Vận dụng cao thầy trần công diêu chương 4 vận dụng cao số phức chương 4 so phuc phan 1

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện... Đường tròn tâm bán kính 3 Lời giải Điều kiện: Gọi với là điểm biểu diễn số phức: Khi đó Vậy

CHƯƠNG 04

BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO SỐ PHỨC

………

 Các khái niệm cơ bản nhất

Chủ đề 1 Các bài toán tính toán số phức

 Bài tập áp dụng

 Lời giải chi tiết

Chủ đề 2 Phương trình số phức

 Bài tập áp dụng

 Lời giải chi tiết

Chủ đề 3 Các bài toán liên quan đến biểu diễn điểm, tập hợp điểm

 Bài tập áp dụng

 Lời giải chi tiết

CHƯƠNG 04

BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO SỐ PHỨC

Trong chương trình phổ thông, các bài toán số phức thường khá đơn giản, không quá khó Tuy nhiên cũng có những bài toán vận dụng và vận dụng cao mà chúng a nếu không nghiên cứu kĩ lưỡng, lần đầu tiên gặp sẽ rất khó giải quyết Trước khi đến với lớp bài toán này chúng ta cùng nhắc lại các khái niệm căn bản nhất

Các khái niệm cơ bản nhất

Định nghĩa

- Một biểu thức dạng với được gọi là một số phức

- Đối với số phức ta nói là phần thực, là phần ảo của

- Tập hợp số phức kí hiệu là

 Hai số phức bằng nhau

- Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau

- Công thức:

Biểu diễn hình học của số phức

- Điểm trong hệ tọa độ vuông góc được gọi là điểm biểu diễn của số phức

Môđun của số phức

- Cho số phức có điểm biểu diễn là trên mặt phẳng tọa độ Độ dài của véctơ được gọi là mô đun của số phức và kí hiệu là

- Công thức

 Số phức liên hợp

- Cho số phức số phức dạng được gọi là số phức liên hợp của

Phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia

- Cho số phức ta có

- Cho số phức ta có

- Cho số phức ta có

- Cho số phức (với ) tacó :

Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai với và Phương trình này có biệt thức nếu:

- phương trình có nghiệm thực

- phương trình có hai nghiệm thực phân biệt

- phương trình có hai nghiệm phức

 Acgumen của số phức

ĐỊNH NGHĨA 1

Cho số phức Gọi là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu tia cuối được gọi là acgumen của

CHÚ Ý

Nếu là một acgumen của (hình dưới) thì gọi acgumen của có dạng

(người ta thường nói: Acgumen của xác định sai khác )

y

M(z)

O x

 Dạng lượng giác của số phức

Xét số phức Kí hiệu là mô đun của và của một acgumen của (hình dưới) thì dễ thấy rằng:

Vậy có thể viết dưới dạng

y

M (a+bi)

r

O x

ĐỊNH NGHĨA

Dạng , trong đó được gọi là dạng lượng giác của số phức

Dạng , được gọi là dạng đại số của số phức

Nhận xét Để tìm dạng lượng giác của số phức khác

0 cho trước ta cần:

1. Tìm đó là mô đun của số cũng là khoảng cách từ gốc đến điểm biểu diễn số trong mặt phẳng phức

2. Tìm đó là một acgumen của là số thực sao cho và số đó cũng là số đo một góc lượng giác tia đầu tia cuối

CHÚ Ý

1. khi và chỉ khi

2. Khi thì nhưng acgumen của không xác định (đôi khi coi acgumen của 0

là số thực tùy ý và vẫn viết

3. Cần để ý đòi hỏi trong dạng lượng giác của số phức

 Nhân và chia số phức lượng giác

Ta đã công thức nhân và chia số phức dưới dạng đại số Sau đây là định lý nêu lên công thức nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác; chúng giúp cho các quy tắc tính toán đơn giản về nhân và chia số phức

ĐỊNH LÝ

Nói một cách khác, để nhân các số phức dưới dạng lượng giác, ta lấy tích các mô đun và tổng acgumen; để chia các số phức dưới dạng lượng giác ta lấy thương các mô đun và hiệu các acgumen

Chứng minh

Mặt khác, ta có Theo công thức nhân số phức,

Ta có:

 Công thức Moa-vrơ (Moivre)

Từ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằng quy nạp toán học dễ dàng suy ra rằng với mọi số nguyên dương

Và khi ta có

Cả hai công thức đó đều được gọi là công thức Moa – vrơ

 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác

Từ công thức Moa – vrơ, dễ thấy số phức có căn bậc hai là

và

Để nắm được các kiến thức trên học sinh cần phải luyện tập khá nhiều bài tập, xin chú ý để làm các bài tập ngay sau đây quý bạn đọc cần phải khá vững phần căn bản số phức

CHỦ ĐỀ 1.

