Dạng toán 11 tính nguyên hàm bằng cách sử dụng tính chất nguyên hàm

KIẾN THỨC CẦN NHỚ: phần này là kiến thức của cả BÀI TẬP MẪU và BÀI TẬP PHÁT TRIỂN 1... Phân tích hướng dẫn giải 1.. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán sử dụng tính chất để tính nguyên hàm của h

KIẾN THỨC CẦN NHỚ: (phần này là kiến thức của cả BÀI TẬP MẪU và BÀI TẬP PHÁT

TRIỂN)

1 Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số f x 

xác định trên k Hàm số F x 

được gọi là nguyên hàm của hàm số f x 

trên knếu

   

'

F x f x  x k

2 Tính chất của nguyên hàm

 f x' dxf x C

 kf x dxk f x  dxvới k  0

 [f x g x( )]dxf x dxg x( )dx

3 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

 0dx C

 1.dx x C 



1

, ( 1) 1

x

x dx  C 











1dx ln x C



; 

e dx e C



ln

x

a



 cosxdxsinx C

 sinxdx cosx C

 2

cos x dx x C



 2

sin x dx x C



1

1

1

ax b

a

















1 dx 1 ln ax b C

ax b a  



  





1 dx 1. 1 C

a ax b

ax b



ax b ax b

a





1 cos(ax b dx) sin(ax b C a) ( 0)

a





sin(ax b dx) 1cos(ax b C)

a

 21   1 tan  

 21    1 cot  

DẠNG TOÁN 11: TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020)Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x cosx6x là:

A sinx3x2C B  sinx3x2C C sinx6x2C D  sin x C

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán sử dụng tính chất để tính nguyên hàm của hàm số

2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x cosx6x là:  cosx6 dxx

B2:Tính:  cosx6 dxx

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn A

Ta có :  cosx6 dx= cos dxx  x 6 dxx cos dx 6 dx sinx  x  x3x2C.

Bài tập tương tự và phát triển:

Câu 11.1: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x  sinx 2x là:1

A  cos x x 2 x B  cos x x 2 x C.C cos x x 2  x C D

2

cos

2

x

Lời giải Chọn B

Ta có  sinx 2x1 dx= sin dx- 2 dx  x x dxsin dx-2 dxx x dx cosx x 2 x C.

Câu 11.2:Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x  e x là:1

A e xC B e x x C e x x C D e x x C

Lời giải Chọn C

Ta có  x 1 dx= e dx+ dx x x

Câu 11.3:Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  

3x 2x 5

f x

x

 



là:

A x3 x25lnx C B x3 x25lnx C

C x3 x25ln x D x3 x25ln x C

Lời giải Chọn D

Ta có

Câu 11.4: Họ nguyên hàm của hàm số   2

1

2x

f x

x

là:

A lnx2 2 ln 2x C B

ln

ln 2

x

x  C

C

1 2

ln 2

x

C x

  

1

2 ln 2x C

Lời giải Chọn C

2

1

2 dxx

x

x

C x

  

Câu 11.5:Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( )f x  x sin 6x

A

2 cos 6 ( )dx

2 sin 6 ( )dx

C

2 cos 6 ( )dx

2 sin 6 ( )dx

Lời giải Chọn C

 dx

f x

1 sin 6 dx dx sin 6 dx

6

2 cos 6

C

.

Câu 11.6: Tìm nguyên hàm của hàm số

2

a (

2 ) 1 t n 

A ( )dx 2 tan2

x

C

1 ( )dx tan

x

Lời giải Chọn A

2

1 ( ) 1 t

s

an

o

2

2 c

x

f x

x

nên

x d

2

x

 

 

 

Câu 11.7: Tính 3cosx  3 dxx

A

3 3sin

ln 3

x

B

3 3sin

ln 3

x

3 3sin

ln 3

x

x C

D

3 3sin

ln 3

x

x C

Lời giải Chọn D

Ta có: 3cosx 3 dx x 3cos d 3 d 3sin ln 33

x x

x x x x C

Câu 11.8: Nếuf x dxe xsin 2x C thì f x 

bằng:

A e xcos 2x B e x cos 2x C e x2cos 2x D

1 cos 2 2

x

Lời giải Chọn C

Ta có f x   f x x d e xsin 2x C 

  e x2cos 2x

Câu 11.9:Tìm nguyên hàm F x   xsinxdx biết F 0 19

A F x  x2cosx20 B F x  x2  cosx20

C   1 2 cos 20

2

F x  x  x

2

F x  x  x

Lời giải Chọn C

Ta có: F x   xsinxdx

2

cos 2

x

x C

Mà F 0 19  1 C19  C20

2

( ) cos 20 2

x

Câu 11.10: Cho hàm số f x 

thỏa mãn f x   3 5cosx

và f  0  Mệnh đề nào dưới đây5 đúng?

A f x  3x5sinx 2 B f x  3x 5sinx 5.

C f x  3x 5sinx 5 D f x  3x5sinx 5

Lời giải Chọn C

Ta có f x  f x'( )dx 3 5cos xdx 3 x 5sinx C .

