02 2 bt cơ bản về cực trị hàm số (trang 135 149)

Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là A.. Gọi T là giá trị cực đại của hàm số đã cho.. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số không có cực trị... Đồ thị h

Trang 1

Câu 1: Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên  là f x   x 2018 x 2019 x 20204 Hàm số

đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

1

3 1 3

đạt cực tiểu tại điểm

Câu 3: Cho hàm số f x  có đạo hàm f x'   x 1 2 x 3 3 2x3 ,   x Số cực trị của hàm số

đã cho là

Câu 4: Cho hàm số f x có f x  x x2 1 x25 Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Câu 5: Hàm số y2x3 x25 có điểm cực đại là

A 

1 3

x

B x0 C M0; 5 D y5

Câu 6: Cho hàm số f x  có f x  x x 1 x22 Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Câu 7: Hàm số







2 5 1

x y

x có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 8: Đồ thị hàm số yx3 3x2 9x1 có hai điểm cực trị A và B Điểm nào dưới đây thuộc

đường thẳng AB?

A M0 ; 1  B Q1;10 C P1;0 D N1; 10 

Câu 9: Số nào sau đây là điểm cực đại của hàm số yx4 2x3x22

A

1

Câu 10: Cho yf x có đạo hàm f x'  (x 2)(x 3)2 Khi đó số cực trị của hàm số yf2x1là

Câu 11: Cho hàm số yx4 2x21 Xét các mệnh đề sau đây

1) Hàm số có 3 điểm cực trị; 2) Hàm số đồng biến trên các khoảng 1;0; 1; 3) Hàm số có 1 điểm cực trị; 4) Hàm số nghịch biến trên các khoảng   ; 1; 0;1

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề trên?

Cơ bản về cực trị hàm số

Trang 2

Chủ đề 02: Cực trị của hàm số

Câu 12: Hàm số f x  C20190 C12019x C 20192 x2 C20192019x2019 có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 13: Cho hàm số yx3 3x2 Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là

A 2;0 B 1; 4 C 0;1 D 1;0

Câu 14: Cho hàm số f x( ) 1 C x C x101  102 2 C x1010 10 Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng

Câu 15: Cho hàm số yf x  có đạo hàm    2  1   2 3  x 1

,  x Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng

Câu 16: Cho hàm số f x  có đạo hàm f x  x2 9 x2 3x2

,   x Gọi T là giá trị cực đại của hàm số đã cho Chọn khẳng định đúng

A Tf 0 B Tf 9 C Tf 3 D Tf 3

Câu 17: Cho hàm số f x  có đạo hàm f x  x2 9 x2 3x2,   x Gọi T là giá trị cực đại của

hàm số đã cho Chọn khẳng định đúng

A Tf 0 B Tf 9 C Tf 3 D Tf 3

Câu 18: Gọi A , B , C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số yx4 2x24 Bán kính đường tròn nội

tiếp tam giác ABC bằng

Câu 19: Cho hàm số yx4 2x21 có đồ thị  C Biết rằng đồ thị  C có ba điểm cực trị tạo thành ba

đỉnh của một tam giác, gọi là ABC Tính diện tích ABC

1 2

S

Câu 20: Cho hàm số yx3 3m1x23 7 m 3x Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của

tham số m để hàm số không có cực trị Số phần tử của S là

Câu 21: Cho hàm số yf x( ) có đúng ba điểm cực trị là 2; 1; 0 và có đạo hàm liên tục trên  Khi

đó hàm số yf x( 2 2 )x có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 22: Cho hàm số f x( )x x2(  1)e3x có một nguyên hàm là hàm số F x( ) Số điểm cực trị của hàm

số F x( ) là

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 136

Trang 3

Câu 23: Số điểm cực trị của hàm số

sin 

4

x

, x   ;  là

Câu 24: Biết phương trình ax3bx2cx d 0 a0 có đúng hai nghiệm thực Hỏi đồ thị hàm số

 3 2 

có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 25: Số điểm cực trị của hàm số   





2

2 2

2 d 1

x

tt

f x

t là

Câu 26: Cho hàm số f x( )ax3bx2cx d có đồ thị như hình vẽ bên Số điểm cực trị của hàm số

 ( 2 24 )

Câu 27: Biết rằng đồ thị hàm số   

2

3 2

x có ba điểm cực trị thuộc một đường tròn  C Bán kính của  C gần đúng với giá trị nào dưới đây?

