Bài 1 nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số

NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ Mục tiêu  Kiến thức + Nắm được khái niệm hàm số, giá trị hàm số, điều kiện xác định của hàm số + Hiểu được khái niệm đồ thị hàm số + Hiểu đượ

CHƯƠNG 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT BÀI 1 NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được khái niệm hàm số, giá trị hàm số, điều kiện xác định của hàm số

+ Hiểu được khái niệm đồ thị hàm số

+ Hiểu được định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến

 Kĩ năng

+ Tính được giá trị của hàm số f x tại   x x 0

+ Tìm được điều kiện xác định của hàm số

+ Biểu diễn được tọa độ của một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy

+ Xét được tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Khái niệm hàm số

Khái niệm hàm số

Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x sao cho

với mỗi giá trị của x, ta xác định được một và chỉ một

giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x

và x được gọi là biến số

Hàm số có thể cho bằng bảng hoặc công thức

Giá trị của hàm số và điều kiện xác định của hàm

số

Điều kiện xác định của hàm số yf x  là tất cả các

giá trị của biến x sao cho biểu thức f x có nghĩa 

Giá trị của hàm số yf x tại x x 0 được xác định

bằng cách thay x bằng x rồi tính Kí hiệu 0 y0 f x 0

Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi

thì hàm số y được gọi là hàm hằng

2 Đồ thị hàm số

Đồ thị của hàm số yf x  là tập hợp tất cả các điểm

biểu diễn các cặp giá trị tương ứng x f x trên mặt;   

phẳng tọa độ

Đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x bởi công thức y2x1 y là hàm số của x vì mỗi giá trị

0

x cho giá trị y duy nhất0

Đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x bởi công thức y2 x y không là hàm số của x vì với giá trị x  cho hai giá trị 0 1 y là 0 y  và 0 1 y 0 1

Ví dụ:

a) y là hàm số của x cho bằng bảng sau:

b) y là hàm số của x cho bằng công thức sau:

2

2 1; 1; 2 1

Hàm số y2x3 xác định với mọi x thuộc  Hàm số y 2

x



 xác định với mọi x 0 Giá trị của hàm số y x 21 tại x  là0 2

  2

5

y  là hàm hằng vì với mọi giá trị của x thì y

luôn nhận một giá trị là 5

Cho hàm số y x 1 Bảng giá trị

1

Đồ thị hàm số y x 1

3 Hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số yf x  xác định với mọi giá trị của x

thuộc 

a) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng

 

f x cũng tăng lên thì hàm số yf x  được gọi là

hàm số đồng biến trên  (gọi tắt là hàm số đồng

biến)

b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng

 

f x giảm đi thì hàm số yf x  được gọi là hàm

số nghịch biến trên (gọi tắt là hàm số nghịch biến)

Hàm số y3x1 là hàm đồng biến

1

Hàm số yx1 là hàm nghịch biến

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm điều kiện của hàm số

Bài toán: Tìm điều kiện của hàm số yf x 

Phương pháp giải

Hàm f x cho dưới dạng      

 

A x

f x

B x

điều kiện xác định B x   0

 Hàm f x cho dưới dạng   f x  A x  ,

điều kiện xác định A x   0

 Hàm f x cho dưới dạng     

 

A x

f x

B x

điều kiện xác định B x   0

Với A x và   B x là các đa thức đại số biến x 

Ví dụ 1 Điều kiện của hàm số 3 1

2

x y x





 là

Ví dụ 2 Điều kiện của hàm số y 2x là3

3

2

x   x

Ví dụ 3 Điều kiện của hàm số 1

1

y x



 là

x   x 

Ví dụ 4 Điều kiện của hàm số yf x 2x1 là

x

  

Ví dụ mẫu

HÀM SỐ

Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x sao cho mỗi giá trị của x ta được một và chỉ một giá trị tương ứng của y

