Bài 5 giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số chọn một trong các đại lượng công việc, năng suất, thời gian..... Kiểm tra xem xong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn

Trang 1

CHƯƠNG 2: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN BÀI 5 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Mục tiêu

 Kiến thức

+ Trình bày và áp dụng được các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình để giải toán

 Kĩ năng

+ Biết cách giải và trình bày lời giải các bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

o Bài toán chuyển động

o Bài toán liên quan đến hình học

o Bài toán về công việc

o Bài toán có sử dụng kiến thức về phần trăm

o Bài toán tìm số

o Bài toán tìm tuổi

Trang 2

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và

các đại lượng đã biết

- Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ

giữa các đại lượng

Bước 2 Giải hệ phương trình.

Bước 3 Kết luận

Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương

trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn,

nghiệm nào không, rồi kết luận

Ví dụ: Lúc 7h sáng một chiếc xe con đi từ tỉnh A

vào tỉnh B, quãng đường dài 200km Cùng lúc đómột chiếc xe tải đi từ tỉnh B ra tỉnh A và hai xe gặpnhau khi đã đi được 2 giờ Tính vận tốc mỗi xe biếtvận tốc xe con lớn hơn vận tốc xe tải là 20km/h

Với x60 km h y/ ; 40 km h/ thỏa mãn điềukiện x > y > 0

Vậy vận tốc của xe con là 60 (km/h);

vận tốc của xe tải là 40 (km/h)

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Giải bài toán chuyển động bằng cách lập hệ phương trình

Phương pháp giải

Trang 3

Thực hiện theo các bước sau

Bước 1 Lập hệ phương trình.

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn

số (chọn một trong các đại lượng vận tốc, thời

gian, quãng đường làm ẩn)

t; ;

Với s là quãng đường đơn vị là (km); (m)

t là thời gian với đơn vị là giờ; phút; giây

v là vận tốc với đơn vị là (km/h); (m/s)

Bước 3 Kiểm tra xem trong các nghiệm của

hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều

kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận

Ví dụ: Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 9 giờ

sáng Nếu xe chạy với vận tốc là 30(km/h) thì đến

B chậm 1 giờ Nếu chạy với vận tốc 60(km/h) thìtới 8 sớm 1 giờ Tính độ dài quãng đường AB, thờiđiểm mà ô tô xuất phát

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy quãng đường AB là S30.4120 (km) Thời gian ô tô dự định đi là 4 1 3 (giờ)

Thời điểm xe ô tô xuất phát là 9 3 6 (giờ)

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Bác Chiến đi xe đạp từ thị trấn về làng, bác Sơn cũng đi xe đạp nhưng từ làng lên thị trấn Họ

gặp nhau khi bác Chiến đi được 1 giờ rưỡi, còn bác Sơn đi được 2 giờ Một lần khác hai người cùng đi từhai địa điểm trên nhưng khởi hành đồng thời, sau 1 giờ 15 phút họ cách nhau 10,5km Tính vận tốc củamỗi người biết khoảng cách từ làng lên thị trấn là 38 km

Hướng dẫn giải

Đổi 1 giờ 15 phút 5

4

 giờ, 1 giờ rưỡi 1, 5 giờ

Gọi vận tốc bác Chiến đi là x (km/h), vận tốc bác Sơn đi là y (km/h) (x; y > 0)

Quãng đường bác Chiến đi được sau 1 giờ rưỡi là 1,5.x (km)

Quãng đường bác Sơn đi được sau 2 giờ là 2.y (km)

Trang 4

Mà quãng đường từ thị trấn về làng dài 38km nên 1, 5x 2 y 38 1 .

Quãng đường bác Chiến đi được sau 1 giờ 15 phút là 5

4 x (km)

Quãng đường Bác Sơn đi được sau 1 giờ 15 phút là 5 y

4 (km)

Sau 1 giờ 15 phút hai bác cách nhau 10,5 (km)

Mà quãng đường từ thị trấn về làng dài 38 km nên 5 5 y 27, 5 2 

Vậy vận tốc của bác Chiến là 12 (km/h);

vận tốc của bác Sơn là 10 (km/h)

Hai xe xuất phát ngược chiều xe đi từ A và xe đi từ B gặp nhau thì tổng quãng đường hai xe đi được bằngquãng đường AB

