Giải tích 12 chương 1 bài 3 giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số

max  Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn.. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

Trang 1

TR ƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨC NG THCS & THPT TRÍ Đ C ỨC Đ C Ề CƯƠNG TOÁN LỚP 12 HKI NĂM 2023 ƯƠNG TOÁN LỚP 12 HKI NĂM 2023 NG TOÁN L P 12 HKI NĂM 2023 ỚP 12 HKI NĂM 2023

BÀI 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa.

Cho hàm số yf x 

xác định trên tập D.

 Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số yf x 

trên D nếu:

f x M x D

x0 D f x0 M

( ) ,

, ( )





Kí hiệu: M max ( )x D f x





 Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số yf x 

trên D nếu:

f x m x D

x0 D f x0 m

( ) ,

, ( )





Kí hiệu: m min ( )x D f x





2 Phương pháp tìm GTLN,GTNN

4.2.1 Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

 Bước 1 : Tính f x 

và tìm các điểm x x1, , ,2 x nD mà tại đó f x  0

hoặc hàm số không có đạo hàm

 Bước 2 : Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

4.2.2 Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

 Bước 1 :

 Hàm số đã cho yf x 

xác định và liên tục trên đoạn a b; 

 Tìm các điểm x x1, , ,2 x n trên khoảng  a b;

, tại đó f x  0

hoặc f x 

không xác định

 Bước 2 : Tính f a f x     , 1 ,f x2 , ,f x   n ,f b

 Bước 3 : Khi đó:

 max f x a b   max f x    1 f x2 f x     n f a f b

 

 



                

 

a b

min f x min f x1 f x2 f x f a f b

4.2.3 Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng

 Bước 1: Tính đạo hàm f x( )

 Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm x i ( ; )a b của phương trình f x( ) 0 và tất cả các điểm

i ( ; )a b

 

làm cho f x( ) không xác định

 Bước 3 Tính A x alim ( )f x







, B x blim ( )f x







, f x( )i

, f( ) i

 Bước 4 So sánh các giá trị tính được và kết luận M a b f x

( ; )

max ( )



, m a b f x

( ; )

min ( )



Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

Chú ý:

 Nếu yf x 

đồng biến trên a b; 

 thì

a b

f x f a

f x f b

;

min max

 

 

 

 









Trang 2

 Nếu yf x 

nghịch biến trên a b; 

 thì

 

 

 

 

 











a b

f x f b

f x f a

;

min ( )

max ( )

 Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng

đó

Vấn đề 1 GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN [a;b]

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Bước 1 :

 Hàm số đã cho yf x 

xác định và liên tục trên đoạn a b; 

 Tìm các điểm x x1, , ,2 x n trên khoảng  a b;

, tại đó f x  0

hoặc f x 

không xác định

 Bước 2 : Tính f a f x     , 1 ,f x2 , ,f x   n ,f b

 Bước 3 : Khi đó:

 max f x a b   max f x    1 f x2 f x     n f a f b

, , , , , ,

                         n a b min f x min f x1 f x2 f x f a f b , , , , , ,

B TOÁN MẪU VD1 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn Lời giải Hàm số đã cho xác định trên Ta có: , Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là VD2 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

VD3 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( là tham số) trên đoạn

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

M

3 1 3

x y x





0; 2

8

3

x



 0 1 3

y  y 2  5

1 3

M 

f x x  x  x 1;3 

2

y x a a 1;2

Trang 3

Câu 4. Giá trị lớn nhất của hàm số f x( ) =x2 - 3x+2

trên đoạn là

là và Giá trị của tổng bằng

tại hai điểm và Khi đó bằng

số trên đoạn Tính

f x x  x  x 4; 4

 4;4  

min f x 0

 4;4  

min f x 50

 4;4  

min f x 41

 4;4  

min f x 15

3 3 2

y x  x 4; 1 

3 5 7

143

1 2 ;

é -ê ù ú

3 2

3

x

y= + x + -x [- 4; 0]

4

-28 3

3

4 3

-   3  2 2  4 1

f x x x x 1; 3

 

 

 



max

 

 



max 1; 3 f x 4

 

 

 



max

 

 

 max

1; 3

67 27

f x

f x =x - x + x- [ ]1;3 13

1

x x2 x1+x2

3 3 5

y= -x x+ [0; 2]

y x  x

4

2 4 7 1

y

x



2;4 M m

17

M m

16 3

3

M m 

5

Mm

9

y x

x

 

2;4

Trang 4

Câu 15 Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là

Khi đó bằng

Câu 22. Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Khi đó giá trị của biểu thức bằng:

 2;4 

miny 6

 2;4 

13 min

2

y 

 2;4 

25 min

4

y 

 2;4  miny 6

f x x  x 1;3

1;3  

min f x 3

1;3   min f x 6

1;3  

min f x 5

1;3   min f x 37

m y x 4 x213 2; 3

13

m 

51 4

4

16

m 

5 7

x y x





15.