Lại có: f  0  5 3.0 5sin 0 C 5 C Vậy 5 f x  3x 5sinx 5

Câu 11.11: Tìm nguyên hàm F x 

của hàm số f x  sin 3 cosx x, biết  0 5

8

A

( ) cos 4 cos 2 1

( ) cos 4 cos 2

C

( ) cos 4 cos 2

( ) cos 4 cos 2 1

Lời giải Chọn D

Ta có

  ( )dx sin 3 cos dx 1 sin 4 sin 2 dx 1 sin 4 d4x 1 sin 2 d2x

cos 4 cos 2

 0 5

8

1

1

C

 

Vậy

( ) cos 4 cos 2 1

Câu 11.12: Tìm nguyên hàm của hàm số f x  e3x1 3e 5x

A 3  5  1 3 3 2

B 3  5  1 3 3 2

D e3x1 3e 5xdx 3e3x 6e 2x C

Lời giải Chọn A

Ta có:

Câu 11.13: Cho F x 

là một nguyên hàm của hàm số f x  ex2x3 4x

Hàm số F x 

có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn C

Ta có: F x( )f x( )dx F' x f x   F x' ex2x3 4x

1

x







Ta thấy phương trìnhF x '  0

có 3 nghiệm phân biệt nên F x' 

đổi dấu qua cả 3 nghiệm đó Vậy hàm số F x  có 3 điểm cực trị.

Câu 11.14: Cho hàm số   2 1

x

f x

x





 xác định trên

3

; 2



  ;F x  là một nguyên hàm của hàm số

x

f x

x





 thỏa mãn F(2) 3 Tìm F x ?

A F x( ) x 4 ln 2 x 31 B F x( ) x ln 2 x 31

C F x( ) x 2ln 2 x 31 D F x( ) x 2ln 2 x 3C

Lời giải Chọn C

Ta có

d 2x-3

x

 2 3 1

F   C

( ) 2ln 2 3 1

Câu 11.15: Cho hàm số f x( )xác định trên \ 1 thỏa mãn   f x x11và f  0 2019;

 2 2020

Tính Sf  3  f 1

Lời giải Chọn C

2

d x-1





 0 2019 2 2019

 2 2020 1 2020

Khi đó: S f 3  f 1 ln 2C1 ln 2 C2C1 C2 2019 2020  1

Câu 11.16: Tính nguyên hàm

2

dx 3

I

x

 





A

I x  x x C

B I x2 x 2ln x 3C

C I x2 x2ln x 3 D I x2 x2lnx 3C

Lời giải Chọn A

Ta có:

2

2

3

d x



Câu 11.17: Tính nguyên hàm 2

d

x





A ln x1 ln x 2 C. B ln x1 ln x 2 .

C lnx1lnx 2C D ln x1 ln x 2 C

Lời giải Chọn A

Ta có:

   

2

d

ln 1 ln 2

Câu 11.18: Cho biết   1 3 1

2 3

x

là một nguyên hàm của    2 2

2

f x

x





Tính

2

sin dx

I  ax ?

A

1 sin 2

2 4

x

I   x C

1 sin 2

2 2

x

I   x C

C

1 sin 2

2 4

x

I   x C

1 sin 2

2 4

x

Lời giải.

Chọn A

Ta có:

3 2

2

1

3

x

x



Do   1 3 2 1

3

x

là một nguyên hàm của    2 2

2

f x

x





nên a  1

Chú ý: Với bài này ta có thể làm theo cách khác sau đây:

Do   1 3 1

2 3

x

là một nguyên hàm của    2 2

2

f x

x





nên

3



Khi đó:

sin dx sin dx dx dx cos 2 d2x sin 2

Câu 11.19: Cho hàm số yf x  ax3bx2cx d a b c , , , ,a0

có đồ thị  C

Biết đồ thị

 C

tiếp xúc với đường thẳng y 4tại điểm có hoành độ âm, đồ thị hàm số f x' 

cho bởi hình

vẽ sau:

Tính I xf x dx

A

5

5

x

I  x x C

I    x C

.

C

5

5

x

I   x x

5

3 5

x

I   x x C

Lời giải Chọn A

Giả sử   2

'

f x a x b x c

Từ đồ thị hàm số f x' 

ta thấy f x' 

đi qua các điểm A1;0 , B1;0 , C0; 3  nên:

   f x'  3x2 3

  ' dx 3 2 3 dx 3 3

Giả sử C

tiếp xúc với đường thẳng y 4tại điểm có hoành độx âm nên 0 x là nghiệm của hệ0

phương trình  

3 2

'( ) 4 ' 3 3 0



Phương trình 3x2 3 0  x1

Do x âm nên 0 x0  1 C 2  f x  x3 3x 2

Vậy:  dx  3 3 2  4 3 2 2  5 3 2

5

x

I xf x x x  x dxx  x  x dx  x x C.

Câu 11.20: Cho hàm số yf x  thỏa mãn f x f x( )  x4x2 biết f  0  Tính 2 f2 2 ?.

A 2  315

2 15

B 2  332

2 15

. C 2  324

2 15

D 2  323

2 15

Lời giải Chọn B

Ta có

     

C

Mà f  0 2  C 2

f

Câu 11.21: Cho hàm số yf x  thỏa mãn f x( ) 2 x f x  2

 biết    

2

9

Tính f  1 ?

A  1 3

2

B  1 2

3

f 

. C  1 2

3

D  1 3

2

Lời giải Chọn B

Ta có

 

' 2 2

f x

     

 

'

2

1

f x



Thay x  vào2  * ta được:  

4

f

1

x

