Dạng toán 39 tìm tham số để hàm số bậc 1 trên bậc 1 đơn điệu

KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Định lý về điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K.. TÌM M ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN KHOẢNG CHO TRƯỚC PHƯƠNG PHÁP Bài toán 1.. DẠNG T

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

Định lý về điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K Khi đó:

a) Nếu f x  , x K0   và f x   chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số 0 f đồng biến trên K

b) Nếu f x  , x K0   và f x  chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số 0 f nghịch biến trên

K

TÌM M ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN KHOẢNG CHO TRƯỚC

PHƯƠNG PHÁP

Bài toán 1 Tìm tham số m để hàm số yf x m ; 

đơn điệu trên khoảng   ; 

Bước 1:Ghi điều kiện để yf x m ;  đơn điệu trên  ;  Chẳng hạn:

 Đề yêu cầu yf x m ;  đồng biến trên  ;   yf x m ;  0

 Đề yêu cầu yf x m ; 

nghịch biến trên  ;   yf x m ;   0

Bước 2:Độc lập m ra khỏi biến số và đặt vế còn lại là g x 

, có hai trường hợp thường gặp :

Bước 3:Khảo sát tính đơn điệu của hàm số g x 

trên D (hoặc sử dụng Cauchy) để tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất Từ đó suy ra m

Bài toán 2. Tìm Tìm tham số m để hàm số

ax b y

có tối đa một nghiệm và u  , v D thì f u  f v  u v

DẠNG TOÁN 39: TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ BẬC 1 TRÊN BẬC 1 ĐƠN ĐIỆU

Bài toán 3 Để hàm số y ax 3bx2cx d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) x x1; 2

Kiến thức liên quan:

Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x ax2bx c



.+ Nếu   thì 0 g x 

có hai nghiệm x , 1 x và trong khoảng hai nghiệm thì 2 g x 

khác dấu với a , ngoài

khoảng hai nghiệm thì g x 

n n

 ( m là tham số thực) Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số đã cho đồng

biến trên khoảng 0; 

?

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm giá trị tham số m để hàm số đồng biến trên một khoảng cho

trước

2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Tìm điều kiện xác định; tính đạo hàm  

2 2

4

m y

x m

 

 

, x m 

B2:Tìm điều kiện để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; :

B3: Tìm m thỏa mãn điều kiện ở bước 2, rồi chọn giá trị nguyên m thỏa mãn.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn D

Điều kiện xác định: x m .

Ta có:  

2 2

4

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; 

m m

m m

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng cho trước

ĐKXĐ : x4m ;  

2

2

44

Bài tập tương tự và phát triển:

Câu 39.1:Kết quả của m để hàm số sau 2

x m y

A m 2. B m 2. C m 2. D m 2.

Lời giải Chọn C

Tập xác định: D \ 2 

Ta có  2

22

m y

x



 



m x

2 4 01

m m

mx y

m y

m m

4

m m

x m

 



 với m là tham số Gọi S là tập hợp tất cả các giá

trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên khoảng 2;  Tìm tổng cácphần tử của S

Lời giải Chọn A

ĐKXĐ: x m

Ta có  

2 2

Hàm số đồng biến trên khoảng 2; 

ĐKXĐ: xm

 2

2m y

Câu 39.8:Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

Lời giải Chọn D

m m

Suy ra có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.

Câu 39.9: Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

mx m y

Tập xác định D\ m

2 2

y m

Câu 39.10: Cho hàm số

22

mx y

x m





 , m là tham số thực Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên

của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng 0;1

Tính tổng các phần tử của S.

A 1. B 5. C 2. D 3.

Lời giải Chọn A

Tập xác định

\2

42

m y

m m

m m m

m m m

Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn đề bài là 1.

Câu 39.11: Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m  10;10

sao cho hàm số

tan 2tan

x y

Điều kiện: tan x m

m m m

Ta có  10;10  10; 9; ; 1;0;1

m

m m

S      

Câu 39.12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

cot 2cot 2

x y

Điều kiện: cotx2m

sin x

với

04

m

m m

x x

e y

Điều kiện: e x m

Ta có  2

3' x

Ta có  

01;

x x

e e

m

m m

Suy ra có 102 giá trị của m thỏa mãn.

