Bài 3 một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNGMục tiêu  Kiến thức + Thiết lập được các hệ thức giữa cạnh và góc của một tam giác vuông thông qua định nghĩa tỉ số lượng giác của góc

BÀI 3 MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Thiết lập được các hệ thức giữa cạnh và góc của một tam giác vuông thông qua định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

+ Trình bày được các hệ thức giữa các cạnh và đường cao trong tam giác vuông

+ Vận dụng được các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để tính toán độ dài, tính số đo góc và giải quyết các mô hình thực tiễn có liên quan

 Kĩ năng

+ Có kĩ năng vận dụng các hệ thức trên để giải một số bài tập, thành thạo việc sử dụng máy tính

bỏ túi và các làm tròn số

+ Tính được các yếu tố trong tam giác khi biết hai yếu tố, đặc biệt là trong tam giác vuông

+ Vận dụng các tỉ số lượng giác để giải quyết một số bài toán thực tế.

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Các hệ thức

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

- Cạnh huyền nhân sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề;

- Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với

côtang góc kề

Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC a AC b AB c ,  , 

Ta có:

sinB b b a.sinB

a

sin

b a

B



tanB c c a.cosB

a

cos

c a

B

tanB b b c.tanB

c

tan

b c

B



cotB c c b.cotB

b

cot

c b

B



2 Giải tam giác vuông

Là tìm tất cả các yếu tố còn lại của một tam giác vuông khi biết

trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh, không

kề góc vuông)

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Sơ đồ hệ thức lượng về cạnh và góc trong tam giác vuông

HỆ THỨC VỀ

CẠNH VÀ

GÓC TRONG

TAM GIÁC

VUÔNG

Các hệ thức

Cạnh góc vuông = (Cạnh huyền) (sin góc đối) Cạnh góc vuông = (Cạnh huyền) (cosin góc kề)

Cạnh góc vuông = (Cạnh góc vuông còn lại) (tan góc đối)

Cạnh góc vuông = (Cạnh góc vuông còn lại) (cot góc kề)

Giải tam giác vuông

Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của tam giác vuông dựa vào dữ kiện cho trước của bài toán

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Giải tam giác vuông

Phương pháp giải

Các bước giải tam giác vuông:

Bước 1 Ta dùng hệ thức giữa cạnh và góc của một

tam giác vuông

Bước 2 Sử dụng bảng lượng giác hoặc máy tính

cầm tay để tính các yếu tố còn lại

Ví dụ: Tính độ dài cạnh AB của ABC vuông tại

A, biết  B   và 45 AC 7

Hướng dẫn giải

Theo hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông

ta có AB AC tan B

Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được

tanB tan 45 1

Vậy AB 7

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Giải tam giác ABC vuông tại A, biết AC10cm và C   30

Hướng dẫn giải

Xét ABC vuông tại A, ta có:

  90

B C   (tính chất hai góc phụ nhau trong tam giác

vuông)

Do đó B90  C 90  30 60 

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

2

AC

C

3

3

AB AC C AB    cm

Bước 1 Áp dụng tính chất hai góc phụ nhau trong tam giác vuông (hoặc định lí tổng ba góc trong tam

giác).

Bước 2 Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

Ví dụ 2 Giải tam giác ABC vuông tại A, biết AB42cmvà AC36cm

Hướng dẫn giải

+) Xét ABC vuông tại A, ta có:

AB AC BC (Định lí Py-ta-go)

BC

+ B C 90 (tính chất hai góc phụ nhau trong tam giác vuông)

 90  90 49 23 40 37

Bước 1 Áp dụng định lý Py-ta-go.

Bước 2 Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông (hoặc tỉ số lượng giác).