CÁC BÀI TÍNH TOÁN SỐ PHỨC.

Bài 1: Cho hai số phức thảo mãn Tính

A B C D

Nhận xét: Bài này nhìn vào có vẻ khá khó, nhưng các em cần phải bình tĩnh, chỉ cần gọi

sau đó viết hết các giả thiết đề bài cho:

Và viết cái cần tính ra Hãy quan sát cái cần tính và thấy rằng chỉ cần bình phương lên là có thể dùng được giả thiết

Lời giải

Ta có:

Vậy:

Chọn A.

Bài 2: Tính có kết quả:

Lời giải

Suy ra

Chọn A.

Bài 3: Tìm số phức có và

Lời giải

Đặt thì

Khi đó ta có:

Do đó giá trị lớn nhất đạt được bằng 2 khi

Chọn C.

Bài 4: Trong các số phức thỏa mãn Tìm số phức để đạt giá trị lớn nhất

Lời giải

Giả sử

Vì

Khi đó:

Xét hàm số trên đoạn ta có:

Ta có:

Vậy

Vậy

Chon A.

Bài 5: Cho là số phức có mô đun bằng 2017 và là số phức thỏa mãn Mô đun của số phức là:

Lời giải

Từ ta suy ra

Lấy mô đun hai vế ta có

Chọn C.

Bài 6: Số phức có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện là:

Lời giải

+ Gọi

Từ giả thiết ta có:

+ Đồng thời lớn nhất Kiểm tra các đáp án và so sánh

Chọn D.

Bài 7: Số phức thỏa mãn Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

Ta có

Mặt khác suy ra

Suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức là

Chọn B.

Bài 8: Tìm phần thực của số phức thỏa mãn phương trình:

Lời giải

Điều kiện

Vậy phần thực của số phức là 8

Chọn D.

Bài 9: Cho số phức thảo mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giải

Giả sử ta có:

Đặt

Đặt

Dấu xảy ra khi

Vậy

Chọn A.

Bài 10: Trong các sô phức thỏa điều kiện mô đun nhỏ nhất của số phức bằng:

Lời giải

Giả sử số phức

Theo đề

Chọn A.

Bài 11: Tìm số phức có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện

Lời giải

Gọi

(Thay các số phức vào và mô đun lớn nhất thì ta sẽ chọn)

So với các đáp án trên ta chọn đáp án A

Chọn A.

Bài 12: (A+A1 2012) Cho số phức thỏa mãn

Tính mô đun của số phức

Lời giải

Giả sử

Chọn A.

Bài 13: Cho hai số phức phân biệt thỏa mãn điều kiện là số ảo Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải

Thì là số ảo

Chọn C.

CHỦ ĐỀ 2.

PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC.

Bài 1: Tìm các số thực sao cho hai phương trình có nghiệm chung là

C D

Lời giải

Theo giả thiết phương trình có nghiệm khi

Tương tự phương trình có nghiệm khi

Từ suy ra

Chọn A.

Bài 2: Gọi là 2 nghiệm của phương trình trên tập số phức Tìm mô đun của số phức

Lời giải

Phương trình có

Suy ra phương trình có hai nghiệm hoặc

Thay vào ta được :

Thay vào

Vậy

Chọn B.

Bài 3: Tìm các số thực để phương trình (với ẩn ) nhận là một nghiệm

Lời giải

Nếu là nghiệm thì :

Một phương trình bậc hai với hệ số thực, nếu có một nghiệm phức thì cũng nhận lam nghiệm Vậy nếu là một nghiệm thì cũng là nghiệm Theo định lý Vi-ét:

Chọn A.

Bài 4: Tìm các số thực để phương trình (với ẩn ) nhận làm nghiệm và cũng nhận làm nghiệm

Lời giải

là nghiệm thì

là ngiệm thì

Từ đó ta có hệ phương trình

Từ suy ra

Từ suy ra

Thay vào ta có:

Với

Chọn A.

Bài 5: Phương trình có bao nhiêu nghiệm

A 1 nghiệm B 2 nghiệm C 3 nghiệm D 4 nghiệm

Lời giải

Vậy nghiệm phương trình là:

Chọn C.

Bài 6: Số nghiệm phức của phương trình là ?

A 1 nghiệm B 2 nghiệm C 3 nghiệm D 4 nghiệm

Lời giải

Giả sử với ; và không đồng thời bằng 0

Khi đó

Khi đó phương trình

Lấy chia theo vế ta có thế vào

Ta có hoặc

Với (Loại)

Với Ta có số phức

Chọn B.