Câu 28: Cho hàm sốyf x có đạo hàmf x   3 x x  212 ,x  x Hỏi hàm số

 



  2 1

y f x x có bao nhiêu điểm cực tiểu

Câu 29: Cho hàm số







ax b y

cx dcó đồ thị như hình vẽ Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Hàm số yax3bx2cx d có hai điểm cực trị trái dấu

B Đồ thị hàm số yax3bx2cx d cắt trục tung tại điểm có tung độ dương

C Đồ thị hàm số yax3bx2cx d có hai điểm cực trị nằm bên phải trục tung

D Tâm đối xứng của đồ thị hàm số yax3bx2cx d nằm bên trái trục tung

Câu 30: Cho hàm số f x  ax4bx2c với a0, c2018 và a b c  2018 Số điểm cực trị của

hàm số yf x  2018

là

Câu 31: Hàm số    



2

1

x

x có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 32: Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x  x2 1 x 4

với mọi x  Hàm số

  3 

g x f x có bao nhiêu điểm cực đại?

Câu 33: Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm liên tục trên  và bảng xét dấu đạo hàm

Trang 4

Hàm số y3 (f x44x2 6) 2 x6 3x4 12x2 có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu?

BẢNG ĐÁP ÁN

D

14.

D

15.C 16.C 17.C 18.C 19.B 20.B

D

24.

D

25.

D

26.

D

Câu 1: Chọn A

Tập xác định: D

Ta có:

 

 



    

 



2018

2020

x

Bảng xét dấu của f x :

Dựa vào bảng xét dấu của f x  ta thấy f x  đổi dấu qua hai điểm x2018 ;x2019 nên hàm số đã cho có hai điểm cực trị

Câu 2: Chọn B

Ta có hàm số    

1

3 1 3

có tập xác định D

  22  3

 

   





1 0

3

x y

x ; y 2x2; y  3 40; y 1  4 0 Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm x1

Ta có f x'  đổi dấu khi qua các giá trị x3 và



 3 2

x

nên hàm số có 2 cực trị

Trang 5

Xét phương trình f x  0

 



  

 



0 1 2

x x x

Ta có bảng xét dấu sau:

Dễ thấy f x đổi dấu khi qua x2 và f x đổi dấu khi qua x1 nên hàm số có 2 điểm cực trị

Ta có y6x2 2 ,x y12x 2.;

 



  

 



0

3

x y

x

 

 0 2 0  0

y x là điểm cực đại của hàm số y2x3 x25

Chú ý: phân biệt điểm cực đại của hàm số là x cđ, còn điểm cực đại của đồ thị hàm số là

x cđ;y cđ

Ta có

 

 



    

 



0

2

x

Nhận thấy x22 0 x 2  f x  không đổi dấu khi qua nghiệm x2 nên x2 không phải là điểm cực trị hàm số

Ngoài ra f x'  cùng dấu với tam thức bậc hai x x  1 x2 x nên suy ra x0;x1 là hai điểm cực trị của hàm số

Tập xác định D\ 1 Ta có  



 2

3 0 1

y

Do y không đổi dấu nên hàm số không có cực trị

Câu 8: Chọn D

Cách 1: Xét hàm số yf x x3 3x2 9x1, f x  3x2 6x 9

Ta có        

Đồ thị hàm số f x  có hai điểm cực trị A và B nên f x A f x B 0

Suy ra

 







Trang 6

Do đó phương trình đường thẳng AB là y8x 2

Khi đó ta có N1; 10  thuộc đường thẳng AB

Cách 2: Xét hàm số yf x x3 3x2 9x1,

 

 3 2 6  9

f x x x f x   0 3x2  6x 90

 

 





3 1

x

Suy ra tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A3; 26  và B1; 6

Ta có   

4 ; 32

AB cùng phương với u1;8 Phương trình đường thẳng AB đi qua B1;6 và nhận  

 1;8

u làm vecto chỉ phương là

  





 





1

6 8

t

Khi đó ta có N1; 10  thuộc đường thẳng AB

Tập xác định : D

Ta có y 4x3 6x22x;



 









2

0

1 2

x

Bảng biến thiên :

Từ bảng biến thiên ta có điểm cực đại của hàm số đã cho là 

1 2

x

Câu 10: Chọn C

2  2 1 2 2  1 2 2  1 3 22 2  1 2  2 2







  







1

x y

x Nên hàm số có một cực trị



   



3

Bảng xét dấu:

Trang 7

Hàm số có 3 điểm cực trị, đồng biến trên khoảng 1; 0; 1; và nghịch biến trên khoảng

  ; 1; 0;1 Vậy mệnh đề 1, 2, 4 đúng

Ta có: f x  C20190 C20191 x C 20192 x2 C20192019x2019 1x2019

 

 f x' 2019.(1x)2018  f x'   0 x1

Vì x1 là nghiệm bội chẵn nên x1 không phải là điểm cực trị của hàm số

Ta có:

 

      





1

x

x ; y'' 6 x y'' 1  6 0; ''y  1 60 Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là 1;0

Áp dụng khai triển nhị thức Niu tơn, ta có:

  110  102 2  1010 10   10    9

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đã cho có duy nhất một điểm cực trị x1

Ta có: f x  0  2 1   2 3  x 10

 



  

 



0 1 2

x x

Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị

Ta có f x  0 x2 9 x2 3x2 0  x x2  3 3 x3 0

 

 





3 0

x

Bảng biến thiên:

Trang 8

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số là Tf 3

Ta có f x  0 x2 9 x2 3x2 0  x x2  3 3 x3 0

 

 





3 0

x

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số là Tf 3

Cách 1:

Ta có y' 4 x3 4x Khi đó

 

   





0 0

1

x y

Suy ra đồ thị hàm số yx4 2x24 có ba điểm cực trị là A0; 4 , B1; 3 và C1; 3 Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ta có   

BC.IA AC IB AB IC 0

Mà ABAC 2 và BC2 nên suy ra

4 3 2 0;

1 2

I

Phương trình đường thẳng BC là y3

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là rd I BC( , ) 2 1

Cách 2:

Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC ta có:

2 1

ABC

r

trong đó

 

 2;     2 ; 

2

a b c

Trang 9

Cách 3:

Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC ta có:

(  )tan  2 1

2

A

với



 

  

3

0 3

( 2) 8.1

( 2) 8 1

A

Ta có

 

    





1

x

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A0;1, B1;0, C1;0

1; 1 ; 1; 1



 



 

2

AB AC

Suy ra ABC vuông cân tại A do đó  

1 1

2

Xét hàm số yx3 3m1x23 7 m 3x  y3x2 6m1x3 7 m 3

Ta có: y 0  x2 2m1x7m 3 0 Hàm số đã cho không có cực trị

 Phương trình y0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép



 2  0 m12 1 7m 3 0  2  

5 4 0

Do m là số nguyên nên m 1; 2 ; 3 ; 4 Vậy tập S có 4 phần tử

Do hàm số yf x( ) có đúng ba điểm cực trị là 2; 1; 0 và có đạo hàm liên tục trên  nên

( ) 0

f x có ba nghiệm là x2;x 1;x0

Đặt g x  f x( 2 2 )x  g x   2x 2 ( f x 2 2 )x Vì f(x) liên tục trên  nên g x( ) cũng liên tục trên  Do đó những điểm g x( ) có thể đổi dấu thuộc tập các điểm thỏa mãn

  

 



  





2

2 2 0

1

0

2

2 0

x

Ba nghiệm trên đều là nghiệm đơn hoặc bội lẻ nên hàm số g x( ) có ba điểm cực trị

Hàm số f x  có TXĐ là , có một nguyên hàm là hàm số F x   F x'( )f x( ),   x nên

( ) 0  ( ) 0  2(  1) 3x 0

 

 





0 1

x

Trang 10

Ta có bảng xét dấu F x( ) như sau

Dựa vào bảng trên, ta thấy hàm số F x( ) có một điểm cực trị

Xét hàm số    sin 

4

x

với x   ; 

Ta có    1

cos

4

 



  



 

 



1

2

;0 2 1

0 cos

4

0;

2

    1   1    

    2   2    

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có hai điểm cực trị và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại

ba điểm phân biệt khác x x1, 2 Suy ra hàm số

sin 

4

x

, với x   ;  có 5 điểm cực trị

Phương trình ax3bx2cx d 0, a0 là sự tương giao của đồ thị hàm số

0

ax bx cx d , a0 và trục hoành

Do phương trình ax3bx2 cx d 0, a0có đúng hai nghiệm thực nên phương trình

0

ax bx cx d có thể viết dưới dạng a x x  1 2 x x 2 0 với x x1, 2 là hai nghiệm thực của phương trình Khi đó đồ thị hàm số yax3bx2cx d a  0 tiếp xúc trục hoành tại điểm có hoành độ x1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x2

Đồ thị hàm số yax3bx2cx d a  0 ứng với từng trường hợp a0 và a0:

Trang 11

Đồ thị hàm số yax3bx2 cx d a0

tương ứng là

Vậy đồ thị hàm số yax3bx2cx d a0

có tất cả 3 điểm cực trị

Gọi F t  là nguyên hàm của hàm số   2

2 1

t y

t Khi đó:          

2

x x

f x F t F x F x  f x  2 x F x 2  2F 2x

2

x

 

   



f x

 

  0 8 54 3 8 0

f x x x x  4x2x4x2 2 0











 



