Cd3.5 Khoi Cau Noi-Ngoai Tiep Khoi Da Dien-Md4.Doc

HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG II TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG II CHỦ ĐỀ 3 5 Khối cầu Một số bài toán liên quan mặt cầu nội, ngoại tiếp các khối đa diện MỨC ĐỘ 4 Câu 1 [2H[.]

HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG II CHỦ ĐỀ 3.5 Khối cầu: Một số bài toán liên quan mặt cầu nội, ngoại tiếp các khối đa

diện.

MỨC ĐỘ 4

Câu 1 [2H2-3.5-4] [BTN 173] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam

giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho

27

a

18

a

81

a

54

a

Hướng dẫn giải

Chọn D.

a a

a

a

q p

O B

A

D S

C

I

H G

Gọi OACBD

Dựng đường thẳng p đi qua điểm O và vuông góc với mặt phẳngABCD 

=> p là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuôngABCD

Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đềuSAB

Dựng đường thẳng q đi qua G và vuông góc với mặt phẳng SAB cắt  p tạiI .

=> q là trục đường tròn ngoại tiếp tam giácSAB

Khi đó, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chópS ABCD

Thật vậy, Ip IA IB IC I   D 1 

 2

I q  IA IB IS 

Từ (1) và (2) suy ra IA IB IC I   D nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chópS ABCD

OH là đường trung bình của tam giác ABC nên

BC a

OH   GI

Vì G là trọng tâm của tam giác SAC nên 2 2 3 3

Tam giác SGI vuông tại G nên

2

SI SG IG  R       R

Vậy thể tích khối cầu là

3

R

V       

Câu 2 [2H2-3.5-4] [BTN 169] Cho hình chóp S ABC có SA SB SC  4, đường cao SH 3 Tính

bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chópS ABC

A r 3 B r 2 C 7

3

3

r 

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi các điểm như hình vẽ bên Trong đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều suy ra

SH  ABC , và HA HB HC   7 Điểm I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Trong tam giác vuông IHB ta có IH  r2 7

Khi đó

2

7 3

r

SH SI IH r r

 





3

8 8

3 3

r

r r











Câu 3 [2H2-3.5-4] [THPT Chuyên Hà Tĩnh] Cho hình hộp ABCD A B C D     nội tiếp hình trụ cho

trước, khoảng cách từ tâm hình trụ đến ABB A  là 3, góc giữa DB và ABB A  bằng 30 o

Biết bán kính hình trụ bằng 5, tỉ số thể tích khối hộp và khối cầu ngoại tiếp hình hộp là?

10

11

13 3 .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

.

Hình hộp ABCD A B C D     nội tiếp trong hình trụ nên là hình hộp chữ nhật Gọi O là tâm

ABCD , E là trung điểm AB

Ta có: OE  , 3 OA 5 AD6

Xét AEO vuông tạo E, có: AE  OA2 OE2  4 AB 8

Vì ADABB A  nên AB là hình chiếu vuông góc của DB lên ABB A  DB A  60o

Xét tam giác AB D vuông tại Acó: o

tan 60 6 3

AB AD  , B D  AD2AB2 12 Xét tam giác ABB vuông tại Bcó: BB AB2 AB2 2 11

Thể tích khối hộp là V ABCD A B C D.    BB S ABCD 2 11.8.6 96 11

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp là 6

2

B D

R   Thể tích khối cầu là 4 3

288 3

V  R  

Vậy tỉ số thể tích khối hộp và khối cầu ngoại tiếp hình hộp là 11

3 .

Câu 4 [2H2-3.5-4] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a AD , 2a, tam

giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M N, lần lượt là trung điểm các cạnh AD DC, Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S DMN

a

R  31

a

R  39

a

R  39

13 .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

d

x

K

M

B

C

S

O

Gọi I là trung điểm của MN Suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN

d là đường thẳng qua I và vuông góc với mặt đáy

E là hình chiếu của I lên AB

O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S DMN K là hình chiếu của O lên SH

Đặt OI x

Ta có DI 1MN a 5

a

OD ID OI  x

2

;

a

EI



3 2 3

Suy ra SO SK KO  a  a x x

2

Vì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp nên:

a

R OD

2

102 6

Câu 5 [2H2-3.5-4] [TT Tân Hồng Phong] Cho hình chóp S ABCD nội tiếp mặt cầu bán kính R

Tìm giá trị lớn nhất của tổng:

25R D 24R2

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi I là tâm mặt cầu  IA IB IC ID IS    R

Ta có: T SA2SB2SC2SD2AB2BC2CD2DA2AC2BD2

5 IS IA IB IC ID IS IA IB IC ID

           

 2 2 2 2 2 2

Câu 6 [2H2-3.5-4] [BTN 162] Cho tứ diện SABC , đáy ABC là tam giác vuông tại B với

AB BC Hai mặt bên SAB và  SAC cùng vuông góc với  ABC và SC hợp với

ABC góc 45 Thể tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là:

3

V  

3

3

3

V  

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Đáp án D.

: AC 9 16 5

ABC

SAB  ABC , SAC  ABC SAABC

3 3

SC

V         

Câu 7 [2H2-3.5-4] [BTN 173] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam

giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho

27

a

18

a

81

a

54

a

Hướng dẫn giải

Chọn D.

a a

a

a

q p

O B

A

D S

C

I

H G

Gọi OACBD

Dựng đường thẳng p đi qua điểm O và vuông góc với mặt phẳngABCD 

=> p là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuôngABCD

Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đềuSAB

Dựng đường thẳng q đi qua G và vuông góc với mặt phẳng SAB cắt  p tạiI .