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC a AC b AB c ,  ,  Giải tam giác ABC biết:

a) b13cm B, 45  b) a25cm C, 75 

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC a AC b AB c ,  ,  Giải tam giác ABC biết:

a) a39cm b, 36cm b) b8cm c, 6cm

Bài tập nâng cao

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, có ACAB. Đường cao AH Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của

H trên AB, AC.

a) Chứng minh AD AB AE AC và tam giác ABC đồng dạng với tam giác AED.

b) Cho biết BH 2cm HC, 4,5cm

i) Tính độ dài đoạn thẳng DE.

ii) Tính số đo góc ABC (làm tròn đến độ).

iii) Tính diện tích tam giác ADE.

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, có  C60 ; AB8cm Kéo dài CA một đoạn AEAB Kẻ

EK BC , EK cắt BA tại Q.

a) Giải tam giác ABC (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

b) Chứng minh 1 sin

2

BCE

S  BC BE EBC

c) Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của BE, QC, AK Chứng minh ba điểm M, N, I thẳng hàng.

Dạng 2: Tính cạnh và góc của tam giác

Phương pháp giải

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB 5, B  45 ,

 30

C   Tính độ dài cạnh BC.

Bước 1: Làm xuất hiện tam giác vuông bằng cách

kẻ thêm đường cao

Bước 2: Áp dụng các hệ thức về cạnh và góc trong

tam giác vuông

Hướng dẫn giải

Kẻ ANBC

+) Trong ANB vuông tại N, ta có:

5 2 cos 5.cos 45

2

BN AB B

5 2 sin 5.sin 45

2

AN AB B  

+) Trong ANC vuông tại N, ta có:

CN AN C  

2

BCAN CN   

Ví dụ mẫu

Ví dụ Cho tam giác ABC có BC11cm ABC, 38 và ACB   Gọi N là chân đường vuông góc hạ30

từ A xuống cạnh BC Tính độ dài đoạn thẳng AN, AC.

Hướng dẫn giải

Từ B hạ đường thẳng vuông góc với AC tại H.

Xét BHC vuông tại H, ta có  HBC HCB 90 (tính chất

hai góc phụ nhau trong tam giác vuông)

Do đó: HBC90  HCB 90  30 60 

Mà HBA ABC HBC 

HBA HBC ABC

Lại có sin 11.1 5,5

2

BH BC C   cm

Áp dụng hệ thức lượng giữa cạnh và góc trong tam giác BHA vuông tại H, ta có:





5,5

cos 22 cos

BH

HBA



Xét ABN vuông tại N, ta có sin 38 AN

AB

  sin 38 5,93.sin 38 3,65

Xét ANC vuông tại N, ta có sin 3,65 7,3

sin sin 30

AN

C



Bước 1 Kẻ thêm đường cao để làm xuất hiện tam giác vuông.

Bước 2 Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông (hoặc tỉ số lượng giác).

Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1: Giải tam giác ABC, biết  B65 ; C 40 ; BC4, 2cm

Câu 2: Cho tam giác ABC có  A70 , AB12cm AC, 17cm. Tính độ dài đoạn BC.

Câu 3: Cho tam giác ABC có  B   ; 70 C   và 45 AC4cm. Tính diện tích tam giác ABC.

Câu 4: Tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O Cho biết AC4cm BD, 5cm và AOB  60

Tính diện tích tứ giác ABCD.

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH HBC

a) Cho BC12;CH 9. Tính số đo ABC

b) Lấy điểm D nằm giữa hai điểm A và C Gọi K là hình chiếu của A trên BD Chứng minh rằng:

BK BD BH BC

c) Chứng minh rằng AHK KAD

Bài tập nâng cao

Câu 6: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có góc nhọn tạo bởi AB và AC bằng  thì có diện tích

1

.sin

2

S  AB AC 

Câu 7: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH Đường cao ứng với cạnh bên bằng h, góc ở đáy bằng

 Chứng minh

2 4.sin cos

ABC

h S

Câu 8: Cho tam giác nhọn ABC, ABAC , đường cao AH và đường trung tuyến AM Gọi  là số đo