2

1

2

0 0

0

x x

Trang 12

Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số có 3 điểm cực trị

Quan sát đồ thị f x( ), ta thấy hàm số có hai điểm cực trị x2;x0vì vậy

 2  '( ) 3 2

f x ax bx c có hai nghiệm x2;x0nên f x'( )3 (a x2)x

Ta có:

' ( 2 4 ) ' ( 4 4) '( 2 2 ) ( 4 4)( 2 4 )

3 ( 4 4)( 2 4 )( 2 4 2)

 y'48 (ax x 2)(x 1)(x2 2x 1)

 







   

  



  



0 1

1 2

x x

x

x và dấu của y'đổi khi xqua mỗi nghiệm trên

Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị

TXĐ: D   ;0  0; 

    

 



        

 



1

2

3

2,8794

0,5321

x

 Tọa độ các điểm cực trị: A2,879; 4,84 ,  B0,653; 3,277 ,  C  0,532; 3,617 Gọi  C x: 2y2 2ax 2by c 0 1 là đường tròn đi qua ba điểm cực trị

Thay tọa độ ba điểm A B C, , vào  1 ta được hệ phương trình 3 ẩn sau:







5,758 9,68 31,71

1,306 6,554 11,17

1,064 7,234 13,37

 



  

 



5,374 1,0833 11,25

a b c

 R a2b2 c  41,3 6,4

Ta có f x  x33x23x 3  yf x  2x3x24x3

Trang 13

   2 13

0

3

;

 6 4

  

  

2 13

2 13 0 3

y

;

  

  

2 13

2 13 0 3

y

Suy ra hàm số có 1 điểm cực tiểu

Từ đồ thị ta có:

 

A Hàm số yax3bx2cx d có hai điểm cực trị trái dấu

 y' 3 ax22bx c có hai nghiệm trái dấu 3 a c0 a c 0 Đúng với  1

B Đồ thị hàm số yax3bx2cx d cắt trục tung tại điểm có tung độ dương

Sai Suy ra d0Chưa đủ để kết luận 0

d

c vì ở đây c0 hoặc c0 ví dụ như hàm số

;



 



2 2

0

C Đồ thị hàm số yax3bx2cx d có hai điểm cực trị nằm bên phải trục tung

Sai vì

     

2

3

a a Trái với  1

D Tâm đối xứng của đồ thị hàm số yax3bx2cx d nằm bên trái trục tung

Sai vì

Hoành độ tâm đối xứng là nghiệm của '' 0   3

b

a

Yêu cầu của đề hoành độ tâm đối xứng âm nên 3 0 0

a a Trái với  3

Trang 14

Xét hàm số g x  f x  2018ax4bx2 c 2018.

Ta có

2018 2018

a b c c  a b. 0  hàm số yg x  là hàm trùng phương có 3 điểm cực trị

Mà g 0  c 2018 g 0 0, g 1    a b c 2018 0  g x CTg 1 0 đồ thị hàm số

 



y g x cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

Đồ thị hàm số yg x  có dáng điệu như sau

Từ đồ thị yg x , ta giữ nguyên phần phía trên trục Ox, phần dưới trục Ox ta lấy đối xứng qua trục Ox, ta được đồ thị hàm số yg x 

Từ đó ta nhận thấy đồ thị yg x 

có 7 điểm cực trị

Xét hàm số    



2

1

x

x , TXĐ: 

Ta có

 



 



2

2 2

1 1

x

g x

x

;

   





1 0

1

x

g x

Trang 15

Từ bảng biến thiên ta có hàm số yg x  luôn có hai điểm cực trị.

Xét phương trình g x  0  2   0 2  0

1

x

nhất hai nghiệm

Vậy hàm số f x  có nhiều nhất bốn điểm cực trị

Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên của hàm số f x 

Ta có g x f3 x  g x  f3 x

Từ bảng biến thiên của hàm sốf x  ta có

 

 0

g x  f3 x 0

Như thế ta có bảng biến thiên của hàm số g x 

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số g x  có một điểm cực đại

Có y(12x3 24 ) (x fx44x2 6) 12 x5 12x3 24x



12 (x x2 2) (f x44x2 6) 12 x x4 x2 2

 

12 (x x2 2) f (x44x2 6) x21

Khi đó

 





  



2

0

2 0

x

 



  

      



0 2

x x

Ta có x44x2 6(x2 2)2 22,  x

Tiêu đề	Cực trị của hàm số
Tác giả	Phan Nhật Linh
Trường học	Chưa xác định
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Tài liệu học tập
Năm xuất bản	2022
Thành phố	Chưa xác định

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	4,32 MB