Chuyên đề 10 thể tích khối chóp đáp án

Hình lăng trụ đứng và hình lăng trụ đều : g Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.. Do đó các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhậ

Trang 1

a b c a

A

S

B C

C Â

AÂ

BÂ

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM

1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG

THỂ TÍCH KHỐI CHểP – KHỐI LĂNG TRỤ

1 Thể tớch khối chúp chóp= ì1 đá y chiều cao = ì1 đáy (đỉnh; mặt phẳng đáy)

2 Thể tớch khối lăng trụ Vlăng trụ=Sđáy chiều cao

g Thể tớch khối lập phương V =a3 g Thể tớch khối hộp chữ nhật V =abc

3 Tỉ số thể tớch

g Cho khối chúp S ABC trờn cỏc đoạn thẳng , , , SA SB SC lần

lượt lấy cỏc điểm A B CÂ Â, , Â khỏc S Khi đú ta luụn cú tỉ số thể

g Ngoài những cỏch tớnh thể tớch trờn, ta cũn phương phỏp chia nhỏ

khối đa diện thành những đa diện nhỏ mà dễ dàng tớnh toỏn Sau đú

g Chõn đường cao trựng với tõm đường trũn ngoại tiếp đa giỏc đỏy

g Cỏc mặt bờn là những tam giỏc cõn và bằng nhau.

g Gúc giữa cỏc cạnh bờn và mặt đỏy đều bằng nhau.

g Gúc giữa cỏc mặt bờn và mặt đỏy đều bằng nhau.

5 Tứ diện đều và bỏt diện đều:

g Tứ diện đều là hỡnh chúp cú tất cả cỏc mặt là những tam giỏc đều bằng nhau.

g Bỏt diện đều là hỡnh gồm hai hỡnh chúp tứ giỏc đều ghộp trựng khớt hai đỏy với nhau Mỗi đỉnh của nú là

đỉnh chung của bốn tam giỏc đều Tỏm mặt là cỏc tam giỏc đều và bằng nhau

Nếu nối trung điểm của hỡnh tứ diện đều hoặc tõm cỏc mặt của hỡnh lập phương ta sẽ thu được một hỡnh bỏtdiện đều

TH TÍCH KH I CHểP Ể TÍCH KHỐI CHểP ỐI CHểP

Chuyờn đề 10

Trang 2

r a

b

c

a

h

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

6 Hình lăng trụ đứng và hình lăng trụ đều :

g Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Do đó các mặt bên

của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy

g Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP a) Hình chóp có một cạnh

bên vuông góc với đáy:

Chiều cao của hình chóp là

độ dài cạnh bên vuông góc

bên vuông góc với mặt

đáy: Chiều cao của hình

chóp là chiều cao của tam

giác chứa trong mặt bên

vuông góc với đáy

vuông góc với mặt đáy:

giao tuyến của hai mặt bên

d) Hình chóp đều:

đoạn thẳng nối đỉnh và tâm

của đáy Đối với hình chóp

đều đáy là tam giác thì tâm

là trọng tâm G của tam giác

đều

Ví dụ : Hình chóp đều

S ABCD có tâm đa giác đáy

là giao điểm của hai đường

chéo hình vuông ABCD thì

có đường cao là SO

DIỆN TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP

 Diện tích tam giác thường: Cho tam giác ABC và đặt AB =c BC, =a CA, = vàb

:2

D

A S

H

D

A S

Trang 3

A

NM

g

2 tam giác đều

Tích hai đ ờng chéo Tích 2 đ ờng chéo

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1 Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng

trung tuyến Khi đú:

(nửa chu vi) Gọi , R r lần lượt là bỏn

kớnh đường trũn ngoại tiếp và nội tiếp tam giỏc ABC Khi đú:

* Định lý hàm sin: sin sin sin 2

ggg

* Cụng thức trung tuyến:

ggg

* Định lý Thales:

2 2

AMN ABC

Dạng 1 Cạnh bờn vuụng gúc với đỏy

Cõu 1 (Mó 105 2017) Cho khối chúp S ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a , SA vuụng gúc với đỏy và

SBC a 2

Trang 4

Câu 2 (Mã 110 2017) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD a 3,

SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 60o Tính thể tích V

của khối chóp S ABCD

A V 3a3 B

3

33

Trang 5

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Xét tam giác vuông SAB có: tan 60 .tan 60 3