HAM Chứng minh: tan cot cot

2

Câu 9: Cho hình thang ABCD vuông tại A và A có  D   đáy nhỏ 45 , BC6cm, đáy lớn AB8cm

a) Tính AD, CD, S ABCD

b) Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD, BD, AC Chứng minh rằng M, N, E, F thẳng hàng c) Tia BN cắt AD tại K, tia EN cắt CK tại Q Chứng minh rằng BCKD là hình bình hành và QB QA d) Chứng minh CK2 AC2AK2 2AC AK cosKAC

Dạng 3: Một số bài toán thực tế

Phương pháp giải

+) Để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến hệ thức lượng và tỉ số lượng giác trong tam giác ta cần phân tích bài toán, chuyển các dữ kiện thực tế về cạnh, góc trong tam giác vuông

+) Một số trường hợp cần kẻ thêm hình phụ để xuất hiện tam giác vuông

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Từ đỉnh của một ngọn đèn biển cao 38 m so với mực nước biển, người ta nhìn thấy một hòn đảo

dưới một góc 30 so với đường nằm ngang chân đèn Hỏi khoảng cách từ đảo đến chân đèn (ở mực nước biển) bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Hướng dẫn giải

Gọi A là đỉnh của ngọn đèn biển, B là chân đèn, C là hòn đảo.

Xét tam giác ABC vuông tại B có: AB38 ,m ACB 30 

Khi đó

.cot 38.cot 30 65,82

BCAB ACB   m

Ví dụ 2 Tính chiều cao của một cái tháp, cho biết khi các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc 35

thì bóng của tháp trên mặt đất có chiều dài là 20 m.

Hướng dẫn giải

Gọi AB là chiều cao của tháp, BC là bóng của tháp trên mặt đất, ACB là góc tạo bởi tia nắng mặt trời với

mặt đất

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác ABC vuông tại B ta có:

AB BC ACB AB   m

Ví dụ 3 Hình vẽ dưới đây minh họa một chiếc cầu trượt đặt trên mảnh đất phẳng nằm ngang Vùng trượt

nằm nghiêng tạo với mặt đất một góc an toàn có số đo là 40  Đoạn thẳng AC minh họa cho chiều dài vùng trượt Biết điểm A ở độ cao 2,3 m so với mặt đất và điểm C nằm trên mặt đất Tính chiều dài của

vùng trượt

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC vuông tại B, có cạnh huyền AC nên chiều dài

vùng trượt là

 

2,3

3,6 sin 40



Ví dụ 4 Để đo chiều cao CD của một cái tháp (C là chân tháp, D là đỉnh tháp), một người chọn hai điểm

A, B sao cho C, A, B thẳng hàng và quan sát tháp, kết quả quan sát như hình vẽ, A cách B khoảng cách 24

m Tính chiều cao của tháp.

Hướng dẫn giải

Áp dụng các công thức lượng giác trong tam giác CAD, CBD ta

có:



cot cot 60 ;

AC

DAC



cot cot 48

BC

DBC

 

24

74,3 cot 48 cot 60 cot 48 cot 60

AB

Vậy chiều cao của tháp xấp xỉ 74,3 m

Ví dụ 5 Một người đứng trên ngọn hải đăng cao 75 m, người ấy nhìn hai lần một chiếc thuyền đang chạy

hướng về ngọn hải đẳng với góc hạ lần lượt là 30 và 45 Hỏi chiếc thuyền đi được bao nhiêu mét sau hai lần quan sát? Biết thuyền không đổi hướng trong quá trình chuyển động

Hướng dẫn giải

Gọi B là đỉnh ngọn hải đăng, C và D là hai vị trí của thuyền (thuyền đã di chuyển từ D đến C).

Ta có: cotBDA AD;cotBCA AC

DC DA CA



Vậy chiếc thuyền đã chạy được xấp xỉ 55 m sau hai lần quan sát.

Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 1: Người ta cần dựng cái thang đến một bức tường Biết góc tại bởi cái thang và mặt đất là 50 thì đảm bảo sự an toàn khi bắt thang Tính chiều dài của thang, biết khoảng cách từ chân tường đến chân

thang là 3,2 m.