Ví dụ 2 Tìm vận tốc và chiều dài của một đoàn tàu hoả biết đoàn tàu ấy chạy ngang qua văn phòng ga từ

đầu máy đến hết toa cuối cùng mất 7 giây Cho biết sân ga dài 378 m và thời gian kể từ khi đầu máy bắtđầu vào sân ga cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25 giây

Gọi x (m/s) là vận tốc của đoàn tàu (x0)

Gọi y (m) là chiều dài của đoàn tàu (y0)

Tàu chạy ngang văn phòng ga mất 7 giây nghĩa là trong 7 giây tàu di chuyển được quãng đường bằngchiều dài của tàu Ta có phương trình y7x 1

Khi đầu máy bắt đầu vào sân ga dài 378 m cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga mất 25 giây nghĩa làtrong 25 giây tàu di chuyển được quãng đường bằng chiều dài tàu cộng với 378 m Ta có phương trình

Vậy vận tốc của đoàn tàu là 21(m/s); chiều dài của đoàn tàu là 147 m

Bài toán 2: Giải bài toán chuyển động liên quan tới dòng nước bằng cách lập hệ phương trình

Ví dụ: Một chiếc thuyền xuôi, ngược dòng trên

khúc sông dài 40 km hết 4 giờ 30 phút Biết thời

Trang 5

số (chọn một trong các đại lượng vận tốc, thời

gian, quãng đường làm ẩn)

Với s là quãng đường đơn vị là (km); (m)

t là thời gian với đơn vị là giờ; phút; giây

gian thuyền xuôi dòng 5 km bằng thời gian thuyềnngược dòng 4 km Tính vận tốc dòng nước

Vì thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gianthuyền ngược dòng 4km nên ta có phương trình

Trang 6

1 116

Ví dụ 1 Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến Avà B cách nhau 85 km và đi ngược chiều nhau Sau 1 giờ

40 phút thì hai ca nô gặp nhau Tính vận tốc riêng của mỗi canô, biết rằng vận tốc của ca nô đi xuôi dònglớn hơn vận tốc của ca nô đi ngược dòng là 9(km/h) và vận tốc của dòng nước là 3(km/h)

Đổi 1 giờ 40 phút 5

3

 giờ

Giả sử ca nô đi từ A đi xuôi dòng và ca nô đi từ B là đi ngược dòng

Gọi vận tốc ca nô xuôi dòng là x (km/h), vận tốc ca nô ngược dòng là y (km/h) (x > y > 0)

Quãng đường ca nô đi từ A đi được sau 5

Theo bài ra khoảng cách hai bên là 85km và sau 5

3 giờ hai ca nô gặp nhau, suy ra 5 5 85 1 

3x3yMặt khác vận tốc ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô ngược dòng là 9 (km/h) nên x y9 2 

Vận tốc riêng của ca nô xuôi dòng là x30 3 27 (km/h)

Vận tốc riêng của ca nô ngược dòng là x21 3 24 (km/h)

Ví dụ 2 Một ca nô đi xuôi dòng 42 km rồi ngược dòng 40 km Vận tốc ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc

ca nô ngược dòng 4 (km/h) Tính vận tốc riêng của ca nô biết rằng thời gian ca nô ngược dòng lâu hơnthời gian ca nô xuôi dòng là 1 giờ

Gọi vận tốc xuôi dòng của ca nô là x (km/h),

vận tốc ngược dòng của ca nô là y (km/h) (x > y > 0)

Trang 7

Thời gian ca nô đi xuôi dòng được 42 km là 42

x (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tốc độ riêng của ca nô là 12

Câu 2: Quãng đường AB dài 80 km Hai ô tô đi ngược chiều nhau và gặp nhau tại điểm cách B 50 km.

