Giải tích 12 chương 1 bài 2 cực trị của hàm số

 Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K..  Nếu là điểm cực trị của hàm số thì điểm được gọi là điểm c

BÀI 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐTÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa

Giả sử hàm số xác định trên tập K và Ta nói:

 là điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại một khoảng chứa sao cho

và Khi đó được gọi là giá trị cực tiểu

của hàm số

 là điểm cực đại của hàm số nếu tồn tại một khoảng chứa sao cho

và Khi đó được gọi là giá trị cực đại

của hàm số

 Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị

 Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.

 Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị

phải là một điểm trong tập hợp K.

 Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.

 Nếu là điểm cực trị của hàm số thì điểm được gọi là điểm cực trị của đồ thị

hàm số

* Nhận xét:

 Giá trị cực đại (cực tiểu) nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm

số trên tập D; chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trên một khoảng nào đó chứa hay nói cách khác khi điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng(a;b) chứa sao cho là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trên khoảng

 Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập Hàm số có thể không

có cực trị trên một tập cho trước

 Đạo hàm có thể bằng tại điểm nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm

 Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.

 Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng hoặc tại đó

điểm cực đại của hàm số

 Nếu trên khoảng và trên khoảng thì là mộtđiểm cực tiểu của hàm số

Giả sử có đạo hàm cấp 2 trong khoảng với Khi đó:

 Nếu thì hàm số đạt cực đại tại

 Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại

Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 2:

 Bước 1: Tìm tập xác định Tìm

 Bước 2 : Tìm các nghiệm của phương trình

 Bước 3: Tính và tính

 Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm

 Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm

5 MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ

5.1 Cực trị của hàm đa thức bậc ba

5.1.1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước

Bài toán tổng quát:

Cho hàm số Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực

tiểu tại thỏa mãn điều kiện cho trước?

có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua 2 nghiệm đó

phương trình có hai nghiệm phân biệt

phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

 Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương

phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

 Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm

phương trình có hai nghiệm âm phân biệt

 Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị thỏa mãn:

Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng:

Cho 2 điểm và đường thẳng

Nếu thì hai điểm nằm về

hai phía so với đường thẳng

Nếu thì hai điểm nằm cùng

phía so với đường thẳng

Một số trường hợp đặc biệt:

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy

hàm số có 2 cực trị cùng dấu

phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy

hàm số có 2 cực trị trái dấu

phương trình có hai nghiệm trái dấu

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox

phương trình có hai nghiệm phân biệt và

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox

phương trình có hai nghiệm phân biệt và

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox

phương trình có hai nghiệm phân biệt và

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

phương trình có hai nghiệm phân biệt và

(áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình đường thẳng đi qua

hai điểm cực trị của đồ thị hàm số)

Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi nhẩm được nghiệm)

5.1.3 Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị

 Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại

 Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại

5.2.2 Một số công thức tính nhanh

Giả sử hàm số có cực trị:

tạo thành tam giác thỏa mãn dữ kiện:

Tam giác vuông cân tại

Tam giác đều

Tam giác có diện tích

Tam giác có diện tích

Tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp

Tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp

Tam giác có độ dài cạnh

Tam giác có độ dài

Tam giác có cực trị

Tam giác có góc nhọn

Tam giác có trọng tâm

Tam giác có trực tâm

Tam giác cùng điểm tạo thành hình thoi

Tam giác có là tâm đường tròn nội tiếp

Tam giác có là tâm đường tròn ngoại

tiếp

Tam giác có cạnh

Trục hoành chia tam giác thành

hai phần có diện tích bằng nhau

Tam giác có điểm cực trị cách đều trục

hoành

Đồ thị hàm số cắt trục

tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng

Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

và trục hoành có diện tíchphần trên và phần dưới bằng nhau

Phương trình đường tròn ngoại tiếp là:

Vấn đề 1 TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Quy tắc tìm cực trị

Giả sử có đạo hàm cấp 2 trong khoảng với Khi đó:

 Nếu thì hàm số đạt cực đại tại

 Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại

Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 2:

 Bước 1: Tìm tập xác định Tìm

 Bước 2 : Tìm các nghiệm của phương trình

 Bước 3: Tính và tính

 Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm

 Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm

B TOÁN MẪU

Lời giải Cách 1:

Bảng biến thiên:

0 0



+ +

01 1

y y' x

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đã cho có điểm cực trị

Cách 2:

Hàm số là hàm trùng phương có nên có điểm cực trị

………

………

………

………

………

………

………

………

VD3 Hàm số có bao nhiêu cực trị? ………

………

………

………

………

………

………

………

VD4 Gọi và là hai điểm cực trị của hàm số Giá trị của bằng ? ………

………

………

………

………

………

………

………

A B C D

………

………

………

………

………

………

………

………

VD6 Tìm các điểm cực trị của hàm số: a) b) c) d) e) f)

VD7 Tìm các các điểm cực trị của hàm số: a) b)

VD8 Tìm các điểm cực trị của hàm số: a) b) C)

VD9 Tìm các các điểm cực trị của hàm số: a) b) c) d)

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

A Hàm số đạt cực đại tại và cực tiểu tại

B Hàm số đạt cực tiểu tại và cực đại tại

C Hàm số đạt cực đại tại và cực tiểu tại

D Hàm số đạt cực đại tại và cực tiểu tại

C Điểm cực đại của đồ thị hàm số D Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

A Hàm số có đúng ba điểm cực trị B Hàm số có đúng hai điểm cực trị.

C Hàm số chỉ có một điểm cực trị D Hàm số không có điểm cực trị

y f x   x x

0; 4

C Đ C T

y  y  y C Đ 4;y C T 40; 4

A Hàm số có ba diểm cực trị B Hàm số không có điểm cực đại.

C Hàm số có một điểm cực trị D Hàm số không có điểm cực tiểu.

A một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu B một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại.

C một điểm cực đại duy nhất D một điểm cực tiểu duy nhất.

Câu 20 Chọn khẳng định đúng về hàm số

A Hàm số không có cực trị B Số điểm cực trị của hàm số là 2.

C Số cực trị của hàm số là 1 D Hàm số có giá trị cực tiểu bằng

Câu 21 Hàm số nào sau đây có đúng một điểm cực trị?

x

y  x

2

13

Câu 29 Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 34 Cho hàm số Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A Hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị B Hàm số chỉ có đúng hai điểm cực trị.

đã cho là bao nhiêu?

của hàm số là:

2 51

x y x

x y

x

-=+

21

x y x

x y x

A B C D .

của hàm số đã cho là

C Hàm số có đúng một điểm cực trị D Hàm số có hai điểm cực trị.

C Hàm số đạt cực tiểu tại D Hàm số có hai điểm cực trị.

C Hàm số đạt cực tiểu tại D Hàm số có hai điểm cực trị.

x

 





A B C D .

C Hàm số đạt cực tiểu tại D Hàm số có hai điểm cực trị.

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A Hàm số có ba điểm cực trị B Hàm số có hai điểm cực trị.

C Hàm số có một điểm cực đại D Hàm số có một điểm cực tiểu

Mệnh đề nào dưới đây sai ?

C Hàm số có một điểm cực đại D Hàm số có một điểm cực tiểu

Câu 58 Giá trị cực đại của hàm số

Câu 60 Gọi , là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số Phương trình đường thẳng đi

qua hai điểm , là

Câu 61 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và Đường thẳng song song với

đường thẳng có phương trình

x

 



1

Câu 65 Hàm số có bao nhiêu cực trị ?

Câu 66 Cho hàm số , có đồ thị Gọi là các điểm cực trị của Tính độ

dài đoạn thẳng

Câu 67 Cho hàm số Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 69 Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là

Câu 73 Cho hàm số Khẳng định nào sau đây đúng:

Câu 74 Khoảng cách giữa 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

Câu 78 Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số Tọa độ trung điểm AB là:

C Đồ thị hàm số nhận điểm là điểm cực tiểu

D Đồ thị hàm số nhận điểm là điểm cực đại

Câu 82 Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Câu 83 Cho hàm số Gọi A,B,C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số Tính diện tích S

của tam giác ABC

A Tại hàm số không đạt cực đại B Hàm số đạt cực đại tại điểm

3 24

C Hàm số đạt cực đại tại điểm D Tại hàm số đạt cực tiểu.

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

Câu 2 Cho hàm số xác định trên và có bảng xét dấu như hình bên Khẳng định nào

sau đây sai?

C là điểm cực trị của hàm số D Hàm số có hai điểm cực trị.

Câu 3 Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

712

6

x  k k Z

,6

Hàm số đạt cực đại tại điểm

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

Câu 5 Hàm số xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số đạt cực tiểu tại

B Hàm số có giá trị lớn nhất bằng và giá trị nhỏ nhất bằng

C Hàm số có đúng hai cực trị.

D Hàm số đạt cực đại tại , và đạt cực tiểu tại

Câu 6 Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Hàm số có giá trị cực đại bằng 3 B Hàm số có giá trị cực đại bằng 0.

C Hàm số có 2 điểm cực tiểu D Hàm số có ba điểm cực trị.