17

13 2

3 1 2

x y x





1

3

2 3

2

2 3

1

x y x





 0; 2 2

8 3

10

3 5 7

M m

3

x y x





 0;3

M m

7 2

9 2

11 2

15 2

x

y e 1; 1

0

1

3 3 1

y x  x 1; 4 1

3

23 27

112 27

158

3 3 2 2

yx  x  M n,

0;3 M n 

Trang 5

Vấn đề 2 GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ CHO TRƯỚC BBT, ĐỒ THỊ

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn Ta có

bằng

và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn Giá trị là

1

2 1

x y x





 1;2 2

1

2 1 1

x y x





7

 

yf x

0;5

 0;5 

maxy 5

 0;5 

maxy 3

 0;5 

maxy 4

 0;5  maxy 2

( )

 

f x 2;3 Mm

Trang 6

lượt là các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn Tính

Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

đoạn Tính

( )

 

yf x 3; 2

,

1; 2 M m

 

yf x 2;3

Trang 7

Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn Giá trị của bằng

Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

đã cho trên đoạn Giá trị của bằng

f(x)=x^2+4x+1 f(x)=-2x+1 x(t)=-3 , y(t)=t f(x)=-1 x(t)=1 , y(t)=t f(x)=-2 x(t)=-2 , y(t)=t

-3 -2 -1 1

-3 -2 -1

1 2

x y

Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn Giá trị của bằng

trên đoạn

M  m

 

yf x 1; 4

M m

1; 4 Mm

 

yf x 3;1

 

1; 2

Trang 8

x y

O

là

2 5 -2

2 0

+ 0

y y'

x

+

1 -1

0

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 12 Cho hàm số yf x( ) có bảng biến thiên như sau

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1;1 bằng:

 

0;2

0;2   2

Max f x 

0;2   2

Max f x 

0;2   4

Max f x 

0;2   0

Max f x 

( )

yf x  3; 5

 3; 5

min y 0

 







3; 5

max y 2 5

 





 3; 5

max y 2

 





 3; 5

min y 2

 





 

y f x  3; 5

Trang 9

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên là:

là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn Tìm mệnh đề đúng?

Vấn đề 3 GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN KHOẢNG, NỬA KHOẢNG

 Bước 1: Tính đạo hàm f x( )

 Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm x i ( ; )a b của phương trình f x( ) 0 và tất cả các điểm

i ( ; )a b

  làm cho f x( ) không xác định

 Bước 3 Tính A x alim ( )f x







, B x blim ( )f x







, f x( )i

, f( ) i

3; 5

min y 0

 





3; 5

max y 2

 





3; 5

max y 2 5

 





3; 5

min y 1

 

 



 

yf x

5 1, 2



5 1, 2



M  m M4,m1

7

2

M  m

 

yf x 1;3

 0

M f M f  3 M f  2 M f 1

Trang 10

 Bước 4 So sánh các giá trị tính được và kết luận M a b f x

( ; )

max ( )



, m a b f x

( ; )

min ( )



Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

Chú ý:

 Nếu yf x 

đồng biến trên a b; 

 thì

a b

f x f a

f x f b

;

min max

 

 

 

 









 Nếu yf x 

nghịch biến trên a b; 

 thì

 

 

 

 

 











a b

f x f b

f x f a

;

min ( )

max ( )

 Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng

đó

B BÀI TẬP MẪU

Lời giải

Ta có Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng

………

VD3 Cho hàm số với thuộc Mệnh đề nào dưới đây đúng? A B ; không tồn tại C D ; không tồn tại ………

………

 

1

x x

f x

x

 



 

x x

 

 

2

1

f x





2

x

f x

x





   





1; 

 1;  3

Min y





1

 

y x

2

x

f x

x

-=

2

ê ú

= - ¥ - È

ê ú

D

D f x

Trang 11

………

A Hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.

B Hàm số không có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất.

C Hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

D Hàm số có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Hàm số có ba cực trị.

của phương trình

tích bằng bao nhiêu ?

2

1 5

x y x







3 sin cos 2 sin 2

2 2

 



1.

23 27

1

3 3 1

y x  x 0; 2

( )

yf x

9 20

3 5



( ;1) 2

3 3 1

y x  x 0; 2

1 cos

y

x

;

2 2

 

M f x  4 x2 4x 6 4x x 21

 

f x M

2 2

1 1

x x y

x x

 



 

.

m M

Trang 12

là

Vấn đề 4 ỨNG DỤNG GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ VÀO CÁC BÀI TOÁN

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1

10

2 1 2

x y x





2

D      

 

 

D f x  min  

D f x

D

D f x  f x 

D

D f x  f x 

 

D f x  max  

D f x

f x  x  x  1;2

43 27

27



2



50 27



x

1

x x y

x

 



2

4 2

y x





x

1

x x y

x

 



2

0 ;   yx33x1

1

3

1

y x

x

2

1 3

2

y x

x

  

 4;2 

miny 4





 4;2 

miny 7





 4;2 

miny 5





 4;2 

15 min

2

y





1 2

y x  x 0;1

1 9

1

2 3 9

Trang 13

Cho f là hàm số xác định và liên tục trên D, thì:

a) f x( ) £ g m( )

với mọi ( ) max ( )

x D

Î

b) f x( ) £ g m( )

có nghiệm khi và chỉ khi ( ) min ( )

x D

Î

³

c) f x( )³ g m( )

với mọi ( ) min ( )

x D

Î

d) f x( ) ³ g m( )

có nghiệm khi và chỉ khi ( ) max ( )

x D

Î

£

B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số f x  4 x2  4x 6 4  x x 2  1 Tính tích các nghiệm

của phương trình f x  M

Câu 2 Cho hàm số yf x( ) có bảng biến thiên:

Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình f  x 1 1   m

có nghiệm?

