Chuyên đề 21 khối nón đáp án

Gọi H là hình chiếu của B lên tia Ax, khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay có diện tích xung quanh bằng: A.. Ta có AH = AB2  HB2 a 3 Xét ta

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM

SOM quanh trục SO , ta được

mặt nón như hình bên với:

 Thiết diện qua trục: SAB cân tại S

 Góc giữa đường sinh và mặt đáy: SAO SBO SMO   .

 Chu vi đáy: p2r.  Diện tích đáy:

(liên tưởng đến thể tích khối chóp).

 Diện tích xung quanh: S xq rl.  Diện tích toàn phần:

2

tp xq

S S Sđ rlr

Dạng 1 Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện

Câu 1. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB a và

2

AC a Khi quay tam giác ABC quanh cạnh góc vuông AB thì đường gấp khúc ACB tạo

thành một hình nón Diện tích xung quanh hình nón đó bằng

A 5 a 2 B 5 a 2 C 2 5 a 2 D 10 a 2

Lời giải Chọn C

BC  AB AC a

Diện tích xung quanh hình nón cần tìm là S .AC BC. .2 a a 5 2 5 a2

Câu 2 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hình nón có bán kính đáy bằng 2 và góc ở đỉnh bằng 60 Diện tích

xung quanh của hình nón đã cho bằng

16 33



8 33

 D 16

Lời giải

KH I NÓN ỐI NÓN

Chuyên đề 21

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Gọi S là đỉnh của hình nón và AB là một đường kính của đáy

Theo bài ra, ta có tam giác SAB là tam giác đều  l SA AB  2r 4

Vậy diện tích xung quanh của hình nón đã cho là S xq rl8

Câu 3 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hình nón có bán kính bằng 5 và góc ở đỉnh bằng 60 Diện tích

xung quanh của hình nón đã cho bằng

100 33



50 33

 D 100

Lời giải Chọn A

Ta có độ dài đường sinh là

510sin 30sin

2

r l



.Diện tích xung quanh S xq rl50

Câu 4 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hình nón có bán kính bằng 3 và góc ở đỉnh bằng60 Diện tích xung0

quanh của hình nón đã cho bằng

A 18 B 36 C 6 3 D 12 3

Lời giải Chọn A

Gọi l là đường sinh, r là bán kính đáy ta có r 3





.Vậy diện tích xung quanh S rl.3.6 18 

Câu 5 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hình nón có bán kính đáy bằng 4 và góc ở đỉnh bằng 60 Diện tích0

xung quanh của hình nón đã cho bằng

A

64 33



32 33



Lời giải Chọn B

l

.Diện tích xung quanh hình nón: S xq rl .4.8 32 

Câu 6 (Mã 123 2017) Cho một hình nón có chiều cao h a và bán kính đáy 2 r a Mặt phẳng ( )P đi

qua S cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB2 3a Tính khoảng cách d từ tâm của

đường tròn đáy đến ( )P

A 

32

a d

B 

55

a d

C 

22

a d

D d a

Lời giải Chọn C

Có   P SAB

Ta có SO a h OA OB r,   2 ,a AB2a 3, gọi M là hình chiếu của O lên AB suy ra M

là trung điểm AB, gọi K là hình chiếu của O lên SM suy ra d O SAB ;  OK

Ta tính được OM OA2 MA2 a suy ra SOM là tam giác vuông cân tại O , suy ra K là

trung điểm của SM nên  

2

SM a OK

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 7. (KSCL THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO, A và B là hai

điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến SAB

bằng

33

Gọi K là trung điểm của AB ta có OK AB vì tam giác OAB cân tại O

Mà SOAB nên ABSOK  SOK  SAB mà  SOK  SAB SK nên từ O dựng

OH SK thì OH SAB  OH d O SAB  ,  

Xét tam giác SAO ta có:

sin

Câu 8. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho một hình nón có bán kính đáy bằng a và góc ở đỉnh bằng 60

Tính diện tích xung quanh của hình nón đó

A S xq 4a2 B

2

2 33

A B

S

O a

Câu 9. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a, vẽ tia Ax về phía điểm B

sao cho điểm B luôn cách tia Ax một đoạn bằng a Gọi H là hình chiếu của B lên tia Ax, khi

tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay có diện

tích xung quanh bằng:

A

2

3 22

x

Xét tam giác AHB vuông tại H Ta có AH = AB2  HB2 a 3

Xét tam giác AHB vuông tại H , HI AB tại I ta có

Khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay (có

diện tích xung quanh là S) là hợp của hai mặt xung quanh của hình nón (N1) và (N2)

Trong đó:

(N1) là hình nón có được do quay tam giác AHI quanh trục AI có diện tích xung quanh là

2 1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 10 (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình nón có chiều cao h 20, bán kính đáy r 25 Một thiết diện đi

qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12 Tínhdiện tích S của thiết diện đó

H

Ta có SO là đường cao của hình nón Gọi I là trung điểm của AB  OI AB

Gọi H là hình chiếu của O lên SI  OH SI

Ta chứng minh được OH SAB  OH 12

Xét tam giác vuông SOI có 2 2 2

Xét tam giác vuông SOI có SI  OS2OI2  202152 25

Xét tam giác vuông OIA có IA OA2 OI2  252152 20 AB40

Ta có S SABC

1

2AB SI

.40.252



500

Câu 11 (Liên Trường THPT TP Vinh Nghệ An 2019) Cắt hình nón ( )N

đỉnh S cho trước bởi mặt

phẳng qua trục của nó, ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2 2.a

Biết BC là

một dây cung đường tròn của đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC)

tạo với mặt phẳng đáy củahình nón một góc 600 Tính diện tích tam giác SBC .

a

D

2

2 29

a

Lời giải

Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân, suy ra r =SO =a 2

Ta có góc giữa mặt phẳng (SBC)

tạo với đáy bằng góc SIO =· 600

Trong tam giác SIO vuông tại O có ·

2 63sin

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 13 (Chuyên Hạ Long 2019) Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được một thiết

diện là một tam giác vuông cân cạnh bên a 2 Tính diện tích toàn phần của hình nón

A 4a 2 (đvdt). B 4 2a2 (đvdt) C a 2  2 1 

(đvdt) D 2 2a2 (đvdt)

Lời giải

Giả sử hình nón đã cho có độ dài đường sinh l , bán kính đáy là R

Thiết diện của hình nón qua trục là tam giác OAB vuông cân tại O và OA a 2

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông cân OABta có:

Câu 14 (Chuyên KHTN 2019) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Tính diện tích toàn

phần của vật tròn xoay thu được khi quay tam giác AA C' quanh trục AA'.

Lời giải Chọn D

a

B'

C'

D' A'

D

C B

A

OK OI OS   OI OS  .

Câu 16 Cho hình nón đỉnhS, đáy là đường tròn O;5

.Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón cắt

đường tròn đáy tại hai điểm A và B sao cho SA AB 8 Tính khoảng cách từ O đến SAB.

Gọi I là trung điểm AB

Ta có AB SO AB SOI SAB SOI

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Ta có:

2

5 395

Câu 17 (Chuyên ĐHSPHN - 2018) Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, bán kính, R3cm,

góc ở đỉnh hình nón là  120 Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh S tạo thành tam giác đềuSAB , trong đó A , B thuộc đường tròn đáy Diện tích tam giác SAB bằng

A 3 3 cm 2 B 6 3 cm 2 C 6 cm 2 D 3 cm 2

Lời giải

Theo đề bài ta có góc ở đỉnh hình nón là  120 và khi cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh S

tạo thành tam giác đềuSAB nên mặt phẳng không chứa trục của hình nón

Do góc ở đỉnh hình nón là  120 nên OSC    60

Xét tam giác vuông SOC ta có

tanOSC OC

SO

tan

OC SO

Xét tam giác vuông SOA ta có SA SO2OA2 2 3

Do tam giác SAB đều nên 12 3 sin 602

Câu 18 (Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp - 2018) Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam

giác vuông có cạnh huyền bằng a 2 Tính diện tích xung quanh S xq

Gọi S là đỉnh hình nón, thiết diện qua trục là tam giác SAB.

Câu 19 (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn

tâm O, bán kính R Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy mộtcung có số đo bằng 60 , khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng SAB

bằng 2.