Hàm số đồng biến khi x tăng thì y tăng

Điều kiện xác định của hàm số

là điều kiện của biến số x để

biểu thức có nghĩa

Hàm số nghịch biến khi x tăng thì y giảm

Giá trị của hàm số tại được xác

định bằng cách thay x bằng

Đồ thị của hàm số là tập hợp tất

cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng trên mặt phẳng tọa độ

Ví dụ 1 Tìm điều kiện của x để các hàm số sau xác định

a) y2x1 b) y x21

Hướng dẫn giải

a) Xét hàm số y2x1

Hàm số xác định với mọi x  

b) Xét hàm số y x21

Điều kiện: x  2 1 0

Ta có x2    0, x nên 2

1 1 0

x   

Vậy hàm số xác định với mọi x  

Ví dụ 2 Tìm điều kiện của x để các hàm số sau xác định

2

x y x







Hướng dẫn giải

a) Xét hàm số y x2

Điều kiện: x  2 0 x2

Vậy điều kiện của hàm số x 2

b) Xét hàm số 1

2

x y x





 Điều kiện: x 1 0;x 2 0

Xét x  1 0 x1;x 2 0  x2

Vậy điều kiện xác định của hàm số là x1;x2

Ví dụ 3 Tìm điều kiện của x để các hàm số sau xác định

3 2

x y

x







Hướng dẫn giải

a) Xét hàm số y 5

Hàm số xác định với mọi x  

b) Xét hàm số 2

3 2

x y

x





 Điều kiện: 3 2 0 3 2 3

2

Vậy điều kiện của hàm số 2

3 2

x y

x





 là 3

2

x 

Hàm đa thức xác định với mọi

x  

 

2

n

x  f x    x , với mọi n  *

Điều kiện A x là   A x   0

Điều kiện  

 

A x

B x là B x   0

Hàm hằng xác định với mọi

x  

Điều kiện  

 

A x

B x là B x   0

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1 Tìm điều kiện xác định của hàm số 2 3

x y x







Câu 2 Tìm điều kiện xác định của hàm số 3

x y x







Câu 3 Tìm điều kiện xác định của hàm số 3 1

3

x y

x







Bài tập nâng cao

Câu 4 Tìm điều kiện xác định của hàm số

4

y



Câu 5 Tìm điều kiện xác định của hàm số 24

4

y x





Câu 6 Tìm điều kiện xác định của hàm số y x2 5x6

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài tập cơ bản

Câu 1.

Điều kiện để hàm số có nghĩa là: x   và 2 3 0 2x  1 0

Xét 2

3 0

x  

Ta có x2    0, x suy ra x2  3 3 0,  x

2

x   x  x

Vậy điều kiện xác định của hàm số 2 3

x y x





 là 1

2

x

Câu 2.

Điều kiện để hàm số có nghĩa là x  3 0 và 2x  1 0

Xét x  3 0 x3

2

x   x  x

Vậy điều kiện xác định của hàm số 3

x y x





2

Câu 3.

Điều kiện để hàm số có nghĩa là 3 x 0 3x

Vậy điều kiện xác định của hàm số 3 1

3

x y

x





 là x 3

Bài tập nâng cao

Câu 4.

Điều kiện để hàm số có nghĩa là 2x  1 0 và x  2 0.

Xét x 2 0  x2

2

x   x  x

Vậy điều kiện xác định của hàm số 3

x y x





 là x 2

Câu 5.

Điều kiện để hàm số có nghĩa là x2 4 0  x2  4 x hoặc 2 x  2

Vậy điều kiện xác định của hàm số 24

4

y x



 là x 2 hoặc x  2

Câu 6.

Điều kiện để hàm số có nghĩa là x2 5x  6 0 x 2 x 3 0

Trường hợp 1: x  2 0 và x  3 0

Ta có x 2 0  x2;

x 3 0  x3

Vậy suy ra với x 3 thì x 2 x 3 0

Trường hợp 2: x  2 0 và x  3 0

Ta có x 2 0  x2;

