Chia đơn thức cho đơn thức

CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨCA.. Quy tắc chia đơn thức cho đơn thức trường hợp chia hết - Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B - Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy t

CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC

A Tóm tắt lý thuyết

1 Các khái niệm cơ bản của phép chia đơn thức

Cho A và B là hai đơn thức, B khác 0

- Ta nói đơn thức A chia hết cho đơn thức B nếu tìm được một đơn thức Q sao cho A BQ

- A được gọi là đơn thức bị chia, B gọi là đơn thức chia, Q gọi là đơn thức thương

- Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A

2 Quy tắc chia đơn thức cho đơn thức (trường hợp chia hết)

- Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B

- Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B

- Nhân các kết quả tìm được với nhau

3 Đơn thức A chia hết cho đơn thức B nếu

- Mỗi biến của B đều là biến của A

- Số mũ của biến đó trong B không lớn hơn số mũ của biến đó trong A

4 Nhắc lại mộ số quy tắc về lũy thừa

- Chia hai lũy thừa cùng cơ số: a m:a n a m n ( ,m n N m n ,  )

- Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: a a m. n a m n (x0; ,m n N )

- Lũy thừa của một tích: a b m. m ( ) ( ,a b m a b0;m N )

m m m

B Bài tập áp dụng và các dạng toán

Dạng 1: Thực hiện phép chia Cách giải: Áp dụng trực tiếp quy tắc chia đơn thức cho đơn thức (trường hợp chia hết) và

chú ý quy tắc về lũy thừa.

Bài 1: Tính

:

   

   

:

   

   

   

Lời giải

a) Ta có: 25 : 58 12 5 : 516 12 54

b) Ta có:

       

       

       

c) Ta có:

       

       

       

Bài 2: Tính

a)

:

   

   

:

   

   

   

Lời giải

a) Ta có:

:

     

     

     

b) Ta có: 18 : 94 4 18 : 94 4 24 16

c) Ta có:

Bài 3: Tính

a)

:



   

   

:



   

   



   

Lời giải

a) Ta có:

:



   



   

   

b) Ta có: 28 : 47  7 77

c) Ta có:

6

:



   



   



   

Bài 4: Thực hiện phép tính

c) x 9: x5 d) 32 y8: 2 y4

Lời giải

a) Ta có: x x8: 7 x

b) Ta có: 36 :12x7 x4 36 :12x7 4 3x3

c) Ta có:  x 9:  x5   x9 5   x4 x4

d) Ta có: 32 y8: 2 y4 32 : 2 y y8: 4 16y4

Bài 5: Tính

a)

20

: 5

8

: 4

x  x

c) 19 : 3z8  z 2 d) 25 35:5 2

4  x 8 x

Lời giải

a) Ta có:



b) Ta có:  

8

x  x   x x  x

c)  

2

19 : 3 19 : 9

d) 25 35 5 2 25 5  15  2 13

Bài 6: Chia các đơn thức sau

a) 15x y2 2: 5xy2 b) x y x y3 4: 3

:

4 xy 2 x y



Lời giải

a) Ta có: 15x y2 2: 5xy2 3x

b) Ta có: x y x y3 4: 3 y3

c) Ta có:

2

x y x y y

d) Ta có:  

:

4 xy 2 x y 2 xy



Bài 7: Chia các đơn thức sau

a) 9x y z5 7 : 4x y4 7 b) 121x y5 6: 11 x y4 2

c)

3 5 2

:

8 x y z 4xz d) 4 y 7 : y 44

Lời giải

a) Ta có:

4

x y z x y  xz

b) Ta có: 121x y5 6: 11 x y4 2 121: 11  x5 4 6 2 y  11xy4

c) Ta có:

8 x y z 4xz 8 4 x y z 2x y z

d) Ta có: 4 y 7: y 44 4 y 7: 4 y4 4 y3

Bài 8: Chia các đơn thức sau

a) 15a bc a b2 : 3 2 b) 21x y z2 5 3: 7xy z2 3 c)

:

2x y z 4y z

d)

3

( ) : 5( )



e)

:

25 x y z 5x yz



Lời giải

a) Ta có: 15a bc a b2 : 3 2 5c

b) Ta có: 21x y z2 5 3: 7xy z2 3 3xy3

c) Ta có:

2x y z 4y z x yz

d) Ta có:

3

( ) : 5( )



e) Ta có:

:

25 x y z 5x yz



Bài 9: Thực hiện phép tính

a) 21a b x4 2 3 6a b x2 3 59a b x3 4 4 : 3a b x2 2 2

b) 81a x y4 4 3 36x y5 418ax y5 418ax y5 5 : 9 x y3 3

c)  3 2 4 3 5 4 1 3 2

2

x y  x y  x y  x y 

d)

3 x yz 2 xy z xyz 3xyz



Lời giải

a) Ta có:

a b x a b x a b x

a b x a b x a b x

b) Ta có: 81a x y4 4 3 36x y5 418ax y5 418ax y5 5 : 9 x y3 3 9a x4 4x y2 2ax y2 2ax y2 2

2

x y  x y  x y  x y   xy x y

d) Ta có:

3 x yz 2 xy z xyz 3xyz xz 2y z



Bài 10: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến

2 3

A x y  xy x y y  x x y

Lời giải

Ta có:

2 3

2 3

2

1

3

x y

xy

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của các biến.

Bài 11:

Tìm đa thức P x  , biết 5 x P x3   25x6  30x510x3

Lời giải

Ta có: 5 x P x3  25x6 30x510x3 P x 25x6 30x510x3 : 5x3

5x 6x 2

Vậy đa thức P x  5x3 6x22.

Bài 12: Tìm đa thức P x  , biết

a) 5 x P x3   25x6 30x510x3

b) 2x y P x4   6x y8 518x y6 22x y4

Lời giải

a) Ta có:  P x 25x6 30x510x3: 5x3 5x3 6x22

Vậy đa thức c ần tìm P x 5x3 6x22

b) Ta có: 2x y P x4   6x y8 518x y6 22x y4  P x    6x y8 518x y6 22x y4  : 2 x y4 

3x y 9x y 1

Vậy đa thức c ần tìm P x 3x y4 4 9x y2 1.

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức Cách giải: Thực hiện phép chia để tìm kết quả trước, sau đó thay số và tính giá trị của biểu

thức

Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau

a) A15x y5 3:10xy2 tại

2 3;

3

x y

b) B x y z3 5 2 2: x y z2 3 3

tại x1;y1;z100

Lời giải

a) Ta có:

2

A x y xy  x y A

tại

2 3;

3

x y

b) Ta có: B x y z3 5 2 2: x y z2 3 3 Byz100

tại x1;y1;z100

Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau

a A  x y3 3 4:  x y12 11

tại

;

x y

b B25x y2 42:15x y4 6

tại

3 2017;

5

x y

Lời giải

a) Ta có:  3 3 4 12 11  4 12 12  12 11 4

3

A  x y  x y   x y x y  y

tại

;

x y

b) Ta có:  2 42 4 6 5 2 3

B x y x y  y  B

tại

3 2017;

5

x y

Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau

3

A x   x

tại x 3

b Bx y z   5: x y z  3 tại x17;y16;z1

Lời giải

2 3

A x   x  x  A

tại x 3

b) Ta có: Bx y z   5: x y z  3 x y z  2  D4 tại x17;y16;z1

Bài 4: Tính giá trị của các biểu thức sau

a A54x y 1 : 18 12    x y  tại x21;y10

b B2 2 x 6: x13 tại x 11

Lời giải

a) Ta có: A54x y 1 : 18 12    x y  3x y 1 A90 tại x21;y10

b) Ta có: B2 2 x 6: x13 64x13 B64000 tại x 11

Bài 5: Tính giá trị của các biểu thức sau

a

A  x y z x y z x y z

b

2

B  m n p m np m n p

c

C ax y ax y a x y

Lời giải

a) Ta có:

3 2

A  x y z x y z  xy    A

b) Ta có:

2

B  m n p m np m n p

c) Ta có:

C ax y ax y a x y  Aax y  

Dạng 3: Tìm điều kiện của n để biểu thức A chia hết cho biểu thức B

Cách giải: Sử dụng lý thuyết về điều kiện về số mũ của các biến để đơn thức A chia hết cho

đơn thức B

Bài 1:

Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đa thức B trong các trường hợp sau:

a A4x y n1 2 và B3x y3 n1 b A7x y n1 5 5x y3 4 và B5x y2 n

c A x y 4 33x y3 3x y2 n và B4x y n 2

Lời giải

a) Ta có

1 2

4 3

n n

B x y







Để đa thức A chia hết cho đa thức B, khi và chỉ khi

b) Ta có

Để đa thức A chia hết cho đa thức B, khi và chỉ khi

1 2

5

4

n

n

n

 





