Cau 42 ptdmh 2021 so phuc nguyễn văn ngọc eq

Khi đó theo giả thiết ta có hệ... Biết z1 là số thuần ảo... Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z luôn thuộc một đường tròn cố định.

BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN

CHỦ ĐỀ CÂU 42: SỐ PHỨC

ĐỀ GỐC Câu 1: Có bao nhiêu số phức z thóa mãn ¿z∨¿√2 và (z +2 i)(´z−2) là số thuần ảo?

Lời giải Chọn C

Đặt z=x + yi, ta có |z|=√2⇒ x2

+y2=2 (1)

Mặt khác: w=( z +2 i) ( z−2)=z z−2 z+2 i z−4 i

¿2−2 ( x + yi)+2i ( x− yi)−4 i=(2−2 x +2 y )+(2 x−2 y−4 )i

w là số thuần ảo ⇒{2 x −2 y −4 ≠ 0 2−2 x +2 y=0 ⇒{x− y−1=0 (2) x− y −2≠ 0 (3)

Từ (2) suy ra y=x −1, thế vào (1) có x2

+( x−1)2=2⇔2 x2

−2 x−1=0 Giải hệ (1) và (2) ta được hai nghiệm phân biệt, hai nghiệm này thảo mãn (3)

Vậy có 2 số phức z thỏa mãn.

ĐỀ PHÁT TRIỂN

PT 42.1 Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa đồng thời các điểu kiện |z−i|=5 và z2 là số thuần ảo?

Lời giải Chọn D

Đặt z=x + yi( với x , y ∈¡).

Ta có |z−i|=5⇔ x2

+( y−1)2=25(¿)

z2 là số thuần ảo, suy ra x2−y2=0⇔[x=− y x= y

Với x= y thay vào (¿) ta được x2+( x−1)2=25⇔2 x2

−2 x −24=0⇔[x=−3 x=4 Với x=− y thay vào (¿) ta được x2+( x+1)2=25⇔2 x2+2 x−24=0⇔[x=−4 x=3 .

Vậy có 4 số phức cần tìm là 4 +4 i,−3−3 i ,−4+4 i ,3−3 i.

PT 42.2 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z|2

=2|z +z|+4 và |z−1−i|=|z −3+3 i|?

Lời giải Chọn B

Gọi z=a+bi , ​a , b∈ R Khi đó theo giả thiết ta có hệ.

Trang 1/4 – Bài giảng điện tử-2021

{ a2+b2=2|2 a|+4

√(a−1)2+(b−1)2=√(a−3)2+(b+3 )2⇔{a2+(a−42 )2=4|a|+4

b= a−4

2

⇔{5 a2−8 a=16|a|

b= a−4

2

⇔[ a= a=0, b=−224

5 , b=

2 5

a=−8

5 , b=

−14 5

Vậy có 3 số phức z thỏa mãn.

PT 42.3 Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn |z|−2 z=−7+3 i+z Tính mô đun của

số phức w=1−z+z2 bằng

A |w|=√37 B |w|=√457 C |w|=√425 D |w|=√445

Lời giải

Chọn B

Đặt z=a+bi ,(a ∈ ¢ , b ∈¡).

Ta có:

|z|−2 z=−7+3 i+z⇔√a2

+b2−2 (a−bi)=−7+3 i+a+bi⇔√a2

+b2−3 a+7+(b−3) i=0⇔{ √a2

+b2−3 a+7=0

b−3=0

⇔{ √a2+9=3 a−7

3

a2+9=9 a2−42 a+49

b=3

⇔{ a ≥7

3

[a=4 ( N ) a=5

4(L)

b=3

⇔{b=3 a=4. Vậy z=4+3 i⇒ w=1−z+z2=4 +21 i⇒|w|=√457

PT 42.4 Cho số phức z=(2+6i 3−i )m , m nguyên dương Có bao nhiêu giá trị m∈[1;50] để z là số thuần ảo?

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có: z=(2+6i 3−i )m=¿

z là số thuần ảo khi và chỉ khi m=2 k +1, k ∈¥ (do z≠ 0 ; ∀ m∈ ¥¿)

Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài.

PT 42.5 Gọi z1, z2, z3 là các nghiệm của phương trình i z3

−2 z2+(1−i) z+i=0 Biết z1 là số thuần ảo

Đặt P=|z2−z3|, hãy chọn khẳng định đúng?

A 4 <P<5 B 2<P<3 C 3<P<4 D 1<P<2.

Lời giải Chọn B

Ta có i z3−2 z2+(1−i) z+i=0⇔(z+i)(i z2−z+1)=0⇔[ z1=−i

i z2−z +1=0(1)

Vì z1 là số thuần ảo nên z2, z3 là nghiệm của phương trình (1).

Ta có (z2−z3)2=(z2+z3)2−4 z2z3=−1+4 i.