Nếu ô tô xuất phát từ A đi trước ô tô xuất phát từ B là 32 phút thì hai xe gặp nhau ở chính giữa quãngđường Tìm vận tốc của mỗi xe

Trang 8

Câu 3: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km Một lần khác ca

nô đó cũng đi trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km Tính vận tốc dòng nước và vận tốcriêng của ca nô

Câu 4: Một ca nô chuyển động xuôi dòng từ bến A đến bến B sau đỏ chuyển động ngược dòng từ B về A

hết tổng thời gian là 5 giờ Biết quãng đường sông từ A đến B đài 60 km và vận tốc dòng nước là 5 km/h.Tính vận tốc thực của ca nô

Dạng 2: Giải bải toán liên quan đến kiến thức hình học bằng cách lập hệ phương trình

số (chọn một trong các đại lượng chiều cao,

đáy, chiều dài, chiều rộng, chu vi, diện tích

làm ẩn)

• Với tam giác

1

;2

a; b là độ dài đáy hình thang đơn vị là km; m;

h là chiều cao hình thang đơn vị là km; m;

Trang 9

a là độ dài cạnh hình thoi đơn vị là km; m;

b, c là độ dài hai đường chéo hình thoi đơn vị

là km; m;

Bước 2 Giải hệ phương trình

x y y (thỏa mãn điêu kiện)

Vậy chiều dài đáy lớn là 25cm, chiều dài đáy bé là 10cm

Ví dụ 2 Một tam giác có chiều cao bằng 3

4 cạnh đáy tương ứng Nếu chiều cao tăng thêm 3 dm và cạnhđáy giảm đi 2 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 2

dm Tính chiều cao và cạnh đáy đã cho

Gọi độ dài cạnh đáy của tam giác là x (dm),

độ dài chiều cao cùa tam giác là y (dm) (x, y > 0)

Trang 10

Diện tích của tam giác là  2

Vậy độ dài cạnh đáy là 20 dm, độ dài chiều cao là 15 dm

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Một hình chữ nhật có diện tích 600 2

m Nếu bớt mỗi cạnh hình chữ nhật 4 m thì diện tích củahình còn lại là 416 2

m Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật

Câu 2: Một tam giác cân có chu vi là 34 m Tính độ dài các cạnh của tam giác biết độ dài cạnh bên lớn

hơn độ dài cạnh đáy là 2 m

Dạng 3: Giải bài toán về năng suất lao động bằng cách lập hệ phương trình

số (chọn một trong các đại lượng công việc,

năng suất, thời gian làm ẩn)

t; N ;

trong đó A là khối lượng công việc, N là năng

suất, t là thời gian hoàn thành công việc

Bước 2 Giải hệ phương trình

Bước 3 Kiểm tra xem xong các nghiệm của

Ví dụ: Một xí nghiệp theo kế hoạch làm với năng

suất 60 dụng cụ một ngày Thực tế, năng suất mộtngày của xí nghiệp vượt mức kế hoạch 10 dụng cụnên xí nghiệp vượt mức kế hoạch 30 dụng cụ vàxong sớm 1 ngày Tính số dụng cụ xí nghiệp phảilàm theo kế hoạch và thời gian xí nghiệp dự địnhhoàn thành theo kế hoạch

Trang 11

kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận Thực tế, năng suất một ngày của xí nghiệp vượt

mức kế hoạch 10 dụng cụ nên xí nghiệp vượt mức

kế hoạch 30 dụng cụ và xong sớm 1 ngày

Vậy theo kế hoạch xí nghiệp làm 600 dụng cụ trong

10 ngày.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Một tổ sản xuất theo kế hoạch phải lảm được 720 sản phẩm Nếu tăng năng suất thêm 10 sản

phẩm mỗi ngày thì hoàn thành công việc sớm so với kế hoạch 1 ngày Nếu giảm năng suất đi 20 sản phẩmmỗi ngày thì hoàn thành chậm hơn so với kế hoạch 3 ngày Tính số lượng sản phẩm tổ đó phải sản xuấtmỗi ngày theo dự định

Gọi năng suất tổ sản xuất dự định làm là x (sản phẩm/ngày), thời gian tổ sản xuất dự định hoàn thành kếhoạch là y (ngày) (x, y > 0)

Theo kế hoạch tổ sản xuất làm 720 sản phẩm nên x y720

Nếu tăng năng suất thêm 10 sản phẩm mỗi ngày thì hoàn thành công việc sớm so với kế hoạch 1 ngày.Suy ra x10  y1 720 x10  y1 xy 1 

Nếu giảm năng suất đi 20 sản phẩm mỗi ngày thì hoàn thành công việc chậm hơn so với kế hoạch 3 ngày.Suy ra x 20  y3 720x 20  y3xy 2 

Trang 12

y (thỏa mãn điều kiện).