R Đường cao h

của hình nón bằng

A h R 3 B h R 2 C

32

R

h 

6.4

R

h 

Lời giải Chọn D

Gọi I là trung điểm AB

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Tam giác AOI vuông tại I, ta có

OH SO OI  SO OH  OI R   R  R  

Câu 20 (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 2a , bán kính đáy bằng 3a

Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiếtdiện bằng

32

a

B 12a2 3. C

2

127

a

2

24 37

a

Lời giải Chọn D

Xét hình nón đỉnh S có chiều cao SO2a, bán kính đáy OA3a

Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón là tam giác SAB cân tại S

+ Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB Trong tam giác SOI , kẻ OH SI , H SI

6 32

Câu 21 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O Một mặt phẳng đi qua

đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác vuông SAB có diện tích bằng

Gọi M là trung điểm của AB , tam giác OAB cân đỉnh O nên OM AB và SOAB suy ra

AB SOM

Dựng OK SM

Theo trên có OK AB nên OK SAB

Vậy góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng SAB

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Vậy diện tích xung quanh của hình nón bằng S xq rl.a 5.2a 2 2 a2 10

Câu 22 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân

có cạnh huyền bằng a 2 Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60 Diện tích của thiếtdiện này bằng

Giả sử hình nón có đỉnh S , tâm đường tròn đáy là O Thiết diện qua trục là SAB , thiết diện qua

đỉnh là SCD ; gọi I là trung điểm của CD

Theo giả thiết ta có SAB vuông cân tại S , cạnh huyền

22

Câu 1 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hình nón có chiều cao bằng 2 5 Một mặt phẳng đi qua đỉnh

hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều có diện tích bằng 9 3 Thể tích củakhối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng

A

32 5

3

 B 32 C 32 5 D 96

Lời giải Chọn A

Theo giả thiết tam giác SAB đều, SSAB 9 3 và SO 2 5.

Câu 2 (KSCL THPT Nguyễn Khuyến 2019) Tính thể tích của hình nón có góc ở đỉnh bằng 60o và

diện tích xung quanh bằng 6a2.

Khối nón có góc ở đỉnh bằng 60o nên góc tạo bởi đường sinh và đáy bằng 60 o

1

3 3

V  R h a

Câu 3. (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB  , 6 AC  và 8 M là

trung điểm của cạnh AC Khi đó thể tích của khối tròn xoay do tam giác BMC quanh quanh AB

là

Lời giải

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Khi tam giác BMC quanh quanh trục ABthì thể tích khối tròn xoay tạo thành là hiệu của thể tích khối nón có đường cao AB , đường sinh BC và khối nón có đường cao AB, đường sinh BM Nên

 B 8 3 cm 3 C

3

8 3cm3



3

8cm3



Do góc ở đỉnh của hình nón là BAC   , suy ra 60 HAC   Bán kính đáy 30 RHC2cm

Xét AHC vuông tại H , ta có tan 30

HC

AH 



213

Câu 5 (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB6cm AC, 8cm Gọi V là thể1

tích khối nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB và V là thể tích khối nón tạo2

thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC Khi đó, tỷ số

1 2

B

h=6r=8

l

C

h=8r=6=

Ta có công thức tính thể tích khối nón có chiều cao h và bán kính r là

2

13

1.8 6 1283

1.6 8 963

Vậy:

1 2

43

N N

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Mặt khác, SO A và SOB đồng dạng nên

Câu 7 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Cho một đồng hồ cát như bên dưới (gồm hai hình nón

chung đỉnh ghép lại), trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc 60 Biết rằngchiều cao của đồng hồ là 30 cm và tổng thể tích của đồng hồ là 1000 cm 3 Hỏi nếu cho đầylượng cát vào phần bên trên thì khi chảy hết xuống dưới, tỷ số thể tích lượng cát chiếm chỗ và thểtích phần phía dưới là bao nhiêu?

