Bài 1 sự xác định đường tròn tính chất đối xứng của đường tròn

TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN Mục tiêu  Kiến thức + Trình bày được khái niệm đường tròn + Trình bày được cách xác định của đường tròn + Xác định được đường tròn nội tiếp, đường tròn

CHƯƠNG 2 ĐƯỜNG TRÒN BÀI 1 SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN Mục tiêu

 Kiến thức

+ Trình bày được khái niệm đường tròn

+ Trình bày được cách xác định của đường tròn

+ Xác định được đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp tam giác

 Kĩ năng

+ Biết cách vẽ một đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng

+ Chứng minh được bài toán về điểm nằm trong, nằm trên hoặc nằm ngoài đường tròn

+ Vận dụng vào các bài toán thực tế

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Nhắc lại đường tròn

Tập hợp các điểm M cách điểm O một khoảng cho trước

không đổi R 0 được gọi là đường tròn tâm O, bán kính R, kí

hiệu là O R; 

Một số hình ảnh trong thực tế về đường

tròn:

Cách xác định đường tròn

Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn

Nhắc lại: Đường tròn đi qua ba đỉnh của ABC gọi là đường tròn ngoại

tiếp ABC

Tâm đối xứng

Đường tròn là hình có tâm đối xứng Tâm của đường tròn là tâm đối

xứng của đường tròn đó

Trục đối xứng

Đường tròn là hình có trục đối xứng Bất kì đường kính nào cũng là trục

đối xứng của đường tròn

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

ĐƯỜNG TRÒN

Đường tròn là hình có trục đối

xứng Bất kì đường kính nào

cũng là trục đối xứng của đường

tròn

Tập hợp các điểm cách điểm một khoảng cho trước không đổi được gọi là đường tròn tâm , bán kính , kí hiệu là

Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn

Đường tròn là hình có tâm đối xứng Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó Khái niệm

Cách xác định đường tròn

â m

xứ ng

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Chứng minh các điểm cùng nằm trên một đường tròn

 Phương pháp giải

Cách 1 Dùng định lí: “Tâm của đường tròn ngoại

tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền”

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh BC

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC

Vì tam giác ABC vuông tại A và AI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác nên

IA IB IC  Vậy I là tâm đường tròn đi qua ba điểm A B C, , (đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

Cách 2 Chứng minh các điểm cho trước cùng cách

đều một điểm nào đó

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các đường cao

BD và CE cắt nhau tại I Chứng minh rằng bốn điểm A E D I, , , cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải

Gọi O là trung điểm của AI Tam giác ADI vuông tại D nên ta có

OA OD OI  (1) Tam giác AIE vuông tại E nên ta có

OA OE OI  (2)

Từ (1) và (2) suy ra OA OD OI OE   Vậy bốn điểm A D I E, , , cùng thuộc đường tròn

O OA; 

 Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD Gọi E F G H, , , lần lượt là trung điểm của , , ,

AB BC CD DA Chứng minh rằng bốn điểm E F G H, , , thuộc cùng một đường tròn.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có E là trung điểm của AB, F là trung điểm của BC nên EF là đường trung bình

trong tam giác ABC EF AC ∥ và 1

2

EF AC (1)

Chứng minh tương tự ta có HG AC ∥ và 1

2

HG AC (2)

EH BD ∥ và 1

2

EH  BD (3)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau)

Từ (2) và (3) ta có HG AC ∥ và EH BD ∥

Mặt khác theo giả thiết thì AC BD nên HG HE

Suy ra tứ giác EFGH là hình chữ nhật (hình bình hành có một góc vuông)

Vậy bốn điểm E F G H, , , cùng nằm trên một đường tròn có tâm là giao điểm của hai đường chéo EG và

FH

Ví dụ 2 Trên các cạnh AB BC CD DA, , , của hình vuông ABCD theo thứ tự ta lấy các điểm E F G H, , , sao cho AE BF CG DH   Gọi O là tâm của hình vuông Chứng minh các điểm E F G H, , , cùng nằm trên một đường tròn tâm là điểm O

Hướng dẫn giải

Xét các tam giác OEA OFB OGC OHD, , , có

AE BF CG DH   (giả thiết);

OAE OBF OCG ODH     OA OB OC OD  

Do đó OEAOFBOGCOHDc.g.c

OE OF OG OH

Vậy bốn điểm E F G H, , , cùng nằm trên đường tròn tâm O

 Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1 Cho tứ giác ABCD có góc A và C cùng bằng 90 Chứng minh bốn điểm A B C D, , , cùng nằm trên một đường tròn

Câu 2 Cho tứ giác lồi ABCD có các đường trung trực của các đoạn thẳng AB BC AD, , đồng quy tại một điểm Chứng minh rằng các đỉnh A B C D, , , của tứ giác cùng thuộc một đường tròn.