x 3 0  x3

Vậy suy ra với x 2 thì x 2 x 30

Vậy điều kiện xác định của hàm số y x2 5x là 6 x 3 hoặc x 2

Dạng 2: Tính giá trị của hàm số tại một điểm

Bài toán 1 Tính giá trị của hàm số yf x  tại x x 0

Phương pháp giải

Tính giá trị của hàm số yf x  tại x x 0

Để tính giá trị của hàm số yf x  tại x x 0 ta

thay x x 0 vào yf x  được y0 f x 0

Ví dụ Tính giá trị của hàm số yf x 2x1 tại x 0 2

Hướng dẫn giải

Giá trị của hàm số yf x  2x1 tại x  là0 2

 2 2.2 1 5

Lưu ý Cần kiểm tra giá trị x có thuộc tập xác0

định của hàm số không

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hàm số yf x  x 1

a) Tính f  2 b) Tính f  0

Hướng dẫn giải

a) f 2   2 1 3 b) f  0   0 1 1

Ví dụ 2 Cho hàm số yf x 9

a) Tính f  2 b) Tính f 100

Hướng dẫn giải

a) f  2 9 b) f 100 9

Ví dụ 3 Cho hàm số yf x  2x3 3x22x1

a) Tính f  1 b) Tính f  2

Hướng dẫn giải

a) f 1 2.13 3.122.1 1 2 3 2 1 0     

b) f  2 2 2 3 3 2 22 2 116 12 4 1   33

Ví dụ 4 Cho hàm số yf x 2 x1

a) Tính f  2 b) Tính f  1

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x  1 0 x1

a) 2 không thuộc tập xác định của hàm số vậy

 2 2 2 1 2.1 2

b) – 1 không thuộc tập xác định của hàm số nên không tồn tại

 1

f 

Đối với hàm hằng, mọi giá trị của x đều nhận một giá trị y không đổi

Nếu x không thuộc tập xác định0

của hàm số thì f x không tồn tại 0

Bài toán 2 Tìm điều kiện của tham số để giá trị của hàm số tại một điểm thỏa mãn một điều kiện cho trước

Phương pháp giải

Tìm điều kiện tham số m để yf x 0 thỏa mãn

điều kiện cho trước

Ví dụ 1 Cho hàm số f x  2mx1 Tìm m để f  1 5

Hướng dẫn giải

 1 2 1 1 2 1

Mà f  1 5 nên 2m  1 5 2m 4 m2

Bước 1 Tính giá trị f x theo m 0

Bước 2 Căn cứ điều kiện thiết lập phương trình

+) f x 0 a suy ra phương trình f x 0 a

+) f x 0 f x 1 suy ra phương trình

 0  1

f x f x

Bước 3 Giải phương trình chứa tham số m

Bước 4 Kết luận

Ví dụ 2 Cho hàm số f x  2mx2mx1 Tìm m

để f  1 f  2

Hướng dẫn giải

Xét hàm số f x  2mx2m 2x1

 1 2 12  2 1 1

2m m 2 1 3m 3

 2 2 22  2 2 1

8m 2m 4 1

10m 5

Mà f  1 f  2 suy ra 3m 3 10 m 5

2

7

Vậy 2

7

m 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hàm số yf x   m1x2 Tìm m để

Hướng dẫn giải

a) f1  m1 1   2 3 m    1 2 3 m 0 m0

vậy m 0 thì f  1 3

b) f   3  m1 3 2 2    3m 3 2 2   3m 3 m1

Vậy với m 1 thì f 3 2

Ví dụ 2 Cho hàm số yf x   m 2x3m1 Tìm m để f 2 f  3

Hướng dẫn giải

Xét hàm số yf x   m 2x3m1

Ta có f   2  m 2 2 3  m 1 2m 4 3 m1 5 m 5

  3 2 3 3 1 3 6 3 1 6 7

Mà f  2 f  3 nên 5m 5 6 m 7 m2

Vậy với m 2 thì f  2 f  3

Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1 Cho hàm số  

2

6

x

x



 , tính f  2

Câu 2 Cho hàm số yf x  2m1x3m1 Tìm m để f  1 0

Bài tập nâng cao

Câu 3 Cho hàm số yf x   m 2x23m1, xác định giá trị của m để f  1 5

Câu 4 Cho hàm số   2

2

yf x mx  x, xác định giá trị của m để f 0 f  2

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài tập cơ bản

Câu 1.

Xét hàm số

2

( )

6

x

x



 Điều kiện xác định 6 x 0 6x

Vì 2 thuộc tập xác định của hàm số nên

2

2.2 1 8 1 9 (2)

2

Câu 2.

Xét hàm số yf x( ) 2 m1x3m1

Mà (1) 0f  suy ra 5 3 0 3

5

Bài tập nâng cao

Câu 3.