=> q là trục đường tròn ngoại tiếp tam giácSAB

Khi đó, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chópS ABCD

Thật vậy, Ip IA IB IC I   D 1 

 2

I q  IA IB IS 

Từ (1) và (2) suy ra IA IB IC I   D nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chópS ABCD

OH là đường trung bình của tam giác ABC nên

BC a

OH   GI

Vì G là trọng tâm của tam giác SAC nên 2 2. 3 3

Tam giác SGI vuông tại G nên

SI SG IG  R       R

 

Vậy thể tích khối cầu là

3

3 3

R

V       

Câu 8 [2H2-3.5-4] [BTN 169] Cho hình chóp S ABC có SA SB SC  4, đường cao SH 3 Tính

bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chópS ABC

3

3

r 

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi các điểm như hình vẽ bên Trong đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều suy ra

SH  ABC , và HA HB HC   7 Điểm I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Trong tam giác vuông IHB ta có IH  r2 7

Khi đó

2

7 3

r

SH SI IH r r

 



3

8 8

3 3

r

r r











Câu 9 [2H2-3.5-4] [BTN 167] CHo hình chóp S ABCD có SA a AB BC ;  2 ;a ABC 120 và

cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

đã cho

5

a

4

a

3

a

2

a

Hướng dẫn giải

Chọn D.

2a

a

2a

D A

H

C S

B

M

O

Trong ABC gọi , D là điểm đối xứng của B qua AC Do tam giác ABC cân tại B và

ABC 120 nên các tam giác ABD DBC là các tam giác đều.,

Suy ra: DA DB DC  2 a Do đó D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC

* Dựng đường thẳng  qua D và song song SA   ABC  là trục của đường tròn là ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi M là trung điểm của SA trong , SA  kẻ đường thẳng , , d qua M và song song AD , suy ra d SA d là trung trực của đoạn SA

Trong SA  gọi , , O d   Suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

R OA  AD AM  a   

Câu 10 [2H2-3.5-4] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a AD , 2a, tam

giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M N, lần lượt là trung điểm các cạnh AD DC, Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S DMN

A R  a 102

a

R  31

a

R  39

a

R  39

13 .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

d

x

K

M

B

C

S

O

Gọi I là trung điểm của MN Suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN

d là đường thẳng qua I và vuông góc với mặt đáy

E là hình chiếu của I lên AB

O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S DMN K là hình chiếu của O lên SH

Đặt OI x

Ta có DI 1MN a 5

a

OD ID OI  x

2

;

a

EI



3 2 3

Suy ra SO SK KO  a  a x x

2

3

Vì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp nên:

a

R OD

2

102 6

Câu 11 [2H2-3.5-4] [THPT Chuyên Hà Tĩnh] Cho hình hộp ABCD A B C D     nội tiếp hình trụ cho

trước, khoảng cách từ tâm hình trụ đến ABB A  là 3, góc giữa DB và ABB A  bằng 30 o

Biết bán kính hình trụ bằng 5, tỉ số thể tích khối hộp và khối cầu ngoại tiếp hình hộp là?

10

11

13 3 .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

.

Hình hộp ABCD A B C D     nội tiếp trong hình trụ nên là hình hộp chữ nhật Gọi O là tâm

ABCD , E là trung điểm AB

Ta có: OE  , 3 OA 5 AD6

Xét AEO vuông tạo E, có: AE  OA2 OE2  4 AB 8

Vì ADABB A  nên AB là hình chiếu vuông góc của DB lên ABB A  DB A  60o Xét tam giác AB D vuông tại Acó: AB ADtan 60o 6 3, B D  AD2AB2 12

Xét tam giác ABB vuông tại Bcó: BB AB2 AB2 2 11

Thể tích khối hộp là V ABCD A B C D.    BB S ABCD 2 11.8.6 96 11

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp là 6

2

B D

R   Thể tích khối cầu là 4 3

288 3

V  R  

Vậy tỉ số thể tích khối hộp và khối cầu ngoại tiếp hình hộp là 11

3 .

Câu 12 [2H2-3.5-4] [BTN 172] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt

bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích

V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho

18

3

54

27

V  

Hướng dẫn giải

Chọn C.

M I

N H

O A

C

B S

Gọi O là tâm đường tròn tam giác ABC suy ra O là trọng tâm, H là trung điểmAB, kẻ đường thẳng qua O song song SH cắt SC tại N ta được NOABC, gọi M là trung điểm

SC, HM cắt NO tại I

Ta có HSHC nên HM SC ISICIA IB r 

6 12

NM SM SN 

tan 45

12

NM

IM

12

r IC  IM MC 

Vậy 4 3 5 15

V  r   Cách khác:

Gọi , P Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và ABC

Do các tam giác SAB và ABC là các tam giác đều cạnh bằng 1 nên , P Q lần lượt tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác đó

+ Qua P đường thẳng vuông góc với mặt phẳng SAB qua , O dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC Hai trục này cắt nhau tại , I suy ra IA IB IC  IS Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC và R IC

+ Xét

V  R  