Câu 3 (Mã 123 2017) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy,

SC tạo với mặt phẳng SAB một góc 30 Tính thể tích khối chóp 0 S ABCD

A

3

23

a

B

3

23

a

C

3

63

a

D 2a3

Lời giải Chọn B

+) Do ABCD là hình vuông cạnh a nên: S ABCD a2

+) Chứng minh được BCSAB  góc giữa SC và (SAB) là CSB· 300

+) Đặt SA x  SB x2a Tam giác SBC vuông tại B nên 2

tan tan 30

3

BC CSA

SB

Ta được: SB BC 3 x2a2 a 3 x a 2

3 2

Câu 4 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác vuông cân tại C, cạnh bên

SA vuông góc với mặt đáy, biết AB4a,SB6a. Thể tích khối chóp S ABC. là V. Tỷ số

Trang 6

3

Câu 5 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hình chóp tam giác S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông tại

B , AB a , ACB   , cạnh bên 60 SA vuông góc với mặt đáy và SB hợp với mặt đáy một góc

45 Tính thể tích V của khối chóp S ABC .

A

3 318

a

V 

B

3 312

a

V 

Lời giải Chọn A

B

C A

S

ABC là tam giác vuông tại B , AB a , ACB  60 0

3tan 60 3

Câu 6 (Lương Thế Vinh Hà Nội Năm 2019) Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật

AB a và AD2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy Tính thể tích V của khối chóp S ABCD.biết góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD bằng 0

Trang 7

BAD BCD   , SA 9 và SA vuông góc với đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD bằng

66 3 , tính cotang của góc giữa mặt phẳng SBD và mặt đáy

A B

C

D S

AD AD

AD  AD

.Trong tam giác ABD, dựng AH BD lại có SABD BDSH

Trang 8

Vậy góc giữa SBD và đáy là góc SHA

a

3

312

a

3

49

B A

S

Gọi I là trung điểm sủa BC suy ra góc giữa mpSBC

và mpABC

là SIA  300

H là hình chiếu vuông góc của A trên SI suy ra d A SBC ,   AH  a

Xét tam giác AHI vuông tại H suy ra sin 300 2

AH

.Giả sử tam giác đều ABC có cạnh bằng x , mà AI là đường cao suy ra

3

a

.Vậy

Câu 9. Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hai mặt phẳng SAB và SAD

cùng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S ABCD biết rằng SC a 3

3

33

39

Trang 9

3 2

Câu 10 Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác ABC vuông tại C, AB2a, AC a và SA vuông

góc với mặt phẳng ABC Biết góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBC bằng 60 Tính thể

tích của khối chóp S ABC.

A

3 26

a

3 612

a

3 64

a

3 22

a

Trong ABCkẻ CH AB  CH SAB  CH SB 1

a BH

Từ    1 , 2  HK SB

SAB SBC CKH    60

Trang 10

Trong vuông CKH có .cot 60 2

a SA

Thể tích hình chóp S ABC. là

1

I

S

C

B A

 Gọi I là trung điểm BC

+ Do ABC cân tại A nên BC AI

+ Mặt khác do SA(ABC) BCSA

Suy ra BCSI

Do đó góc giữa (SBC) và đáy chính là góc SIA 45 .

 Xét AIB vuông tại I có IB a ,  IAB60 , suy ra tan 60  3

, SIA 45 nên SAI vuông cân tại A, do đó 3

Trang 11

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng SD Ta có

.Vậy

1 .3

Câu 13 (Cụm liên trường Hải Phòng- 2019) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông

cạnh a , SA vuông góc với đáy ABCD , góc giữa hai mặt phẳng (SBD)

và ABCD bằng 600 Gọi,

M N lần lượt là trung điểm của SB SC, Tính thể tích khối chóp S ADNM

A

3

616

a

N M

O

S

C D

Trang 12

Câu 14 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho khối chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a,

SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ C đến mặt phẳng SBD

bằng

33

a

Tính thể tích Vcủa khối chóp đã cho

a

V 

339

a

V 

Lời giải Chọn C

H O

D

C B

A S

Gọi OACBD , gọi H là hình chiếu của A lên SO

Vì O là trung điểm của AC nên d C SBD ,   d A SBD ,  

Câu 15 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông

góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng SAB

a

V 

Trang 13

A D

B C

S

Ta có hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh, SA vuông góc với mặt đáy nên DAAB và

DASA Suy ra DASAB Vậy góc giữa SD và mặt phẳng SAB

Câu 16 (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thoi, góc

BAD bằng 120 ,0 AB a Hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với đáy Góc giữa

a

V 

C

3 3.4

a

V 

D

3 13.12

a

V 

a

AI 

Và góc giữa SBC và mặt phẳng đáy là SIA  600.