Xét hàm số yf x( )m 2x23m1

  2

f  m  m  m  m  m

Mà (1) 5f  suy ra 4m 3 5  m2

Câu 4.

yf x mx  x

(0) 0 2.0 0

2

(2) 2 2.2 4 4

Mà (0)f f(2) suy ra 4m 4 0  m1

Dạng 3: Biểu diễn tọa độ một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Bài toán 1 Biểu diễn tọa độ điểm M x y trên hệ trục Oxy , xác định điểm nào thuộc đồ thị hàm 0; 0

số yf x 

Phương pháp giải

a) Biểu diễn tọa độ điểm M x y trên hệ trục 0; 0

Oxy

Bước 1 Vẽ hệ trục Oxy

Bước 2 Vẽ đường thẳng vuông góc với trục Ox tại

điểm có hoành độ x x 0

Bước 3 Vẽ đường thẳng vuông góc với trục Oy tại

điểm có tung độ yy0

Bước 4 Giao của hai đường thẳng chính là điểm

 0; 0

M x y

b) Xác định điểm M x y có thuộc đồ thị hàm số 0; 0

 

yf x

Bước 1 Thay giá trị x x 0 vào hàm số yf x 

Bước 2

 Nếu y0 f x 0 thì điểm M x y thuộc 0; 0

đồ thị hàm số yf x 

 Nếu y0 f x 0 thì điểm M x y không 0; 0

thuộc đồ thị hàm số yf x 

Ví dụ Trong hệ trục tọa độ cho các điểm A2;0 ;

0; 3 ; 1; 2

B  C và D  2; 4 a) Biểu diễn các điểm A, B, C, D trên hệ trục Oxy b) Trong các điểm trên, điểm nào thuộc đồ thị hàm

số y 2x ?

Hướng dẫn giải

a) Biểu diễn các điểm A, B, C, D trên hệ trục Oxy

Chú ý một số điểm đặc biệt trên hệ trục tọa độ

 Điểm O0;0là gốc tọa độ

 Điểm A a ;0thuộc Ox có hoành độ là a

 Điểm B0;b thuộc Oy có tung độ là b b) Xét các điểm A, B, C, D điểm nào thuộc đồ thị hàm số y2x?

Với x 2 ta có y  4 0 Vậy điểm A2;0 không thuộc đồ thị hàm số 2

y x

* Với x 0 ta có y  0 3 Vậy điểm B0; 3  không thuộc đồ thị hàm số

y x

* Với x 1 ta có y 2 Vậy điểm C1; 2thuộc đồ thị hàm số y2x

* Với x 2 ta có y  4 4 Vậy điểm D  2; 4 không thuộc đồ thị hàm số 2

y x

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho các điểm A2;3 ; B0; 2 ;  C4;0 ; D1; 4 ;  E1;3

Biểu diễn các điểm trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy

Hướng dẫn giải

Biểu diễn các điểm A2;3 ; B0; 2 ;  C4;0 ; D1; 4 ;  E1;3 Điểm O0;0là gốc tọa độ

Điểm A a ;0thuộc Ox có hoành độ là a

Điểm B0;b thuộc Oy có tung độ là b

Ví dụ 2 Cho các điểm A1; 1 ;  B0; 1 ;  C1;3 ; D2;5 ; E3; 7  Trong các điểm trên, điểm nào thuộc đồ thị hàm số y2x1?

Hướng dẫn giải

 Với x 1 suy ra y  2 1 1  1 Vậy A   1; 1thuộc đồ thị hàm số y2x1

 Với x 0 suy ra y 2.0 1 1  1 Vậy B0; 1  không thuộc đồ thị hàm số y2x1

 Với x 1 suy ra y 2.1 1 3  Vậy C1;3thuộc đồ thị hàm số y2x1

 Với x 2 suy ra y 2.2 1 5  Vậy D2;5 thuộc đồ thị hàm số y2x1

 Với x 3 suy ra y 2.3 1 7  7 Vậy E3; 7 không thuộc đồ thị hàm số y2x1

Bài tập tự luyện dạng 3

Bài tập cơ bản

Câu 1 Biểu diễn các điểm A5;0 ; B3; 2 ; C3;1 ; D0; 3 ;  E2; 2  trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy

Câu 2 Cho các điểm M0;1 ; N2;3 ; P  2;0 Trong các điểm trên điểm nào thuộc đồ thị hàm số

1

y x  ?

Bài tập nâng cao

Câu 3 Cho hàm số yf x  mx 2m x  1 Trong các điểm A0;1 ; B2;1 ; C  2;1 điểm nào luôn nằm trên đồ thị hàm số với mọi m?