Câu 3. Tìm m để mx4  4x m 0 với  x R

Câu 4. Tìm m để bất phương trình : x2  12mx x2  2  4

nghiệm đúng  x 0;1

?



x có nghiệm trên khoảng  ;1

Câu 6 Phương trình x3 1 x2 0 có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt ?

Câu 7 Tập hợp nghiệm của hệ bất phương trình

2







x x

A   ; 4

B 4; 1 

C 4;1

D 1; 

Trang 14

Vấn đề 5 BÀI TOÁN THỰC TẾ

A TOÁN MẪU

giây và tính bằng mét Tại thời điểm nào vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất?

Lời giải

Vận tốc của chuyển động được xác định bởi

Do , nên ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất tại

………

VD3 Một vật chuyển động theo quy luật 3 2 1 9 2    s t t , với là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó Hỏi trong khoảng thời gian giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? ………

………

4

S t  t  t  t t

v t S t t  t

2

t

v t t

t

 





0

t 

2

t 

2

48m

t

s

10

Trang 15

lượng xuất khẩu gạo tính theo ngày thứ được xác định bởi công thức

với Hỏi trong ngày đó thì ngày thứ mấy có số lượng xuất khẩu gạo cao nhất ………

………

VD5 Để lấy nước tưới cây, ông Tráng cần xây một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy Nếu bể cần có thể tích và chiều dài gấp 4 lần chiều rộng thì chiều cao bằng bao nhiêu để chi phí vật liệu thấp nhất ………

………

VD6 Một chất điểm chuyển động theo phương trình , trong đó t tính bằng giây và S tính theo mét Chuyển động có vận tốc lớn nhất là ………

………

mặt đáy gấp đôi chiều rộng Để xây dựng mặt đáy cần triệu đồng cho , để xây dựng mặt xung quanh cần triệu đồng cho Giá trị xây dựng bồn chứa nhỏ nhất gần với kết quả nào dưới đây?

vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là km/h thì năng lượng tiêu hao của các trong giờ được cho bởi công thức trong đó là hằng số cho trước tính bằng jun Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng của cá tiêu hao ít nhất là

1 t 60 60

3

50m

3 3 2 2

3

10m

  3 ,

Trang 16

đồng/kg thì hết sạch rau, nếu giá bán cứ tăng thêm nghìn đồng/kg thì số rau thừa lại tăng thêm kg Số rau thừa này được thu mua làm thức ăn chăn nuôi với giá đồng/kg Hỏi

số tiền bán rau nhiều nhất mà trang trại có thể thu được mỗi ngày là bao nhiêu?

Nhà máy sản xuất thành nhiều lần trong năm, số tivi đặt cho nhà máy là như nhau cho các lần đặt hàng Mỗi lần lấy hàng từ nhà máy về cửa hàng chỉ để trưng bày được một nửa, một nửa số hàng còn lại phải lưu kho Chi phí gửi trong kho là một cái Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần đặt là cộng thêm mỗi cái Cửa hàng đặt bao nhiêu lần trong một năm và mỗi lần bao nhiêu cái để chi phí mà cửa hàng phải trả là nhỏ nhất?

tháng cơ sở bán được trung bình chiếc khăn Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhuận tốt hơn Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá đồng mà cứ tăng giá thêm đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn chiếc Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là đồng Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất

một con sông Ông không cần rào cho phía giáp bờ sông Hỏi ông có thể rào được cánh đồng với diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

Câu 7 Một công ty cần xây dựng một cái kho chứa hàng dạng hình hộp chữ nhật bằng vật liệu gạch và

xi măng có thể tích , đáy là hình chữ nhật có chiều dài bằng hai lần chiều rộng Người

ta cần tính toán sao cho chi phí xây dựng là thấp nhất, biết giá xây dựng là đ/m2 Khi

đó chi phí thấp nhất gần với số nào dưới đây?

một máy trong mỗi lần in là nghìn đồng Chi phí cho máy chạy trong một giờ là

nghìn đồng Hỏi nếu in tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy in để được lãi nhiều nhất?

Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là thì năng lượng tiêu hao của cá trong giờ được cho bởi công thức: Trong đó là một hằng số, được tính bằng Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất

30 000

1

2500

10$

30.000 3000

18.000

2400

3

2000m

500.000

300km

jun

Tiêu đề	Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Trường học	Trường THCS & THPT Trí Đức
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Đề cương
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	0,95 MB