Câu 2: Một cây tre cao 9 m bị gió bão làm gãy ngang thân, ngọn cây chạm đất cách gốc 3 m Hỏi điểm

gãy cách gốc bao nhiêu mét?

Câu 3: Giữa nhà kho và phân xưởng của một nhà máy, người ta xây dựng một băng chuyền AB để

chuyển vật liệu Khoảng cách giữa hai tòa nhà là 10 m, còn hai vòng quay của băng chuyền được đặt ở độ cao 8 m và 4 m so với mặt đất Tìm độ dài AB của băng chuyền.

Câu 4: Hai trụ điện có cùng chiều cao được dựng thẳng đứng ở hai bên lề đường của một đại lộ rộng 80

m Từ một điểm M trên mặt đường giữa hai trụ điện, người ta nhìn thấy hai trụ điện với góc nâng lần lượt

là 30 và 60 Tính chiều cao của trụ điện và khoảng cách từ M đến mỗi trụ điện.

Hướng dẫn giải bài tập tự luyện Dạng 1 Giải tam giác vuông

Câu 1.

a) Xét ABC vuông tại A, ta có  B C 90 (tính chất hai góc phụ

nhau trong tam giác vuông) Suy ra C90  B 90  45 45

Do đó ABC vuông cân tại A nên AB AC 13cm (theo định

nghĩa tam giác cân)

Lại có: BC2 AB2AC2 (theo định lí Py-ta-go)

13 13 13 2

BC AB BC    cm

b) Xét ABC vuông tại A, ta có  B C 90 (tính chất hai góc phụ

nhau trong tam giác vuông) Suy ra B90  C 90  75   15

Theo hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông:

+) AC BC cosC25.cos 75 6, 47 cm

+) AB BC sinC 25.sin 75 24,15cm

Câu 2.

a) Xét ABC vuông tại A, theo định lí Py-ta-go ta có

AB AC BC

Ta cũng có: cos 36 12  22 37

39 13

AC

Do B C 90 (tính chất hai góc phụ nhau trong tam giác vuông)

nên B90  C 90  22 37 67 23  

b) Xét ABC vuông tại A, theo định lí Py-ta-go ta có

AB AC BC  BC  AB AC     cm

Ta cũng có: sin 8 4  53 7

10 5

AC

Do B C 90 (tính chất hai góc phụ nhau trong tam giác vuông)

nên C90  B 90  53 7 36 53  

Câu 3

a) Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông

AHC và AHB ta có:

2

AE AC AH AD AB

AE AD

Xét ABC và AED ta có:

A chung;

AB AC

AE AD (chứng minh trên).

Do đó ABC∽ AED c g c .

b)

i) Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta có:

AH BH HC AH  BH HC   cm

Vì tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên DEAH 3cm

ii) Xét AHB vuông tại H ta có:

2

AH

BH

iii) Xét BDH vuông tại D có:



DH BH DBH  AE DH    cm

Xét ADH vuông tại D, ta có:

AD DH AH (Định lí Py-ta-go)

2 2 32 1, 662 2,5

2

.2,5.1, 66 2,075

ADE

Câu 4.

a) Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

  90

B C   (tính chất hai góc phụ nhau trong tam giác vuông)

 90  90 60 30

         

 cos

ACAB ACB (hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác

vuông)

8.cos 60 4

AC AB BC (định lí Py-ta-go)

2 2 42 82 8,94

b) Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác EKB vuông tại K ta

có: sinEBC EK EB.sinEBC EK

EB



VP BC EB EBC  EC EKS VT, suy ra điều

phải chứng minh

c) Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của

các tam giác vuông có cùng cạnh huyền:

,

QKC QAC

2

QC

NK NA

,

EKB EAB

2

BE

MK MA

Suy ra M, N thuộc trung trực AK Lại có I là trung điểm AK nên

M, N, I thẳng hàng.

Dạng 2 Tính cạnh và góc của tam giác

Câu 1.

Xét tam giác ABC, ta có:

A B C    (định lí tổng ba góc trong tam giác)

 180    180 65 40  75

Từ B hạ đường thẳng vuông góc với AC tại H.

