6 giờ sẽ hoàn thành xong công

việc Nếu làm riêng thì lớp 9A mất nhiều thời gian hơn lớp 9B là 5 giờ mới hoàn thành xong công việc.Hỏi nếu làm riêng, mỗi lớp cần bao nhiêu thời gian để hoàn thành công việc

Câu 4: Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 4 giờ 48 phút thì xong Nếu họ làm riêng thì

người thứ nhất hoàn thành công việc nhanh hơn người thứ hai là 4 giờ Hỏi nếu làm riêng thì mỗi ngườicần bao nhiêu giờ để xong công việc đó

Dạng 5: Toán có nội dung hình học

Phương pháp giải

Ta cần ghi nhớ các công thức về chu vi, diện tích của các hình vuông, hình chữ nhật, hình tam giác,…+ Với hình chữ nhật:

 Diện tích = Chiều dài  chiều rộng

 Chu vi = (Chiều dài + Chiều rộng)  2

+ Với hình tam giác:

Hướng dẫn giải

Gọi chiều rộng khu vườn là x (m) Điều kiện: x 0

Chiều dài khu vườn là x 3 (m)

Do diện tích khu vườn là 2

180 m nên ta có phương trình: x x  3 180Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x 1 12 (thỏa mãn), x 2 15 (loại)

Vậy chiều rộng khu vườn là 12 m, chiều dài khu vườn là 15 m

Bài tập tự luyện dạng 5

Câu 1: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 34 mét và một đường chéo bằng 13 mét Tính chiều

dài, chiều rộng mảnh đất đó theo đơn vị là mét

Câu 2: Một tam giác có chiều cao bằng 3

4 cạnh đáy Nếu chiều cao tăng thêm 3 dm và cạnh đáy giảm đi

3 dm thì diện tích của nó tăng thêm 2

12 dm Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác

Câu 3: Một mảnh vườn hình chữ nhật trước đây có chu vi là 136 m Nay người ta mở rộng chiều dài

thêm 5 m, chiều rộng thêm 3 m, do đó diện tích mảnh vườn tăng thêm 2

255 m Tính chiều dài và chiềurộng của mảnh vườn lúc đầu

Ví dụ Một phòng họp có 90 người họp được sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế Nếu ta bớt 5 dãy ghế thì

mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm 3 người mới đủ chỗ Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế đượcxếp bao nhiêu người?

Hướng dẫn giải

Gọi số dãy ghế lúc đầu là x (dãy) Điều kiện: x;x 5

Số người của một dãy ghế là 90

x (người)

Số dãy ghế sau khi bớt 5 dãy là x  5 (dãy)

Số người của một dãy sau khi bớt là 90

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x 1 15 (thỏa mãn), x 2 10 (loại)

Vậy lúc đầu phòng họp có 15 dãy ghế và mỗi dãy có 6 người

Bài tập tự luyện dạng 6

Câu 1: Một phòng họp có 300 ghế ngồi nhưng phải xếp cho 357 người đến dự họp, do đó ban tổ chức đã

kê thêm một hàng ghế và mỗi hàng ghế phải xếp thêm nhiều hơn quy định 2 ghế mới đủ chỗ ngồi Hỏi lúcđầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng ghế có bao nhiêu ghế?

Câu 2: Hưởng ứng phong trào thi đua “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực”, lớp 9A

trường THCS Phúc Xá dự định trồng 300 cây xanh Đến ngày lao động, có 5 bạn được Liên Đội triệu tậptham gia chiến dịch an toàn giao thông nên mỗi bạn còn lại phải trồng thêm 2 cây mới đảm bảo kế hoạchđặt ra Hỏi lớp 9A có bao nhiêu học sinh?

Câu 3: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định Do áp dụng kĩ thuật

mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II vượt mức 21% Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thànhvượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?

Câu 4: Trong phong trào trồng cây gây rừng, một lớp học tham gia ba đợt trồng cây trong năm Số cây

mỗi em trong lớp trồng trong mỗi đợt là như nhau Đợt một lớp vắng 5 em, trồng được 120 cây Đợt hailớp vắng 3 em, trồng được 160 cây Đợt ba lớp không vắng em nào, trồng được 315 cây Biết rằng một

học sinh có mặt cả ba đợt trồng cây có số cây trồng đợt thứ ba bằng tổng số cây trồng được của cả hai đợttrước Tính số học sinh của lớp.

Câu 5: Người ta hòa lẫn 4 kg chất lỏng I với 3 kg chất lỏng II thì được một hỗn hợp có khối lượng riêng

Câu 1:

Gọi chữ số hàng chục là  * 

x x x Chữ số hàng đơn vị là 12 x

Giá trị của số đã cho là 10x12 x

Vì tích của hai chữ số nhỏ hơn số đã cho là 16 nên ta có phương trình:

Phương trình có nghiệm là x 1 11 (thỏa mãn) và x 2 10 (không thỏa mãn)

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 11 và 12

Khi bớt tử số đi 1 đơn vị và bớt mẫu số đi 1 đơn vị, ta được phân số 1

8

x x