Bài tập nâng cao

Câu 3 Cho tam giác ABC, H là trực tâm tam giác ABC Lấy D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC Chứng minh bốn điểm A B C D, , , cùng nằm trên một đường tròn.

Câu 4 Cho hình thang cân ABCD Chứng minh rằng bốn điểm A B C D, , , cùng nằm trên một đường tròn

Câu 5 Cho tam giác ABC cân tại A, đường tròn tâm O đường kính BC cắt hai cạnh AB và AB lần lượt tại N và M Gọi H là giao điểm của BM và CN

a) Chứng minh AH vuông góc với BC

b) Chứng minh bốn điểm A N H M, , , cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm I của đường tròn này

Dạng 2 Xác định vị trí của một điểm với một đường tròn cho trước.

 Phương pháp giải

Muốn xác định vị trí của điểm M đối với đường

tròn O R , ta so sánh khoảng cách ;  OM với bán

kính R theo bảng sau:

Vị trí tương đối Hệ thức

M nằm trên đường tròn  O OM R

M nằm trong đường tròn  O OM R

M nằm ngoài đường tròn  O OM R

Ví dụ: Cho đường tròn O,5 cm Xác định vị trí

của điểm Mđối với đường tròn trong các trường

hợp sau

a) OM 4 cm b) OM 5 cm c) OM 6 cm

Hướng dẫn giải

a) Vì OM4 cmR5 cmnên điểm M

nằm trong đường tròn

b) Vì OM5 cm R 5 cmnên điểm M

nằm trên đường tròn

c) Vì OM6 cmR5 cmnên điểm M

nằm ngoài đường tròn

 Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a, các đường cao là BM và CN Gọi O là trung điểm cạnh

BC

a) Chứng minh bốn điểm B C M N, , , cùng thuộc đường tròn tâm O

b) Gọi G là giao điểm của BM và CN Chứng minh điểm G nằm trong, còn điểm A nằm ngoài đối với đường tròn đường kính BC

Hướng dẫn giải

a) Vì tam giác BMC vuông tại M có trung tuyến MO ứng với

cạnh huyền nên OB OC OM 

Vì tam giác BNC vuông tại N có trung tuyến NO ứng với cạnh

huyền nên OB OC ON 

Suy ra OB OC OM ON  

Vậy bốn điểm B C M N, , , cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính

1

a

R OB  BC

b) Tam giác ABC đều có G là trực tâm đồng thời là trọng tâm

tam giác và M N, theo thứ tự là trung điểm của AC AB,

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông AOB, ta có

2

OA a     R

Suy ra A nằm ngoài đường tròn  O

Vì AO là đường trung tuyến và

G là trọng tâm của tam giác nên

Vậy G nằm trong đường tròn

 O

 Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn có tâm O0;0, bán kính R 3 (đơn vị) và điểm

2;1 ,  4;2

A B  Hãy xác định vị trí tương đối của điểm A B, đối với đường tròn đã cho.

Câu 2 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A2;2 , B 1;3 Hãy xác định vị trí tương đối của điểm ,

A B đối với đường tròn tâm I2;0, bán kính R 2.

Bài tập nâng cao

Câu 3 Trên đoạn thẳng AM lấy điểm B sao cho AB4 cm,BM3 cm (B nằm giữa A và M) Dựng hình vuông ABCD và BMNP về cùng một phía so với đường thẳng AM Dựng đường tròn tâm O, đi qua bốn điểm A B C D, , , Xác định vị trí tương đối của điểm N P, đối với đường tròn  O

Dạng 3 Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác

 Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB3 cm,AC4 cm Tính bán kính đường tròn đi qua ba đỉnh A B C, , .