Câu 39.14: Tính tổng các giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số

9

x x

me y

Điều kiện: ex m

2 2

9' x

Và

102

m m

Câu 39.15: Tính tổng các giá trị nguyên của tham số m trên khoảng 10 10; 

sao cho hàm số

2 5

2 3

x x

Điều kiện: 2x 3m

3 5' 2 ln 2

2 3

x

x

m y

m

m m

m m

Lời giải Chọn A

Đk: x m

2 2

Và x2; với   x 4;

Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên 2;   

02;

y m

log 3 5log 3

x y





 nghịch biến trên khoảng

Chọn C

Điều kiện:

1 2

ln 2log 3

m y

m

m m

m m

Vậy có 2023 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán.

Câu 39.19: Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m trên khoảng 2020;2020

để hàm số

cos 2cos

x y

ĐK: cos x m ;  2

2sin

m m m

 



  

Do m nguyên nên m  2019 2018 0 1; ; ; 

Vậy có 2021 giá trị của m

Câu 39.20: Tính tổng các giá trị nguyên của tham số m trên khoảng 2020 2020; 

để hàm số

sin 3sin

x y

ĐK: sin x m

Ta có

sin 3sin

x y

2

32

22

m

m m

m m

S   .   

Câu 39.21: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

13

x y

x m





 nghịch biến trênkhoảng 6; 

?

Lời giải Chọn C

Tập xác định D\3m ;  2

3 13

m y



 

Hàm số

13

x y

m m

Nếu    0 m thì 3 y0, x   y0,   x 0

Nếu   thì  0 y có hai nghiệm phân biệt x , 1 x Khi đó để 2 y0,   thì ta phải cóx 0

0 x x Điều này không thể xảy ra vì S x1x2 2 0

Câu 39.23: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3   2

3

y x  m x  mx

đồng biếntrên đoạn 1; 4

A

12

,  x 1; 4

12

Tập xác định D  , yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình

mx  mx  ,   tương đương với x 1   2

1414

Tập xác định: D 

Ta có: y x2 mx2m, y  0 x2 mx2m 0  1

Để hàm số đã cho nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3 thì  1

phải có hai nghiệm x ,1

2

x thỏa mãn x1 x2  Điều này tương đương với 3 1 2

03

9

m m

Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: min   5

2

m g x  m

Vậy p q   5 2 7

Câu 39.27: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

x x m





  nghịch biếntrên khoảng 1;1

A   ; 2 B 3; 2  C  ;0 D   ; 2

Lời giải Chọn A

2

100

2

1

, x   1;1

 f x  2x  1 f x    0

12

x 

.Bảng biến thiên:

.Vậy  ; 2 1;

Lời giải Chọn C

Lời giải Chọn A

Tập xác định: D  .

3

2

32

32

Do m nguyên âm nên m  hoặc 1 m  2

Vậy có hai giá trị nguyên âm của tham số m thỏa mãn điều kiện bài ra.

Cách 2:

Xét hàm số   3  

2

3, 0;

Do m nguyên âm nên m  hoặc 1 m  2

Vậy có hai giá trị nguyên âm của tham số m thỏa mãn điều kiện bài ra.

Câu 39.31: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số

3

5

15

y x mx

x

đồng biếntrên khoảng 0;

?

Lời giải Chọn C

1( ) 3

Vậy có 4 giá trị nguyên âm của m là 1;2;3; 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 39.32: Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số 1 3  

cos 4cot 1 cos3

y x x m x

đồng biếntrên khoảng 0;

?

Lời giải Chọn A

khi và chỉ khi y0,  x 0;

sin 62cos

sin

x x

+ Lại do m nguyên âm nên m       5; 4; 3; 2; 1 Vậy có 5 số nguyên âm.

Câu 39.33: Tìm m để hàm số ysin3x3sin2 x m sinx 4 đồng biến trên khoảng

Câu 39.34: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

2sin 1sin

x y

m  

Lời giải Chọn C

Đặt tsinx

Hàm số

2sin 1sin

x y

x y

x y

x y

0;1

1

m m

m m

Vậy đáp án B và C đều đúng nên chọn đáp án A.

Câu 39.37: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y8cotxm 3 2 cotx3m 2

(1) đồng biến trên

;4

Đặt 2cotx t vì

;4

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 9f t   , 3  t 0;2.

Vậy hàm số  1 đồng biến trên 4;

Hàm số ylnx là hàm số đồng biến trên khoảng 0;  

Từ đó suy ra khi biến x tăng trên

 

2 2

a a a a

1

a a

Câu 39.39: Cho hàm số

4  6 36

m m

Câu 39.41: Số các giá trị nguyên không dương của tham số m để hàm số

ln 2

m x y

x m





  đồng biếntrên e ;  2 

là

A. 2 B. vô số C. 0 D. 1

Lời giải Chọn C

Đặt tlnx Hàm số trở thành

23

mt y

ln 2

m x y

mt y