Bài 7: Gọi là 4 nghiệm phức của phương trình Tìm tất cả các giá trị để

Lời giải

Nếu hoặc nếu

Khi đó

Hoặc

Kết hợp lại thỏa mãn bài toán

Chọn D.

CHỦ ĐỀ 3.

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN BIỂU DIỄN ĐIỂM,

TẬP HỢP ĐIỂM.

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện

A.Đường thẳng qua gốc tọa độ B Đường tròn bán kính 1.

C Đường tròn tâm bán kính 2 D Đường tròn tâm bán kính 3

Lời giải

Điều kiện:

Gọi với là điểm biểu diễn số phức:

Khi đó

Vậy tập hợp các điểm số phức trong mặt phẳng tọa độ là đường tròn tâm bán kính

Chọn C.

Bài 2: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ thảo mãn điều kiện:

A.Đường thẳng qua gốc tọa độ B Đường tròn bán kính 1.

C Đường tròn tâm bán kính 5 D Đường tròn tâm bán kính 3

Lời giải

Đặt ta có

Do đó:

Trên mặt phẳng tọa độ, đó là tập hợp các điểm thuộc đường tròn bán kính bằng 5 và tâm là

Chọn C.

Bài 3: Trên mặt phẳng tạo độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện

A.Đường thẳng qua gốc tọa độ B Đường tròn bán kính 1.

C Đường tròn tâm bán kính 5 D Đường tròn tâm bán kính 2

Lời giải

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức là đường tròn tâm và bán kính

Chọn D.

Bài 4: Trên mặt phẳng tạo độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện

A.Đường thẳng qua gốc tọa độ B Đường tròn bán kính 1.

C Đường tròn tâm bán kính 5 D Đường tròn tâm bán kính 2

Lời giải

Gọi ta có:

Tập hợp điểm biểu diễn các số phức là đường thẳng đi qua gốc tọa độ

Chọn A.

Bài 5: Trên mặt phẳng tạo độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện

A Đường thẳng đi qau gốc tọa độ.

B Đường tròn bán kính bằng 1.

C. Nửa trái của mặt phẳng tọa độ không kể trục

D. Đường tròn tâm bán kính 2

Lời giải

Tập hợp điểm biểu diễn các số phức là nửa trái của mặt phẳng tọa độ không kể trục

Chọn C.

Bài 6: Trong mặt phẳng tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức thỏa mãn

Lời giải

Vậy điểm biểu diễn số phức là

Chọn A.

Bài 7: Trong mặt phẳng tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện

Lời giải

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn

Chọn A.

Bài 8: Cho số phức thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giải

Các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn nằm trên đường tròn tâm và bán kính

(Ý nghĩa hình học của độ dài OM ) y

Ta có đạt giá trị nhỏ nhất O x

điểm và nhỏ nhất M

(Bài hình học giải tích quen thuộc ) C

Ta có:

Dấu xảy ra khi là giao

điểm của và đoạn thẳng

Vậy GTNN của là

Chọn A.

Bài 9: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức sao cho là một số thuần ảo

A. Đường tròn tâm bán kính bằng khuyết 2 điểm và

B. Đường tròn tâm bán kính bằng khuyết 2 điểm và

C. Đường tròn tâm bán kính bằng khuyết 2 điểm và

D. Đường tròn tâm bán kính bằng khuyết 2 điểm và

Lời giải

Tử số bằng là số thuần ảo khi và chỉ khi :

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm bán kính bằng , khuyết 2 điểm và

Chọn A.

I

Bài 10: Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của 3 số phức Diện tích tam giác bằng:

Lời giải

Dùng máy tính Casio ta có

Dùng công thức với

Dùng máy tính ta có kết quả B:

(Có thể dùng công thức tính diện tích phần tính nhanh hơn)

Chọn B.

Bài 11: Trong mặt phẳng có lần lượt biểu diễn 2 số phức và C biểu diễn

số phức Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. C có tọa độ

B. là hình thoi

C. biểu diễn số phức

D. biểu diễn số phức

Lời giải

Ta có biểu diễn cho biểu diễn cho nên biểu diễn cho

Các câu còn lại dễ dàng kiểm tra là đúng

Chọn C.

Bài 12: Cho số phức thỏa mãn điều kiện Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm

biểu diễn số phức là:

A. Đường tròn

B. Đường tròn

C. Đường tròn

D. Đường tròn

Lời giải

Đặt

Chọn C.