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có

BC AB AC     BC 

Gọi O là trung điểm của BC

Vì tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến AO ứng với cạnh huyền nên OA OB OC 

Do đó ba điểm A B C, , cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính R OA OB OC  

Mà O là trung điểm của BC nên 1 2,5 cm

2

Ví dụ 2 Cho hình chữ nhật ABCD có AB8 cm,BC6 cm Chứng minh bốn điểm A B C D, , , cùng nằm trên một đường tròn Tính bán kính đường tròn đó

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABC, ta có

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Vì ABCD là hình chữ nhật nên OA OB OC OD  

Vậy bốn điểm A B C D, , , cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính 1 5 cm

2

R OA OC   AC

Ví dụ 3 Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 4 cm Gọi M N P Q, , , lần lượt là trung điểm của , , ,

AB BC CD DA Chứng minh bốn điểm M N P Q, , , cùng thuộc một đường tròn Tính bán kính đường tròn đó

Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD

Vì AOB vuông tại O và OM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên 1

2

OM AB (1)

ON  BC OP CD OQ AD (2)

Vì ABCD là hình thoi nên AB BC CD DA   (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra OM ON OP OQ  

Vậy M N P Q, , , nằm trên cùng một đường tròn có bán kính 1 2 cm

2

R OM  AB

 Bài tập tự luyện dạng 3

Bài tập cơ bản

Câu 1 Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 4 cm Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Câu 2 Cho tứ giác ABCD có AC BD và AC6 cm,BD8 cm Gọi M N P Q, , , lần lượt là trung điểm của AB BC CD DA, , , Chứng minh bốn điểm M N P Q, , , cùng nằm trên một đường tròn và tính bán kính đường tròn đó

Bài tập nâng cao

Câu 3 Cho hình vuông ABCD cạnh 4 cm Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB BC, Gọi E là giao điểm của DN và MC Chứng minh bốn điểm A M E D, , , cùng nằm trên một đường tròn và tính bán kính đường tròn đó

Câu 4 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi A là điểm đối xứng của A qua H Chứng minh bốn điểm A B C A, , , cùng thuộc một đường tròn và tính bán kính đường tròn đó biết

2 cm

AB  và góc ABC bằng 60

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng 1 Chứng minh các điểm cùng nằm trên một đường tròn

Bài tập cơ bản

Câu 1.

Gọi O là trung điểm của BD

Vì tam giác ABD vuông tại A nên đường trung tuyến 1

2

AO BD hay

OA OB OD 

Vì tam giác CBD vuông tại C nên đường trung tuyến 1

2

CO BD hay

OB OC OD 

Suy ra OA OB OC OD  

Vậy bốn điểm A B C D, , , cùng thuộc đường tròn tâm O

bán kính là OA

Câu 2

Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của các đoạn thẳng

, ,

AB BC AD.

Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên OA OB

Tương tự ta có OB OC OA OD , 

Khi đó OA OB OC OD  

Vậy bốn điểm A B C D, , , cùng nằm trên một đường tròn.

Bài tập nâng cao

Câu 3

Xét tứ giác BDCH có 2 đường chéo HD và BC cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường  BDCH

là hình bình hành

Vì BDCH là hình bình hành nên BD HC ∥  BD vuông góc với AB

Suy ra tam giác ABD vuông tại B, do đó ba điểm A B D, , cùng thuộc đường tròn đường kính AD (1)

Vì BDCH là hình bình hành nên DC BH ∥  DC vuông góc với AC

Suy ra tam giác ACD vuông tại C, do đó ba điểm A C D, , cùng thuộc đường tròn đường kính AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm A B C D, , , cùng nằm trên đường tròn đường kính AD.

Câu 4

Giả sử hình thang cân ABCD có đáy lớn là CD, đáy bé là AB

Gọi E F, theo thứ tự là trung điểm của cạnh AB CD,

Khi đó EF là đường trung trực của AB CD, .

Gọi O là giao điểm của EF và đường trung trực của BC

Vì O thuộc đường trung trực của BC nên OB OC

Vì O thuộc đường trung trực của AB nên OA OB

Vì O thuộc đường trung trực của CD nên OC OD

Suy ra OA OB OC OD  

Vậy bốn điểm A B C D, , , cùng nằm trên đường tròn tâm O bán

kính OA

Câu 5.

a) Ta có bốn điểm B N M C, , , đều thuộc đường tròn đường kính BC

Xét tam giác BCM có BC là đường kính của đường tròn đi qua ba điểm B C M , , tam giác BCM

vuông tại M

Xét tam giác BCN có BC là đường kính của đường tròn đi qua ba điểm B C N , , tam giác BCN

vuông tại N

Suy ra BM và CN là đường cao của tam giác ABC

Mà H là giao điểm BM và CN nên H là trực tâm tam giác ABC

Từ đó suy ra AH BC

b) Vì H là trực tâm ABC nên HN AB và HM AC  HNA HMA  90

Xét tam giác AHN vuông tại N suy ra ba điểm A H N, , cùng nằm trên đường tròn đường kính AH (1) Xét tam giác AHMvuông tại M suy ra ba điểm A H M, , cùng nằm trên đường tròn đường kính AH (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm A M N H, , , cùng nằm trên đường tròn đường kính AH có tâm I là trung điểm của AH

Dạng 2 Xác định vị trí của một điểm với một đường tròn cho trước

Bài tập cơ bản

Câu 1.