⇒| (z2−z3)2|=¿−1+4 i∨¿√17⇒ P=|z2−z3|=4√17.

PT 42.6 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z|=√5 và ( z−3 i) (´z +2) là số thực?

Lời giải

Chọn D

Gọi z=a+bi

Ta có ( z−3 i) (´z+2)=(a+bi−3i) (a+2−bi)=(a2+2a+ b2−3 b)+(2 b−3 a−6 )i

Theo đề ta có hệ phương trình

{ a2+b2=5

2b−3 a−6=0 ⇔{a2

+(3 a+62 )2=5

b= 3 a+6

2

⇔{a2

+(3 a+62 )2=5

b= 3 a+6

2

⇔{13 a2+36 a+16=0 (1)

b= 3 a+ 6

2 Phương trình (1) có hai nghiệm, do đó hệ có hai nghiệm, tức là có hai số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán

PT 42.7 Xét các số phức z thỏa mãn z +2

z−2i là số thuần ảo Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z luôn thuộc một đường tròn cố định Bán kính của đường tròn đó bằng

Lời giải Chọn B

Đặt z=a+bi ,a ,b ∈ ¡ Gọi M (a ;b) là điểm biểu diễn cho số phức z.

Có w= z−2 i z+2 = a+2+bi

a+(b−2) i ¿

(a+2+bi )[a−(b−2 )i]

a2+(b−2)2

¿a (a+2)+b (b−2)+[−( a+2) (b−2)+ ab]i

a2+(b−2)2

w là số thuần ảo ⇔{a ( a+2)+b (b−2)=0 (1) a2

+(b−2 )2≠ 0

Có (1) ⇔a2

+b2 +2 a−2 b=0.

Suy ra M thuộc đường tròn tâm I (−1 ;1), bán kính R=√2

PT 42.8 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z +i|+|z−i|=4 và ( z+i) z là số thực?

Lời giải Chọn B

Gọi z=x + yi với x , y ∈¡

Ta có ( z+i) z=z z+i z=x2

+y2+y +xi ∈¡⇒ x=0.

Mà |z +i|+|z−i|=4⇔√x2+( y +1)2+√x2+( y −1)2=4⇔|y +1|+|y−1|=4 (2)(do x=0).

TH 1: Nếu y ≥1 thì (2) ⇔2 y=4 ⇔ y =2⇒ z=2i

TH 2: Nếu −1< y <1 thì (2) ⇔ y +1+1− y =4 vô nghiệm.

TH 3: Nếu y ≤−1 thì (2) ⇔− y−1+1− y=4 ⇔ y=−2⇒ z =−2i

Vậy có 2 số phức thoả yêu cầu bài toán

PT 42.9 Có tất cả bao nhiêu số phứczmà phần thực và phần ảo của nó trái dấu đồng thời thỏa mãn

|z + z|+|z−z|=4 và |z−2−2i|=3√2

Trang 3/4 – Bài giảng điện tử-2021

Lời giải

Chọn C

Gọi điểm M (x ; y ) là điểm trên mp tọa độ Oxybiểu diễn số phức z=x + yi(x , y ∈¡)⇒ z=x− yi

|z +z|+|z−z|=4⇔|2 x|+|2 yi|=2 ⇔|x|+|y|=2 Khi đó tập hợp điểm M (x ; y )biểu diễn số phức z

là hai cạnh đối AD , BCcủa hình vuông ABCD độ dài cạnh bằng 2√2 và tâm là gốc tọa độ O

|z−2−2i|=3√2⇔ (x −2)2

+( y−2)2=18 Tập hợp điểm M (x ; y )biểu diễn số phức z là đường

tròn tâm I (2 ;2) , R=3√2

6

4

2

2

4

P M

I B

A D

C N

Vậy có 2 điểm biểu diễn M , P thỏa yêu cầu bài toán.

PT 42.10 Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m sao cho tồn tại hai số phức phân biệt z1, z2 thỏa

|z−1|=|z−i| và |z +2 m|=m+1 Tổng các phần tử của S bằng

Lời giải Chọn C

Gọi z=x + yi với x , y ∈¡.

Theo giả thiết ta có hệ phương trình

{ |x+2m+ yi|=m+1

|x−1+ yi|=|x+( y−1)i|⇔{ √( x +2 m)2+y2=m+1

( x−1)2+y2=( y −1)2+x2⇔{2 x2+4 mx+3 m2−2 m−1=0 (m ≥−1)

tồn tại hai số phức thỏa mãn hệ nên phương trình

2 x2

+4 mx+3 m2−2 m−1=0 phải có hai nghiệm phân biệt, hay

Δ'=−2 m2+4 m+2>0⇔ 1−√2<m<1+ √2.

Mặt khác m∈ ¢ ⇒m={0;1 ;2}

Vậy tổng giá trị các phần tử của S bằng 3.