Gọi r h r h lần lượt là bán kính, đường cao của hình nón trên và hình nón dưới.1, , ,1 2 2

Do đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc 60

Suy ra: OAI  OBI 60, khi đó ta có mối liên hệ: h1 3 , r h1 2  3r2

h h



B

283



C

569



D

563



Lời giải Chọn C

J E'

C

E

A

C' B

DC ID

BD

nên

2 1

1 ' 3

V   IC IDKhối nón cụt có tâm đáy J I, có thể tích V2



283



569



563



Lời giải

Gọi điểm như hình vẽ

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

a



Lời giải

Gọi E là giao điểm của AB và CD Gọi F là hình chiếu vuông góc của B trên CE

Ta có: BCF BEF nên tam giác BCF và BEF quay quanh trục CD tạo thành hai khối

Câu 11 (KTNL GV Thpt Lý Thái Tổ 2019) Cho hình tứ diện ABCD có ADABC, ABC là tam

giác vuông tại B Biết BC2(cm) ,AB2 3(cm AD), 6(cm) Quay các tam giác ABC và

ABD ( bao gồm cả điểm bên trong 2 tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta được 2 khối

tròn xoay Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng

A 3 ( cm3) B

3

5 3( )

3

3 3( )

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Phần thể tích chung của 2 khối tròn xoay là phần thể tích khi quay tam giác AMB xung quanh

trục AB Gọi V là thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác BMN1  xung quanh AB

Và V là thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác AMN2  xung quanh AB

Dễ tính được: 1

3 3( )8

Câu 13 (Xuân Trường - Nam Định - 2018) Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S, O là tâm của đường

tròn đáy, đường sinh bằng a 2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 60 Diện tíchxung quanh S xq của hình nón và thể tích V của khối nón tương ứng là

Dựa vào hình vẽ ta có: góc giữa đường sinh và mặt đáy là SAO    60

Tam giác SAO vuông tại O:

của hình nón và có khoảng cách đến tâm là 3a , thiết diện thu được là một tam giác vuông cân.

Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng

A 150 a 3 B 96 a 3 C 108 a 3 D 120 a 3

Lời giải Chọn D

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

V    a  a a

Câu 15 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hình nón có bán kính đáy bằng 3 và chiều cao bằng 10 Mặt

phẳng   vuông góc với trục và cách đỉnh của hình nón một khoảng bằng 4, chia hình nón thànhhai phần Gọi V là thể tích của phần chứa đỉnh của hình nón đã cho, 1 V là thể tích của phần còn2

lại Tính tỉ số

1 2

của hình nón, cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB2a 3, khoảng

cách từ tâm đường tròn đáy đến mặt phẳng  P

bằng

22

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Dạng 3 Khối tròn xoay nội, ngoại tiếp khối đa diện

Câu 1 (Mã 123 2017) Trong hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đều bằng a 2 Tính thể tích V

của khối nón đỉnh S và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD

a V

a V

Lời giải Chọn C

Gọi OACBD SOABCD Lại có

Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

Ta có

3 32

Câu 3 (Chuyên ĐHSPHN - 2018) Cho hình chóp tam giác đều S ABC. Hình nón có đỉnh S và có

đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC gọi là hình nón nội tiếp hình chóp S ABC. ,hình nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC gọi là hình nónngoại tiếp hình chóp S ABC. Tỉ số thể tích của hình nón nội tiếp và hình nón ngoại tiếp hình chóp

Gọi M là trung điểm của BC

Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC

OM = OA

nên ta có:

2 1

2 2

1 .3

1 .3

OM SO V

Câu 4 (Hồng Bàng - Hải Phòng - 2018) Cho hình chóp tam giác đều S ABC. có cạnh đáy bằng a, góc

giữa mặt bên và đáy bằng 60 Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh o S, có đáy là hình tròn

ngoại tiếp tam giác ABC bằng

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Gọi I là tâm đường tròn ABC  IA r a33 .

Gọi M là trung điểm của AB  ABSMC

 Góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc SMC  60o

2 32

3 21

Câu 5 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a.

Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông

A B C D    Diện tích toàn phần của khối nón đó là

A B

C

D O

2 2 1

4

a

S r 

Độ dài đường sinh là

2 2

54

a

S rl

.Vây, diện tích toàn phần của khối nón đó là: 1 2 2 5 1

Câu 6 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp tam giác đều S ABC. có cạnh đáy bằng a , góc giữa

mặt bên và mặt đáy bằng 60° Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn

ngoại tiếp tam giác ABC.

a

OM =

,

33

Câu 7 (Mã 105 2017) Cho hình nón  N có đường sinh tạo với đáy một góc 60 Mặt phẳng qua trục

của  N cắt  N được thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 Tínhthể tích V của khối nón giới hạn bởi  N .

A V 9 B V 3 3 C V 9 3 D V 3

Lời giải Chọn D