Câu 7 Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình bên Hỏi hàm số có bao nhiêu

A B C D .

Câu 8 Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên dưới Hỏi hàm số đó có

bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 9 Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số đã cho có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

B Hàm số đã cho không có cực trị.

C Hàm số đã cho có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.

D Hàm số đã cho có một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.

Câu 10 Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là

Câu 11 Cho hàm số có đồ thị

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

Câu 12 Cho hàm số có bảng biến thiên như sau?

Hàm số đạt cực đại tại điểm bằng

Câu 13 Cho hàm số xác định và liên tục trên đoạn và có đồ thị là đường cong trong

hình vẽ bên Hàm số đạt cực đại tại điểm nào dưới đây ?

A Hàm số có điểm cực tiểu là B Hàm số có giá trị cực đại là

C Hàm số có điểm cực đại là D Hàm số có giá trị cực tiểu là

Câu 15 Cho hàm số có bảng biến thiên như hình bên dưới Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 16 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ Giá trị cực đại của hàm số bằng

Câu 17 Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây là sai?

A Hàm số có giá trị cực đại bằng 0 B Hàm số có giá trị cực đại bằng 3.

C Hàm số có ba điểm cực trị D Hàm số có hai điểm cực tiểu.

Câu 18 Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ bên Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số đạt cực tiểu tại B Hàm số đạt cực đại tại

Câu 19 Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới Tìm số điểm cực trị của hàm số

Câu 20 Cho hàm số có bảng biến thiên như hình bên dưới Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 21 Cho hàm số liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình bên dưới

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt.

B Hàm số đồng biến trên khoảng

C Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0.

D Hàm số có ba điểm cực trị.

Câu 22 Cho hàm số xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Kết luận nào sau đây đúng

Câu 24 Cho hàm số có đạo hàm trên và có bảng xét dấu như sau

Mệnh đề nào sau đây sai?

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Đồ thị hàm số có hai điểm cực đại

Câu 27 Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ:

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 29 Cho hàm số liên tục trên các khoảng và có bảng biến thiên như hình dưới

Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số đạt cực tại và đạt cực tiểu tại

B Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1.

C Hàm số đạt cực tại và đạt cực tiểu tại

D Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 5.

Câu 30 Cho hàm số có bảng biến thiên như hình bên

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Hàm số có đúng một điểm cực trị B Hàm số có giá trị cực tiểu bằng

C Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng D Hàm số đạt cực đại tại

Câu 31 Cho hàm số xác định và liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Vấn đề 3 CÂU HỎI LÝ THUYẾTCâu 1 Phát biểu nào sau đây là sai?

A Hàm số đạt cực trị tại khi và chỉ khi là nghiệm của phương trình

C Nếu đổi dấu khi đi qua điểm và liên tục tại thì hàm số đạtcực trị tại

A là điểm cực đại của hàm số B Giá trị cực đại của hàm số là

C là điểm cực tiểu của hàm số D Giá trị cực tiểu của hàm số là

đúng

A Nếu là điểm cực đại của hàm số thì

D Nếu là điểm cực trị của hàm số thì

Câu 5 Cho hàm số , chọn khẳng định đúng ?

C Nếu hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu thì giá trị cực đại lớn hơn giá trịcực tiểu

D Nếu đổi dấu khi qua điểm và liên tục tại thì hàm số đạt cựctrị tại điểm

Câu 6. Cho hàm số Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 7. Cho hàm số có đạo hàm trong khoảng , Nếu và

thì là

A Điểm cực tiểu của hàm số B Giá trị cực đại của hàm số.

C Điểm cực đại của hàm số D Giá trị cực tiểu của hàm số.

thì là:

A điểm cực tiểu của hàm số B giá trị cực đại của hàm số.

C điểm cực đại của hàm số D giá trị cực tiểu của hàm số.

Câu 9. Cho hàm số y = f có đạo hàm cấp hai trong khoảng , với h > 0 Mệnh đề nào

dưới đây sai?

A Nếu và thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.

B Nếu và thì hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0.

C Nếu và thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.

D Nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 thì

Câu 10 Cho hàm số xác định, có đạo hàm cấp một và cấp hai trên khoảng và

Khẳng định nào sau đây SAI?

A và thì là điểm cực tiểu của hàm số

B và thì là điểm cực trị của hàm số

C Hàm số đạt cực đại tại thì

D và thì không là điểm cực trị của hàm số

đúng?

A Nếu là điểm cực đại của hàm số thì

D Nếu là điểm cực trị của hàm số thì

'( ) 0

f x  f x "( ) 000

'( ) 0

f x  f x "( ) 00 0

'( ) 0

f x  f x "( ) 00

0'( ) 0