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài tập cơ bản

Câu 1

Biểu diễn các điểm

5;0

A ; B  3;2; C3;1; D0; 3 ; E   2; 2

trên cùng hệ trục tọa độ Oxy

Câu 2.

Các điểm M0;1; N2;3; P  2;0; điểm nào thuộc đồ thị hàm số y = x + 1?

Với x = 0 thì y = 0 + 1 = 1 suy ra điểm M0;1 thuộc đồ thị hàm số y = x + 1.

Với x = 2 thì y = 2 + 1 = 3 suy ra điểm N2;3 thuộc đồ thị hàm số y = x + 1.

Với x = - 2 thì y   2 1 1 0suy ra điểm P  2;0 không thuộc đồ thị hàm số y = x + 1

Bài tập nâng cao

Câu 3.

Xét hàm số y mx  2m x 1m1x 2m1

 Với x 0 thì ym1 0 2  m12m 1 điểm A0;1 thuộc đồ thị hàm số

y mx  m x  khi 2m1 1  m1

 Với x 2 suy ra ym1 2 2  m1 2 m 2 2m1 1 điểm B2;1 thuộc đồ thị hàm số

y mx  m x  khi 1 1 với mọi m

 Với x2 suy ra ym1 2   2m14m 3 điểm C  2;1 thuộc đồ thị hàm số

y mx  m x  khi 4m 3 1  m1

Vậy với mọi m thì đồ thị hàm số yf x( )mx 2m x 1 luôn đi qua điểm B2;1 .

Bài toán 1 Cho hàm số yf x , chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến

Phương pháp giải

Chứng minh hàm số yf x  đồng biến, nghịch biến

Bước 1 Cho x1x2 suy ra x1 x2 0

Bước 2 Tính y1f x 1 ;y2 f x 2

Bước 3 Xét hiệu y1 y2

 Nếu y1 y2 0 thì hàm số đồng biến

 Nếu y1 y2 0 thì hàm số nghịch biến

Ví dụ Cho hàm số yf x  2x2 Chứng minh hàm số đã cho đồng biến

Hướng dẫn giải

Xét hàm số yf x 2x2 Lấy x1x2, suy ra x1 x2 0

Ta có y1 f x 1 2x12

 

Xét y1 y2 2x12  2x22

2x 2 2x 2

2x 2x

2 x 1 x2

Vì x1 x2 0 suy ra y1 y2 2x1 x2 0 Vậy hàm số đồng biến

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hàm số yf x 3x1 Chứng minh hàm số nghịch biến

Hướng dẫn giải

Lấy x1x2 x1 x2 0

Ta có y1 f x 1 3x11

 

Xét y1 y2   3x11  3x213x1 1 3x21

3x 3x

3 x 1 x2

Vì x1 x2 0 suy ra y1 y2 3x1 x2 0

Vậy hàm số nghịch biến

Tích của hai số khác dấu nhỏ hơn 0

Ví dụ 2 Cho hàm số yf x m x x2  3m1 Chứng minh hàm số đồng biến

Hướng dẫn giải

yf x m x x  m  m  x m

Lấy x1x2 x1 x2 0

Ta có    2 

   2 

y  y  m  x  m   m  x  m 

Vì m2  0, m m2 1 0,m

Mặt khác x1 x2 0 suy ra  2   

Vậy hàm số đồng biến

A  với mọi A 

A

  với mọiA 

0

A  với mọi A 

0

A

  với mọiA 

Ví dụ 3 Cho hàm số yf x 2m x2  3x5m1 Chứng minh hàm số nghịch biến

Hướng dẫn giải

Xét hàm số yf x 2m x2  3x5m  1  2m2 3x5m1

Lấy x1x2 x1 x2 0

   2 

y  y   m  x  m    m  x  m 

2m 3 x 5m 1 2m 3 x 5m 1

m    m m    m m   m

Mặt khác x1 x2 0 suy ra y1 y2   2m2 3 x1 x20

Vậy hàm số nghịch biến

Nhân hai vế của bất phương trình với một số dương thì giữ nguyên dấu của bất phương trình, với một

số âm thì dấu của bất phương trình đổi chiều

Bài toán 2 Cho hàm số yf x  Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến

Phương pháp giải

Cho hàm số yf x , tìm m để hàm số đồng biến,

nghịch biến

Ví dụ Cho hàm số yf x   m1x2 Tìm m để hàm số nghịch biến

Hướng dẫn giải