Bài 13: Cho A là điểm biểu diễn của các số phức: lần lượt là điểm biểu diễn của các

số phức và Điều kiện để cân tại là:

Lời giải

cân tại nên hay:

Chọn B.

Bài 14: Biết điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng tọa độ phức Tính mô đun của số phức

Lời giải

Vì điểm biểu diễn nên

Do đó:

Chọn A.

Bài 15: Trong mặt phẳng phức lần lượt biểu diễn các số phức Trọng tâm của tam giác biểu diễn số phức nào sau đây?

Lời giải

Trọng tâm của tam giác là

Vậy biểu diễn số phức

Chọn B.

Bài 16: Trong mặt phẳng phức, gọi lần lượt là điểm biểu diễn của số phức

Biết tam giác vuông tại Tìm tọa độ của C?

Lời giải

Ta có:

Tam giác vuông tại nên với

Vậy

Chọn A.

Bài 17: Trong mặt phẳng phức, các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình

là các điểm nào sau đây?

Lời giải

Vậy các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình đã cho là

Chọn A.

Bài 18: Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn số phức biết là:

C Đường tròn D Đường thẳng

Lời giải

Đặt và là điểm biểu diễn của

Ta có

Vậy:

Chọn D.

Bài 19: Trong mặt phẳng phức, cho theo thứ tự là điểm biểu diễn của hai số phức và

Tìm tập hợp điểm các điểm sao cho: Điểm nằm trên trục tung

và

A. Đường tròn tâm bán kính ngoại trừ các điểm và

B. Đường tròn tâm bán kính ngoại trừ các điểm và

C. Đường thẳng ngoại trừ các điểm và

D. Đường thẳng ngoại trừ các điểm và

Lời giải

Ta có:

Trường hợp nằm trên trục tung và

là một số thuần ảo khác 0

là đường tròn tâm bán kính ngoại trừ các điểm và

Chọn A.

Bài 20: Trong mặt phẳng phức, cho theo thứ tự là điểm biểu diễn của hai số phức và

Tìm tập hợp điểm các điểm sao cho: Điểm nằm trên trục hoành và

A. Đường tròn tâm bán kính ngoại trừ các điểm và

B. Đường tròn tâm bán kính ngoại trừ các điểm và

C. Đường thẳng ngoại trừ các điểm và

D. Đường thẳng ngoại trừ các điểm và

Lời giải

Ta có:

Trường hợp nằm trên trục tung và

là một số thực

là đường thẳng ngoại trừ các điểm và

Chọn D.

Bài 21: Tìm quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức biết số phức thỏa mãn:

A Hình tròn B Hình tròn

C Hình tròn D Hình tròn

Lời giải

Giả sử

Ta có:

Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn số phức là hình tròn (kể cả những điểm nằm trên biên)

Chọn A.

Bài 22: Trong mặt phẳng phức, gọi theo thứ tự là điểm biểu diễn các số:

Tìm tập hợp điểm khi chạy trên đường tròn

A. Đường tròn tâm bán kính

B. Đường tròn tâm bán kính

C Trục tung

D Trục hoành

Lời giải

Ta có:

Vì chạy trên đường tròn: nên ta có

Vậy tập hợp điểm là trục tung

Chọn C

Bài 23: Gọi và là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức

Tìm tập hợp các điểm sao cho tích là một số thực

A. Đường tròn tâm bán kính

B. Đường tròn tâm bán kính

C. Là một hyperbol vuông góc

D. Là một hyperbol

Lời giải

Ta có:

Tích là một số thực

Trong mặt phẳng phức, tập hợp là một hyperbol vuông góc có phương trình:

Chọn C.

Bài 24 : Gọi và là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức

Tìm tập hợp các điểm sao cho tích là một số thuần ảo

A. Đường tròn tâm bán kính

B. Đường tròn tâm bán kính

C. Là một hyperbol vuông góc có tâm đối xứng có trục thực nằm trên trục độ dài các trục đều bằng 8

D. Là một hyperbol có tâm đối xứng có trục thực nằm trên trục độ dài các trục đều bằng 8

Lời giải

Tích là một số thuần ảo Phần thực bằng 0

Trong mặt phẳng phức, tập hợp là một hyperbol có tâm đối xứng có trục thực nằm trên trục độ dài các trục đều bằng 8

Chọn C.

Bài 25: Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức thỏa mãn hệ thức

A. Đường tròn tâm bán kính

B. Đường tròn tâm bán kính

C. Đường thẳng

D. Đường thẳng

Lời giải

Đặt với

Ta có

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức gồm hai đường thẳng:

Chọn D.