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày tổ đó phải sản xuất 80 sản phẩm

Ví dụ 2 Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy trong thời gian đã định và dự định sẽ sản xuất 300

chi tiết máy trong một ngày Tuy nhiên, thực tế mỗi ngày nhà máy đã làm thêm được 100 chi tiết nên đãsản xuất thêm được 600 chi tiết và hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày Tính số chi tiết máy và số ngày nhàmáy sản xuất số chi tiết máy đó theo kế hoạch

Vậy theo kế hoạch nhà máy dự định làm 3000 chi tiết máy trong 10 ngày

Câu 1: Mẹ bạn Hương giao cho bạn Hương may một số quần áo trong 20 ngày Trong 10 ngày đầu bạn

Hương làm với năng suất dự định ban đầu Tuy nhiên, những ngày sau nhờ vào cải tiến kĩ thuật Hương đãlàm vượt mức 3 sản phẩm một ngày nên Hương đã hoàn thành số quần áo mẹ giao sớm 2 ngày Tính sốquần áo mẹ bạn Hương giao và năng suất dự định ban đầu của bạn Hương

Câu 2: Một công nhân dự định làm 360 sản phẩm trong một thời gian cố định Nếu người đó làm vượt

năng suất 6 sản phẩm một ngày thì người đó sẽ làm xong trước 3 ngày Nếu mỗi ngày người đó làm ít hơn

dự định 4 sản phẩm thì người đó sẽ hoàn thành chậm hơn dự định 3 ngày Tính năng suất và thời gianngười đó dự định làm 360 sản phẩm

Dạng 4: Giải bài toán liên quan tới làm chung, làm riêng bằng cách lập hệ phương trình

Ví dụ: Hai người thợ cùng làm một công việc trong

16 giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và

Trang 13

số (chọn một trong các đại lượng công việc,

năng suất, thời gian làm ẩn)

trong đó A là khối lượng công việc, N là năng

suất, t là thời gian hoàn thành công việc

người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm xong được 25%công việc Hỏi mỗi người làm công việc đó mộtmình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc?

Đổi 25% 1

4

 Gọi thời gian để một mình người thợ thứ nhất làmxong công việc là x (giờ)

Thời gian để một mình người thợ thứ hai làm xongcông việc là y (giờ) (x, y > 0)

Trong một giờ người thứ nhất làm được 1

x (côngviệc)

Trong một giờ người thứ hai làm được 1

y (côngviệc)

Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờthì xong, vậy một giờ hai đội làm được là

16

x y (công việc) (1)Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm

6 giờ thì họ làm xong được 25% công việc, suy ra

Trang 14

1 148

Vậy người thứ nhất làm một mình thì 24 giờ xongcông việc Người thứ hai làm một mình thì 48 giờxong công việc

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong 12 ngày Họ cùng

làm với nhau được 8 ngày thì đội thứ nhất được điều động làm việc khác, còn đội thứ hai tiếp tục làm Docải tiến kĩ thuật, năng suất tăng gấp đôi nên đội thứ hai đã làm xong phần công việc còn lại trong 3 ngàyrưỡi Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì sau bao nhiêu ngày sẽ làm xong công việc nói trên (với năng suấtbình thường)?

Gọi thời gian để mình đội xây dựng thứ nhất làm xong công việc là x (ngày)

Thời gian để mình đội xây dựng thứ hai làm xong công việc là y (ngày) (x, y > 0)

Trong một ngày đội xây dựng thứ nhất làm được 1

Trang 15

(thỏa mãn điều kiện).

Vậy đội một làm một mình cần 28 ngày hoàn thành xong công việc, đội hai làm một mình cần 21 ngàyhoàn thành xong công việc

Ví dụ 2 Hai người làm chung công việc trong 20 ngày sẽ hoàn thành Sau khi làm chung được 12 ngày

thì người thứ nhất đi làm việc khác trong khi đó người kia vẫn tiếp tục làm Đi được 12 ngày người đó trở

về làm tiếp 6 ngày nữa và hoàn thành công việc, trong khi đó người thứ hai nghỉ làm Hỏi nếu làm riêngthì mỗi người phải làm trong bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc?

