Giải tích 12 chương 1 bài 1 tính đơn điệu của hàm số

Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I  Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f x 0 Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn ,

CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BÀI 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐTÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa :

Giả sử K là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng

Hàm số f xác định trên K được gọi là :

 Đồng biến trên K nếu với mọi x x1, 2K , x1x2  f x 1  f x 2

 Nghịch biến trên K nếu với x x1, 2K x, 1x2 f x 1  f x 2

2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu :

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

 Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f x 0

Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , f là hàm số liên tục trên I và có

đạo hàm tại mọi điểm trong của I ( tức là điểm thuộc I nhưng không phải đầu mút của I ) Khi

 Ta có thể mở rộng định lí trên như sau

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I Nếu f x( ) 0 với x I 

( hoặc f x( ) 0 với x I  ) và f x( ) 0 tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I

Chú ý Vận dụng định lí trên vào các hàm số thường gặp trong chương trình.

*Nếu hàm số f là hàm đa thức (không kể hàm số hằng) hoặc f(x) =

( )( )

P x

Q x (trong đó P(x) là đa thức bậc hai , Q(x) là đa thức bậc nhất và P(x) không chia hết cho Q(x) thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên K   x K f x, ( ) 0 ( ( ) 0)  f x  .

Vấn đề 1 CÂU HỎI LÝ THUYẾTBÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 1 Cho K là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn Hàm số yf x

liên tục và xác địnhtrên K Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau

Câu 2 Cho hàm của hàm số f x  đồng biến trên tập số thực  , xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau

Câu 5 Cho hàm số yf x 

đồng biến, có đạo hàm trên khoảng K và hai điểm x x1, 2K ; x1 x2 Khi đó xét dấu biểu thức Pf x  1 x1 x2 f x 2  f x 1  f x 2 

Vấn đề 2 XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA MỘT HÀM SỐ CHO TRƯỚC

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI B1.Tìm tập xác định của hàm số f .

B2 Tính đạo hàm f x 

và tìm các điểm x sao cho 0 f x( ) 00  hoặc f x( )0 không xác định

B3 Lập bảng xét dấu f x'( ), dựa vào định lí 1 , nêu kết luận về các khoảng đồng biến , nghịch

nghịch biến trên khoảng 1;3

Câu 2 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số:

a) y 2 x b)y x 24x9

……… ………

………

………

………

………

………

………

……

Câu 3 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số: a) y x3 3x2 1 b) yx33x21 c) y x 33x2 4 d) f x  x3  3x2  3x 4 e) y x33x2 9x f) y x 3x g) y x 3 3x23x5 h) yx33x2 3x2. ……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

…

………

………

………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

…

………

………

………

………

Câu 4 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số: a)   1 4 2 2 1 4 f x  x  x  b) y x 4 8x2 4 c) y x4 2x2 2 d) y x 4 3 e) y2x4 4x2 3 f) y2x4 4x2 3. ……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

………

………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

…

………

………

………

………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

………

……… ………

………

………

…

………

………

Câu 5 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số: a) 2 3 x y x    b) 2 1 1 x y x    c) 2 3 x y x    d)   3 1 1 x f x x     e) 2 1 y x     ………

………

…………

………

…….…

………

………

………

………

………

………

………

………

………

…………

………

………

………

……

………

… ………

………

………

… ………

………

…

………

………

Câu 6 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số: a) y x 4 4x33 b) y x 44x 6 c)  2 2 y x  x d) y2x243 e) y3x44x3 30x236x1 f) y x 4 6x28x1. ………

………

………

………

….… ………

…………

………

………

………

………

………

….… ………

…………

………

………

………

………

………

………

………

….… ………

………

………

………

………

………

………

………

….… ………

Câu 7 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số: a) 2 2 2 1 x x y x     . b) 2 1 x y x   . ………

………

………

………

….… ………

…………

………

……

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

….… ………

…………

………

……

………

………

………

………

………

………

………

Câu 8 … Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số:

a) y x22x. b) y 2 x x 2 . c) y x21.

d) y x2 6x5. e) y4x x2 x1. f) y x   2 x .

g) y 2x x 2  x. h) 2

1

x y x





x y

x





………

………

………

………

….… ………

…………

………

……

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

….… ………

…………

………

……

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

….… ………

…………

………

……

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

….… ………

…………

………

……

………

………

………

………

………

………

……… ………

Câu 9 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số yf x  biết: a) f x  x x  23 b) f x   x1 2 x1 3 2 x c) f x   x1 1 2  x x  3 ………

………

………

………

….… ………

…………

………

……

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

….… ………

…………

………

……

………

………

………

………

………

………

………

Câu 10 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số: a) y x sinx. b) y sinx cosx 3x c) y x 3 x sinx. ………

………

………

………

….….………

………

………

………

………

….….………

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Hàm số yx33x2 nghịch biến khi 2 x thuộc khoảng nào sau đây?