Kẻ AH Ox BK Ox H K Ox ,   ,  

Xét tam giác vuông AOH có AH1,OH2

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông AOH, ta có

OA OH HA     OA

Vì OA 5 3  nên R A nằm bên trong đường tròn  O

Xét tam giác vuông OBK có OK4,BK 2

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông OBK, ta có

OB OK KB    OB

Vì OB2 5 3  nên R B

nằm ngoài đường tròn  O

Câu 2

Ta có IA 2 R nên điểm A nằm trên đường tròn  I

Kẻ BH Ox H Ox   

Xét tam giác vuông IBH có IH 3,BH 3

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông IBH, ta có

IB IH HB     IB

Vì IB3 2 2  nên điểm R B nằm ngoài đường tròn  I

Tọa độ điểm B trên Oy là 3

Bài tập nâng cao

Câu 3.

Đường tròn  O đi qua bốn điểm A B C D, , , là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Suy ra bán kính đường tròn  O là 1

2

R OB  BD

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABD, ta có

Do đó 1 2 2 cm

2

Vì đường tròn  O đi qua 4 điểm A B C D, , , nên cạnh BC nằm bên trong đường tròn

Mặt khác P nằm trên BC nên OP OB R 

Suy ra P nằm bên trong đường tròn

Dựng OI MN I MN   

2

2

IN MN  BC

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông OIN, ta có

Vì ON  26 2 2  nên R N nằm ngoài đường tròn  O

Dạng 3 Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Bài tập cơ bản

Câu 1.

Gọi O là giao điểm của ba đường trung tuyến trong tam giác ABC

Vì ABC là tam giác đều nên O là trọng tâm cũng là trực tâm, tâm

đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Vậy A B C, , cùng nằm trên đường tròn tâm O bán kính

2 2.2 3 4 3 cm

Câu 2.

Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN AC ∥ và 1 3 cm

2

MN  AC (1)

Xét tam giác ABD có MQ là đường trung bình nên MQ BD ∥ và 1 4 cm

2

MQ BD (2)

Xét tam giác ADC có PQ là đường trung bình nên PQ AC ∥ và 1 3 cm

2

PQ AC (3)

Từ (1) và (3) ta có MN PQ ∥ và MN PQ nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Theo giả thiết có AC vuông góc với BD nên từ (1) và (2) ta có MN vuông góc với MQ.

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Vì tam giác MNP vuông tại N nên ba điểm M N P, , cùng thuộc đường tròn đường kính MP (*)

Vì tam giác MQP vuông tại Q nên ba điểm M Q P, , cùng thuộc đường tròn đường kính MP (**)

Từ (*) và (**) suy ra bốn điểm M N P Q, , , cùng nằm trên một đường tròn có đường kính là MP.

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông MNP, ta có

Vậy bán kính đường tròn đi qua bốn điểm M N P Q, , , là 1 2,5 cm

2

Bài tập nâng cao

Câu 3.

Ta có MBCNCDc.g.c nên D C11

Mà D N1 1 90 nên C N1 190

Xét tam giác ENC có C N1 190 nên CEN 90

Gọi O là trung điểm của DM

Vì tam giác ADM vuông tại A có trung tuyến AO ứng với cạnh huyền nên OA OD OM 

Vì tam giác DEM vuông tại E có trung tuyến EO ứng với cạnh huyền nên OD OM OE 

Vậy bốn điểm A M E D, , , cùng nằm trên một đường tròn tâm O đường kính là DM

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông, ta có

DM AD AM     DM

Vậy bán kính đường tròn đi qua bốn điểm A M E D, , , là 1 5 cm

2

Câu 4.

Ta có BC là đường trung trực của đoạn thẳng AA nên

,

BA BA CA CA   

Khi đó ABCA BC c.c.c A A 90

Vì tam giác ABC vuông tại A nên ba điểm A B C, , cùng nằm

trên đường tròn đường kính BC

Vì tam giác A BC vuông tại A nên ba điểm A B C, , cùng nằm

trên đường tròn đường kính BC

Vậy A B C A, , , cùng nằm trên một đường tròn đường kính BC

Xét tam giác vuông ABC có



cos60

BC

Vậy bán kính đường tròn qua bốn điểm A B C A, , , là

2

R BC