Gọi thời gian để một mình người thợ thứ nhất làm xong công việc là x (ngày)

Thời gian để một mình người thợ thứ hai làm xong công việc là y (ngày)

Trong một ngày người thứ nhất làm được 1

Suy ra 3 12 6 1

5 y x  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Trang 16

x (thỏa mãn điều kiện).

Vậy mình người thứ nhất làm cần 30 ngày hoàn thành xong công việc, mình người thứ hai làm cần 60ngày hoàn thành xong công việc

Câu 1: Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong 4 ngày thì xong Nếu người thứ nhất làm

một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai đến làm cùng trong 1 ngày nữa thì xong Hỏi mỗi người làm mộtmình thì bao lâu xong việc?

Câu 2: Hai đội công nhân cùng làm chung thì sau 8 giờ sẽ hoàn thành công việc Nếu đội thứ nhất làm

trong 3 giờ rồi đội thứ hai làm tiếp trong 4 giờ thì xong được 5

12 công việc Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thìsau bao lâu hoàn thành công việc?

Dạng 5: Giải bài toán liên quan tới chảy chung, chảy riêng với vòi nước bằng cách lập hệ phương trình

số (chọn một trong các đại lượng thời gian

chảy đầy bể )

Ví dụ: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau

1 giờ 20 phút bể đầy Nếu mở vòi thứ nhất chảytrong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì đầy2

15 bể Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì phải baolâu mới đầy bể?

Trang 17

Chú ý: Nếu vòi nước chảy đầy bể trong x giờ

thì 1 giờ sẽ chảy được 1

x (bể)

hai trong 12 phút thì đầy 2

Trang 18

1 12

1 14

y (thỏa mãn điều kiện)

Vậy thời gian mình vòi thứ nhất chảy đầy bể là 2giờ, thời gian mình vòi thứ hai chảy đầy bể là 4 giờ

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 4 giờ 48 phút bể đầy Mỗi giờ lượng nước của vòi I

chảy được bằng 3

2 lượng nước chảy được của vòi II

Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu sẽ đầy bể?

Đối 4 giờ 48 phút 24

5

 giờ

Gọi thời gian để một mình vòi thứ nhất chảy đầy bể là x (giờ),

thời gian để một mình vòi thứ hai chảy đầy bể là y (giờ) (y > x > 0)

Một giờ vòi thứ nhất chảy được 1

Mỗi giờ lượng nước của vòi I chảy được bằng 3

2 lượng nước chảy được của vòi II, suy ra

Vậy thời gian mình vòi thứ nhất chảy đầy bể là 8 giờ, thời gian mình vòi thứ hai chảy đầy bể là 12 giờ

Trang 19

Ví dụ 2 Mở cùng một lúc một vòi nước chảy vào bể và một vòi nước tháo nước ra khỏi bể thì trong 5 giờ

lượng nước trong bể là 2

7 bể Nếu mở vòi nước chảy vào trong 3 giờ và mở vòi tháo trong 2 giờ thì lượng

nước trong bể là 11

35 bể Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì vòi thứ nhất đầy bể trong bao lâu và vòi thứhai tháo hết nước trong bao lâu?

Gọi thời gian để mình vòi chảy vào chảy đầy bể là x (giờ),

thời gian để mình vòi chảy ra tháo hết nước ở bể là y (giờ) (y > x > 0)

Một giờ vòi thứ nhất chảy được 1

Vậy thời gian vòi chảy vào chảy đầy bể là 5 giờ, thời gian vòi chảy ra tháo hết bể là 7 giờ

Câu 1: Hai vòi nước chảy trong 80 phút thì đầy bể Nếu vòi 1 chảy trong 36 phút vòi 2 chảy trong 30

phút thì được 2

5 bể Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể?

Câu 2: Hai vòi nước chảy vào một cái bể không có nước thì sau 12 giờ bể đầy Hai vòi cùng chảy 8 giờ

thì người ta khoá vòi 1, còn vòi 2 tiếp tục chảy tiếp Do tăng vòi 2 công suất lên gấp đôi nên vòi 2 đã chảyđầy phần còn lại của bể trong 3 giờ rưỡi Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình với công suất bình thường thìphải bao lâu mới đầy bể?

Dạng 6: Giải bài toán liên quan tới phần trăm bằng cách lập hệ phương trình

Tiêu đề	Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Trường học	Trường Đại Học
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Bài giảng
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	39
Dung lượng	1,49 MB