Xét tam giác SAI ta có:

Trang 14

Dạng 2 Mặt bên vuông góc với đáy

Câu 1 (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; góc giữa SC vàmặt phẳng đáy bằng 45o Tính thể tích khối chóp S ABCD. bằng:

A

3 312

a

B

3 39

a

C

3 524

a

D

3 56

a

Lời giải Chọn D

Gọi H là trung điểm của AB , SAB cân tại S SH AB

Câu 2 (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa -2019) Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ

nhật, tam giác SAB là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Mặtphẳng SCD

tạo với đáy góc 30 Thể tích khối chóp S ABCD. là?

A

3 34

a

B

3 32

a

C

3 336

Trang 15

Gọi H, K lần lượt là trung điểm AB và CD

Suy ra SH ABCD và  SCD , ABCD  SKH 30

.Xét SHK vuông tại H, có

Câu 3 (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông

cạnh bằng 2a Tam giác SAD cân tại S và mặt bên SAD

vuông góc với mặt phẳng đáy Biếtthể tích khối chóp S ABCD. bằng

h a

B

32

h a

C

2 55

D

63

Gọi H là trung điểm của AD Nên SH AD

43

22

ABCD

a V

2

a a

Câu 4 (Đề Minh Họa 2017) 111Equation Chapter 1 Section 1 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy

là hình vuông cạnh bằng 2a Tam giác SAD cân tại S và mặt bên SAD vuông góc với mặt

Trang 16

phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD bằng

h a

B

23

h a

C

43

h a

D

83

h a

Gọi I là trung điểm của AD Tam giác SAD cân tại S

 là đường cao của hình chóp

Theo giả thiết

Câu 5 (Gia Bình 2019) Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông và tam giác SAB đều

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng

21 Hãy cho biết cạnh đáy bằng bao nhiêu?

Giả sử AB a Gọi H là trung điểm của AB SH AB SH ABCD

Trang 17

26

36

32

;

3

giữa đường thẳng SC và mpABCD bằng 45 Gọi M là trung điểm của SD Tính theo a

khoảng cách d từ điểm M đến SAC

A

151389

a

d 

2 131589

a

d 

C

131589

a

d 

2 151389

a

d 

Lời giải

Trang 18

Gọi H là trung điểm đoạn AB  SH ABCD.

2

894

a

d 

Câu 8 (Sở Bắc Giang 2019) Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông tại A Hình chiếu

của S lên mặt phẳng ABC

là trung điểm H của BC, AB a , AC a 3, SB a 2 Thểtích của khối chóp S ABC. bằng

A

3 32

a

3 62

a

3 36

a

3 66

Trang 19

H là trung điểm của BC nên BH a

Xét tam giác SBH vuông tại H có: SH  SB2 HB2  a 22 a2 a

.Diện tích đáy ABC là:

3 2

Câu 9 (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,

mặt bên SAD là tam giác vuông tại S Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là điểm

H thuộc cạnh AD sao cho HA=3HD Biết rằng SA=2a 3 và SC tạo với đáy một góc bằng

30° Tính theo a thể tích V của khối chóp S ABCD

A V =8 6a3. B

3

8 63

SH SDH

Câu 10 (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình thang vuông tại A và

D , ABAD a , CD2a Hình chiếu của đỉnh S lên mặt ABCD

trùng với trung điểm của

a

B

26

a

C

36

a

D

64

a

Lời giải

Trang 20

    do đó tam giác BCD vuông cân tại B

Gọi H là trung điểm của BD thì SH ABCD

6

66

a a SH

Câu 11 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Hình chóp S ABCD có đáy ABCD là vuông cạnh a,

hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD

trùng với trung điểm của cạnh AD; gọi M

là trung điểm của CD; cạnh bên SB hợp với đáy góc 60

Tính theo a thể tích của khối chóp

A

3 153

a

B

3 156

a

C

3 154

a

D

3 1512

a

Ta có

2 D

Trang 21

Câu 12 (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu

vuông góc của S trên đáy là điểm H trên cạnh AC sao cho

23

a

B

3 348

a

C

3 336

a

D

3 324

a

Lời giải

Gọi M là trung điểm của BC

1:

Do ABC đều nên

a

V 

3 612

Trang 22

Câu 14 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có AB= , a BC=a 3 Mặt bên

SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính theo a thể

tích của khối chóp S ABC

A

3

612

a

H

B S

Xét tam giác ABC vuông tại A , ta có: AC = BC2- AB2 ( )2

a

=

.Gọi H là trung điểm đoạn AB thì SH ^AB Vì (SAB) (^ ABC) và (SAB) (Ç ABC)=AB nên

SH ^ ABC

Suy ra SH là chiều cao của khối chóp S ABC

Tam giác SAH vuông tại H nên SH =SA.sinSAH =a.sin 60°

32

a

=

.Thể tích khối chóp S ABC là: V

Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; góc giữa

SC và mặt phẳng ABCD bằng  sao cho

15tan

26

36

Trang 23

Đặt AB x  , gọi 0 M N, lần lượt là trung điểm AB AD, .

Tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên SM chính là đường cao của

hình chóp S ABCD và

2 2

3,

ACD

Vậy

3 2

Gọi H là trung điểm đoạn AB SH AB ( vì tam giác SAB là tam giác đều).

Trang 24

Nhận thấy SAB là tam giác đều cạnh

32

a

2 0

Câu 17 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCDlà hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đều cạnh 2a

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Góc giữa mặt phẳng (SBC)và mặt

phẳng (ABCD) là 30 Thể tích của khối chóp S ABCD. là:

S

M I

B A

30°

+ Trong tam giác đều SADgọi I là trung điểm AD SI AD SI (ABCD)

+ Gọi M là trung điểm BC BCIM (1)

Mặt khác do SI (ABCD) BCSI (2)

Từ (1), (2) suy ra BCSM

+ Vậy, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD)chính là góc SMI    30

+ Xét tam giác vuông SIM có tan 30 3

Câu 18 (Chuyên Nguyễn Huệ- 2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,mặt bên

SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD, SAB  300, SA2a Tính thể tích V của

khối chóp S ABCD

A

3

3.6

a

V 

Trang 25

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên cạnh AB.

Do SAB  ABCD và SAB  ABCD AB nên SH ABCD

Xét tam giác SAH vuông tại H ta có: 

a

B

3 3.8

a

C

3 3.12

a

D

3 3.6

a

+Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC, HBC

+SA ABC,( ) SAH 450  SHA vuông cân  SH HA

Dạng 3 Thể tích khối chóp đều

Câu 1 (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho khối chóp tứ giác đều S ABCD. có cạnh đáy bằng a,

góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 Thể tích 0 V của khối chóp S ABCD bằng

A

3 32

a

V 

B

3 22

a

V 

C

3 36

a

V 

D

3 26

a

V 

Lời giải

Trang 26

Gọi O là tâm của đáy, gọi M là trung điểm của BC.

2

a

.Thể tích khối chóp S ABCD. là

3 2

Câu 2 (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có cạnh đáy bằng a, tâm của đáy là

O Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC Biết góc giữa đường thẳng MN và mặt

phẳng ABCD bằng 0

60 Tính thể tích khối chóp S ABCD .

A

3 106

a

B

3 302

a

C

3 306

a

D

3 103

Gọi H là trung điểm AO Khi đó góc giữa MN và ABCD là MNH

Ta có HN  CN2CH2 2CN CH. .cos 450

104

a



.Suy ra

2

a

SO MH 

Câu 3 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Nếu một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2và

có diện tích xung quanh bằng 4 3 thì có thể tích bằng

Trang 27

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải

Chọn A

Xét hình chóp đều S ABCD như hình vẽ

Kẻ OE  BC  E là trung điểm BC và BC SOE

Câu 4. Cho hình chóp đều S ABC có SA a Gọi D E, lần lượt là trung điểm của SA SC, Tính thể tích

khối chóp S ABC theo a , biết BD vuông góc với AE

A

3 2154

a

3 312

a

3 727

a

3 2127

a

F

D E S

54

Gọi H là hình chiếu của S lên ABC

khi đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

Tiêu đề	Chuyên đề 10 thể tích khối chóp
Người hướng dẫn	Nguyễn Bảo Vương
Trường học	Trường Trung Học Phổ Thông Quốc Gia
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Tài liệu
Năm xuất bản	2021
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	44
Dung lượng	3,97 MB