A   ; 2

B   ;0

và 2; 

C 0; 

D 0; 2

Câu 2 Cho hàm số y x 3 3x 4 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng (  ; )

B Hàm số nghịch biến trên khoảng    ; 1 và đồng biến trên khoảng 1; 

C Hàm số nghịch biến trên khoảng  1;1

D Hàm số đồng biến trên khoảng    ; 1 và nghịch biến trên khoảng 1; 

Câu 3 Hàm số y x 3 3x2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?5

Câu 7 Cho hàm số y x 4 2x2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng  1;1

B Hàm số đồng biến trên khoảng    ; 2

C Hàm số nghịch biến trên khoảng  1;1

D Hàm số nghịch biến trên khoảng    ; 2

Câu 8 Hàm số y x 4 2x2 nghịch biến trên các khoảng nào sau đây?1

A    ; 1 và0;1  B   ;0 và1;+ .

C  1;0 và1;+ . D - ;-1   và 0;+ .

Câu 9 Cho hàm số

2 11

x y x





 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng    ; 1 và  1; 

B Hàm số đồng biến trên khoảng    ; 1 và  1; 

C Hàm số đồng biến trên tập 

D Hàm số đồng biến trên khoảng    ; 1 và 1; ; nghịch biến trên  1;1

Câu 10 Cho hàm số

11

x y x

Câu 11 Cho hàm số

3

2 1

x y

x





 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên  B Hàm số đồng biến trên

1

; 2

x y x

x y x





 D y2x33x210x1Câu 1 3 Hàm số nào sau đây nghịch biến trên  ?

A yx33x2 9x 4 B y x4x2 1

C

11

x y x

x y x





31

x y

x







Câu 17 Cho hàm số yf x  có đạo hàm f ' x x2  1. Chọn khẳng định đúng dưới đây

A Hàm số nghịch biến trên  B Hàm số nghịch biến trên 1;1

C Hàm số đồng biến trên  D Hàm số nghịch biến trên   ;1

Câu 22 Cho hàm y x2 6x Mệnh đề nào sau đây là đúng?5

A Hàm số đồng biến trên khoảng 5;

B Hàm số đồng biến trên khoảng 3;

C Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1 

D Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;3 

Câu 23 Hàm số y 2x x 2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 3;1

D Hàm số đồng biến trên khoảng 3;1

Câu 26 Cho hàm số f x  có đạo hàm f x x x 1 x23

,   x Số điểm cực trị của hàm số

đã cho là

Câu 27 Cho hàm sốy 2x21 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1

B Hàm số đồng biến trên khoảng 0;  

C Hàm số đồng biến trên khoảng  ;0

D Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;  

Vấn đề 3 XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHO BBT, ĐỒ THỊ f x 

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cách 1: Từ đồ thị, ta lập bảng xét dấu f x'( ), dựa vào định lí 1 , nêu kết luận về các khoảng đồng

biến , nghịch biến của hàm số

Cách 2: Nhìn đồ thị đi lên trong khoảng x nào thì hàm số đồng biến trong khoảng ấy Nhìn đồ thị

đi xuống trong khoảng x nào thì hàm số nghịch biến trong khoảng ấy

B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho hàm số yf x 

có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 3

B Hàm số đồng biến trên khoảng 1; 

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1

D Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1

có bảng biến thiên như hình bên dưới.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng 0;

B Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1

C Hàm số đồng biến trên khoảng 1;0

D Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;1

Hàm số nghịch biến trong khoảng nào?

Câu 11: Cho đồ thị hàm số như hình vẽ.

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A Hàm số luôn đồng biến trên 

Câu 12: Cho đồ thị hàm số yf x 

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A Hàm số đồng biến trên khoảng 1;3

B Hàm số nghịch biến trên khoảng 6; 

C Hàm số đồng biến trên khoảng  ;3

D Hàm số nghịch biến trên khoảng

Vấn đề 4 TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM HỮU TỈ BẬC NHẤT ĐƠN ĐIỆU

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Phương pháp:

Hàm số:

ax b y

o Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì y 0, x D ad bc 0

o Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định thì y 0, x D ad bc 0

o Để hàm số đồng biến trên khoảng a;b

o Để hàm số nghịch biến trên khoảng a;b

thì

 

 

0

;

ad bc

a c d

a b

d

c





   







 





B BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 1 Tìm các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó

Lời giải

Tập xác định:

Ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó khi ;

Câu 2 Tìm m để hàm số

2 3

mx y

x m





  nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.

……… ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Câu 3 Tìm m để hàm số 2 1 x m y x    đồng biến trên các khoảng xác định của nó. ……… ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Câu 4 Tìm m để hàm số 2 x m y x    đồng biến trên các khoảng xác định của nó. ……… ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

2 3

mx y

x m





 

x m y

x







 

\ 1

D  

1 1

m y

x



 



0,

1

0 1

m x



………

………

………

………

………

………

………

………

………

Câu 6 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số 3 4 x y x m    nghịch biến trên khoảng 2;  LỜI GIẢI Điều kiện: x 4m Để hàm số xác định trên 2;  thì 1 4 2 2 m m     Ta có:  2 4 3 ' 4 m y x m    Để hàm số nghịch biến thì    2   4 3 3 ' 0 x 2; 0 x 2; 4 3 0 4 4 m y m m x m                 Vậy 1 3 2 m 4    nên có 1 số nguyên m 0 thỏa mãn Câu 7 a) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 16 mx y x m    đồng biến trên 0;10 b) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 2 3 2 x m y x m     đồng biến trên   ;1. ………

………

………

………

….… ………

…………

………

……

………

………

………

………

………

………

………

….… ………

…………

………

……

………

………

………

Câu 8 a) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số

4

mx y

x m





 nghịch biến trên  ;1.

b) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số

10 2

mx y

x m





 nghịch biến trên 0; 2

Câu 9 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

2sin 1 sin

x y

x m



 đồng biến trên khoảng

0;

2



 

………

………

………

………

….… ………

…………

………

……

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

….… ………

…………

………

……

………

………

………

………

………

………

………

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Cho hàm số

mx m y

x m

 



 với m là tham số Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của

m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định Tìm số phần tử của S

Câu 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

2 1

x m y

x





 nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó

Câu 3 Tập hợp các giá trị của m để hàm số 1

x m y

x





 nghịch biến trên từng khoảng xác định là:

Câu 4 Cho hàm số

4

mx m y

x y

x y

x y

x y

x y







x y

x m đồng biến trên khoảng 0;2

Tính y ' 3ax 22bx c là tam thức bậc 2 có biệt thức    b2 3ac

Câu 4 a) Cho hàm số 1 3 2 3 2 2018

3

y x  mx  m x

Tìm tất cả các giá trị của tham sốmđể hàm số nghịch

biến trên khoảng    ; 

b) Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số

1

43

y x mx  x m

đồng biến trên khoảng    ; 

c) Tìm điều kiện của tham số thực m để hàm số yx3  3x2  3m 1 x 2 đồng biến trên .

d) Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số y x 3 3x2mx1 luôn đồng biến trên tập xác

Câu 6 a) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y mx 3 mx2 m m  1x 2 đồng biến trên .

b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3  1 2  2 3

3

m

y x  m x  m x m

nghịch biến trên khoảng    ; .

c) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 3  1 2  2 3

m

nghịch biến trên khoảng   ; 

d) Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số ym21x3m1x2 x4

nghịch biến trên khoảng

Câu 7 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 3  1 2  2 9 5 m y x  m x  m x m nghịch biến trên khoảng   ;  . ………

………

………

………

….… ………

…………

………

……… ………

………

………

………

………

….… ………

………

……… ……

Câu 8 a) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y13x3 12mx22mx 3m4 chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3? b) Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số   3 2 1 1 4 7 3 y x  m x  x chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 2 5. Tính tổng tất cả phần tử của S. ………

………

………

………

….… ………

…………

………

……

………

………

………

………

….… ………

…………

………

……

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

….… ………

…………

………

………

………

………

………

………

….… ………

…………

………

…….………

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số ym21x3m1x2 x4

nghịch biến trên

khoảng   ; 

Câu 2 Tìm m để hàm số y=- x3+mx nghịch biến trên 

A m£ 0 B m> 0 C m< 0 D m³ 0.

Câu 3 Cho hàm số yx3 mx24m9x Có bao nhiêu giá trị nguyên của 5 m để hàm số

nghịch biến trên ?

Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

1

3

y x  mx  x

đồng biến trên 

A 1   m 1 B 1 m 1 C 0  m 1 D 0m 1

Câu 5 Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x 3 mx23x 2 đồng biến trên R là

3 3

;

2 2



3 3

;

2 2



 