001 02 01 gt12 cii mu logarit bai 1,2,3,4 tu luan đề

DẠNG 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA... DẠNG 3: KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA y xKhảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể ta phải xét hàm số trên toàn tập xác định.. Hàm số không

BÀI 1 LŨY THỪA

1 Lũy thừa với số mũ nguyên

 Lũy thừa với số mũ nguyên dương: Cho a, n* Khi đó

; 1

n n

- Cho số thực b và số nguyên dương n  2

- Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu a n  b

- Khi n lẻ, b   : Có duy nhất một căn bậc n của b , ký hiệu là n b

- Khi n chẵn và:

+ b  : Không tồn tại căn bậc n của b 0

+ b  : Có một căn bậc n của b là 0 n 0 0

+ b  : Có hai căn bậc n của b kí hiệu là 0 n b và  n b

3 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực a  và số hữu tỉ 0

m r n

, trong đó m,n,n2 Khi đó

m n

2 2

4 Lũy thừa với số mũ vô tỉ: Cho số thực a  , 0  là một số vô tỉ và  r n là một

dãy số hữu tỉ sao cho nlim r n 

  

Khi đó lim

n

r n

625125

DẠNG 4: ĐIỀU KIỆN CHO CÁC BIỂU THỨC CHỨA LŨY THỪA

Câu 1

[Mức độ 1] Tìm x để biểu thức    

5 3

DẠNG 5: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC

Câu 1

[Mức độ 1] Chứng minh rằng

1 6

[Mức độ 2] Cho biểu thức P x x3 2k x3 x 0 Chứng minh luôn tồn tại số tự

nhiên k sao cho biểu thức

23 24

8 3 8 1 8

f x   

 , (với x 0) Biết rằng:

(1) (2) (2020) 5

m n

f f f  với ,m n là các số nguyên dương và phân số

a) a m b mc m nếu m  b) 2 a m b mc m nếu m  2

BÀI 2 HÀM SỐ LŨY THỪA

3 Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lũy thừa:

Tập xác định của hàm số lũy thừa y x  luôn chứa khoảng 0;  với mọi   .Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số y x  trên khoảng này

Đồ thị của hàm số lũy thừa yx luôn đi qua điểm I 1;1  

DẠNG 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA

[Mức độ 2] Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số

xácđịnh với mọi  x ?

DẠNG 2: ĐẠO HÀM HÀM LŨY THỪA y  x.

DẠNG 3: KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA y x

Khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể ta phải xét hàm số trên toàn tập xác định

Hàm số đồng biến khoảng   ; 

Hàm số không có cực trị

Đồ thị hàm số không có tiệm cận

Đồ thị hàm số đi qua các điểm 1; 1 ,  1;1 .

Hàm số y x 5 là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

+ Đồ thị:

+ Bảng biến thiên:

' 2 0,

Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;0 và 0; Hàm số không có cực trị.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm 2; 1 ,  1;1 ,  1;1 , 2;1

 là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng + Đồ thị:

 là hàm số chẵn nên đồ thị nhận nhận trục Oylàm trục đối xứng.

+ Đồ thị:

x làm trục đối xứng

+ Đồ thị:

+ Đồ thị hàm số đi qua điểm ( )1;1.

Câu 3

[Mức độ 2] Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số

Câu 5

[Mức độ 2] Tìm m nguyên dương nhỏ nhất để hàm số y2x 3m e9 nghịch biến trên khoảng

3

;2

Câu 9

[Mức độ 4] Xác định giá trị của tham số m để hàm số yx2 2mx m 21m2

nghịch biến trên khoảng 1;0

BÀI 3: LÔGARIT

I ĐỊNH NGHĨA

Cho hai số dương a b, với a  Số 1  thỏa mãn đẳng thức a b được gọi là

logarit cơ số a của b và kí hiệu là logab

Như vậy  loga b a b.

Chú ý:

 Không có logarit của số 0 và số âm vì a 0,



 Cơ số của logarit phải dương và khác 1 a 1

 Theo định nghĩa của logarit, ta có: log 1 0; loga  aa  1; log b ,   

1.1 So sánh hai logarit cũng cơ số

Cho số dương a  và các số dương1

,

b c

 Khi a  thì 1 logab  logac  b c 

 Khi 0  thì a 1 logab  logac  b c 

3 Logarit của một thương:

Cho 3 số dương a b b , 1, 2 với a  , ta có1

b 

4 Logarit của lũy thừa:

Cho a b,  0,a 1, với mọi  , ta có

loga b loga b



 Đặc biệt:

1 log n log

a b a b

n



5 Công thức đổi cơ số:

Cho 3 số dương a b c, , với a 1,c 1, ta có

loglog

log

c a

c

b b

 Đặc biệt:

1log

với  0

Chú ý:

Logarit thập phân và logarit tự nhiên

 Logarit thập phân là logarit cơ số 10 Viết : log10b  log b  lg b

 Logarit tự nhiên là logarit cơ số e Viết : logeb  ln b

BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC MŨ-LOARRIT THƯỜNG GẶP

log

DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

điều kiện loga( )ac2 = logc( )b c3 và 2loga c+logc b= Tính giá trị của biểu8

loga b+2logb c+5logc a=12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

[Mức độ 1] Cho a b c d, , , là các số thực dương tùy ý Rút gọn biểu thức:

[Mức độ 3] Cho a , b là các số thực dương khác 1 và thỏa mãn ab  Rút gọn1

biểu thức Ploga blogb a2 log  a b logab blogb a1

[Mức độ 2] Không sử dụng máy tính, hãy so sánh:

[Mức độ 2] Không sử dụng máy tính, hãy so sánh:

[Mức độ 3] Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 1a b 2 Hãy so sánh các c

số Alogcb a  và Blog loga a blog logb b c log logc c a

Câu 10

[Mức độ 3] Với n là số nguyên lớn hơn 1 Hãy so sánh các số A  logn n  1 và

 

1

DẠNG 4: MAX – MIN CỦA BIỂU THỨC LÔGARIT

Câu 1

[Mức độ 2] Cho số thực

1

;327

log a t

, vì

1

;3 27

a      t  1;3 Khi đó

3 2 1

3 1 3

P t t  t

Xét  

3 2 1

3 1 3

a 

,  

 

1;3 1;3 27

giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 10

[Mức độ 4] Cho x y , 0;2 thỏa mãn x 3 x8 ey ey 11 Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức P lnx 1 ln y

DẠNG 5: TÍNH LOGARIT THEO LOGARIT KHÁC DẠNG 5.1: TÍNH LOGARIT THEO 1 LOGARIT KHÁC

[Mức độ 2] Cho log 15 a3  Tính A log 1525 theo a

DẠNG 5.2: TÍNH LOGARIT THEO 2 LOGARIT KHÁC

16 theo a và b.

Câu 5

[Mức độ 2] Cho alog 4, 3 blog 4.5 Hãy biểu diễn log 8012 theo a và b

DẠNG 5.3: TÍNH LOGARIT THEO 3 LOGARIT KHÁC

Phương pháp: Chọn một cơ số chính, sử dụng công thức đổi cơ số để đưa tất cả

log 352

log 6

2

log 5 log 72

2

a b 

,

5log

4

c d 

, log3a c   Tính 2 log b d3  

  của một chất biết rằng độ pH của nó là 2, 44.

A 1,1.10 mol/L.8 B 3, 2.104 mol/L C 3, 6.103 mol/L D 3, 7.103 mol/L

Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức P loga logb log c logay

b

 

 C

21

b ab P

a ab P

S P k

- Đi qua điểm 0;1.

- Nằm ở phía trên trục hoành

- Nhận trục hoành làm tiệm cận

Đồ thị:

- Đi qua điểm 1;0

- Nằm ở bên phải trục tung

ngang đứng.

CÁC GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT CỦA MŨ VÀ LOGARIT.

f x a a

1 1

x

x

e A

sin 2

x

x

e A

1

x

x

x A

Câu 8 Tìm giới hạn  

2 0

3 1lim

1 cos 2

x

x L

1lim

ln log 1

y  x 

Câu 8 Tìm tập xác định của hàm số ylog sin 2 x1.

Câu 9 Tìm tập xác định của hàm số y log2x1 2





    .

Câu 12 Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm sốylogx2 2x m 1

có tập xác định là .

Câu 13 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ylog 23 x m  xác định với

mọi x thuộc khoảng 2;  .

Câu 14 Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

3

1log 2 3

Câu 16 Ta có bao nhiêu số tự nhiên m để hàm số 3

Câu 17 Ta có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng 2019; 2019 để hàm số

DẠNG 3: ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ – LOGARIT

Câu 1 Tính đạo hàm của hàm số

Câu 3 Tính đạo hàm của hàm số y xe x.

Câu 4 Tính đạo hàm của hàm số

Câu 8 Chứng minh rằng, nếu y e 2x2ex thì y y 2y0.

Câu 9 Cho hàm số yln cos x Với điều kiện hàm số đã cho, tìm đạo hàm của hàm số

đó.

Câu 10 Cho hàm số ylnx2 x21

Với điều kiện hàm số đã cho, tìm đạo hàm của hàm số đó.

DẠNG 4: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA

HÀM MŨ, HÀM LÔGARÍT

Câu 1 Cho hàm số

21

Câu 2 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số yx2 ln x trên đoạn 2;3.

Câu 3 Tính hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x  2x2 lnx

Câu 7 Cho a, b, c 1 Biết rằng biểu thức P log bc a log ac b 4log ab c  đạt giá trị nhỏ

nhất m khi log c n b  Tính giá trị m n .

Câu 8 Xét các số thực dương x y, thỏa mãn