 



c) Ta có

A x y x y x y x y x y x y

Để đa thức A chia hết cho đa thức B, khi và chỉ khi

4

2

2

n

n

n











 

Bài 2:

Cho các đơn thức A3x y n1 5 và B2x y2 n1 Tìm số tự nhiên n sao cho đơn thức A chia hết

cho đơn thức B Tìm thương

A

B ứng với mỗi giá trị tìm được của n

Lời giải

Điều kiện để đơn thức A chia hết cho đơn thức B là:

3; 4

- Với n 3 thì

2 5

2 4

A x y

y





- Với n 4 thì

3 5

2 5

A x y

x





Bài 3:

Tìm điều kiện của n để biểu thức A chia hết cho biểu thức B trong các trường hợp sau:

a A14x y8 n và B7x y7 4 b A20x y5 2n và B3x y2 2

Lời giải

a) Ta có: A B  n N n ; 4

b) Ta có: A B  n N n ; 1

Bài 4:

Tìm điều kiện của n để biểu thức A chia hết cho biểu thức B trong các trường hợp sau

a A21x y z3 2 2n1 và B4x yz3 b

3 1 8 3 7

4

n

A x  y z



và

10 2 3 4

7

n

B x y z



Lời giải

a) Ta có: A B  n N n ;2   1 1 n1(n N )

b) Ta có:

n N

n N









        





Bài 5:

Tìm các giá trị nguyên của n để hai biểu thức A và B đồng thời chia hết cho biểu thức C

a A x y 6 2n6;B2x y3n 18 2 n;C5x y2 4

b A20x y n 2n3 2z B; 21x y t C6 3n ; 22x y n1 2

Lời giải

a) Ta có:





b) Ta có:

1

n Z

n n

n

n n





  

 



 







Bài 6:

Tìm các giá trị nguyên của n để hai biểu thức P và Q đồng thời chia hết cho biểu thức R

a.

1

15

P x y  z Q x y  z R x y

b

P  x y  Q  x  yzt R x y

Lời giải

a) Ta có:

11 3 5

n Z

n







 







Vậy n 2 là giá trị cần tìm

b) Ta có:

n Z

n







 

 







Vậy n 6;7;8 là giá trị cần tìm.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Làm tính chia

a) 22x y z4 2 : 5x y2 b) ( 5 ) x y z3 2 2:15x y3

c)

( ) : ( )

8 xy 2 x y



d) (x y z3 6 9 10) : (xyz)15

Lời giải Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau

a) A(8x312x26x1) : (1 2 ) ( x 2 x501) tại x 501

b)

3

( 3) : (3 )( 2)

B x  x x

tại x 2 c) C ( x y z  ) : (3  y z x  ) (2 x y 3;z1) tại x y 3;z1

Lời giải Bài 3:

Tìm điều kiện của n để biểu thức A chia hết cho biểu thức B

a) A14x y B8 n; 7x y7 4 b) A20x y5 2n;B3x y2 2

Lời giải

a) Ta có: A B  n N n ; 4

b) Ta có: A B  n N n ; 1

Bài 4:

Tìm các giá trị nguyên của n để hai biểu thức A và B đồng thời chia hết cho biểu thức C

a

A x y  B  x y  C x y

b

17

23

B x y  B x y  C x y

Lời giải

a) Tìm được n 0;1

b) Tìm được n 

Bài 5:

Thực hiện phép tính rồi tìm GTNN của biểu thức A9xy2 6x y2 : 3 xy6x y2 2x4 : 2x2

Lời giải

Ta có A9xy2 6x y2 : 3 xy6x y2 2x4 : 2x23y2x3y x 2x22xx12 1 1 Vậy GTNN của A bằng 1, đạt được khi x12  0 x1

Bài 6:

Chứng minh rằng 2x y6 34x y8 3x y4 3 : x y4 3 dương với mọi x y, khác 0

Lời giải

Đặt A2x y6 34x y8 3x y4 3 : x y4 3 2x24x4 1 4x42x21

Vì

4

2

0

0

x

x









Vậy biểu thức đã cho luôn dương với mọi x y, khác 0.