Xét HBC vuông tại H, ta có: BH BC.sinC (hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông)

4, 2.sin 40 2,7

Xét ABH vuông tại H, ta có:

sin

BH AB

A

 (hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông) 2,7

2,8 sin 75



Ta có ACAH CH BHcotAcotC

2,7 cot 75 cot 40 3,9

Câu 2.

Kẻ BH AC Xét AHB vuông tại H ta có:

 sin 12.sin 70 11, 27

BH AB BAH    (hệ thức giữa cạnh và

góc trong tam giác vuông)

 cos 12.cos 70 4,10

AH AB BAH    cm(hệ thức giữa cạnh và

góc trong tam giác vuông)

Có: HCAC AH 17 4,10 12,90  cm

Áp dụng định lí Py-ta-go trong BHC vuông tại H ta có:

2 2 2 11, 272 12,92 293, 42 15,47

BC BH HC     BC cm

Câu 3.

Từ B hạ đường thẳng vuông góc với AC tại H.

Xét BHC vuông tại H ta có: BH BC.sinBCH (hệ thức

giữa cạnh và góc trong tam giác vuông)

2 4.sin 45 4 2 2

2

Xét AHB vuông tại H ta có:

A B C    (định lí tổng ba góc trong tam giác)

 180    180 70 45  65

Có: AH BH.cotBAH 2 2.cot 65 1,32cm (hệ thức

giữa cạnh và góc trong tam giác vuông)

Lại có ABH BAH 90 (tính chất hai góc phụ nhau trong

tam giác vuông) Suy ra ABH 90  BAH 90  65 25

HBC ABC ABH

         , nên BHC vuông

cân tại H Khi đó HC BH 2 2cm

Có: ACAH HC 1,32 2 2 4,15  cm

.4,15.2 2 5,87

ABC

Câu 4.

Kẻ AH BD và CK BD

Ta có: AOB COD 60 (tính chất hai góc đối đỉnh)

Xét AHO vuông tại H ta có:

AH OA AOH OA AOH OA 

(hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông)

Xét CKO vuông tại K ta có:

CK CO COK CO COD CO 

(hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông)

ABD

S  BD AH  BD OA 

CBD

S  BD CK BD CO 

2 1

.5.4.sin 60 5 3

Câu 5

a) Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có:

AC CH CB   AC

 3

2

AC

BC

b) ABD vuông tại A, đường cao AK có: BK BD AB  2

ABC

 vuông tại A, đường cao AH có: BH BC AB2

Do đó BK BD BH BC 

c) Theo chứng minh trên: BK BD BH BC 

BK BC

BKH BCD c g c BHK BDC

BH BD

Mặt khác BHK BHA AHK 90 AHK;

BDC DKA KAD    KAD

Vậy AHKKAD

Câu 6.

Từ B kẻ đường cao vuông góc với AC tại H.

Xét ABH vuông tại H, ta có:

.sin

BH AB  (hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác

vuông)

Diện tích tam giác ABC là:

S  AB BH  AB AC  (điều phải chứng minh)

Câu 7.

Gọi BE là đường cao ứng với cạnh bên AC.

Xét BEC vuông tại E, ta có:

sin sin

BE h

BC

  (hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác

vuông)

1

h

BH HC BC



Xét AHC vuông tại H, ta có:

.tan

AH CH  (hệ thức giũa cạnh và góc trong tam giác

vuông)

sin

Ta có:

2

ABC

(điều phải chứng minh)

Câu 8.

Ta có: HB HC HM MB   MC MH  2HM

Giả sử AH h

Xét AHB vuông tại H, ta có:

HBAH B h B (hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông)

Xét AHC vuông tại H ta có:

HCAH C h C (hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông)

cot cot

    hay 2HM hcotB cotC (1)

Xét AMH vuông tại H, ta có:

HM AH  h 

(hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông)

2HM 2 tanh 

Từ (1), (2)  2 tanh  hcotB cotC