Huyên đề 27 phương trình bậc hai với hệ số thực, bài toán min max

N ĐỀ 27 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC, BÀI TOÁN MIN-MAX MỤC LỤC PHẦN A.. CÂU HỎI Phương trình bậc 2 với hệ số thực Câu 1... Tính giá trị biểu thức... Gọi M và m lần lượt là giá trị

N ĐỀ 27

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC, BÀI TOÁN MIN-MAX

MỤC LỤC

PHẦN A CÂU HỎI 1

Phương trình bậc 2 với hệ số thực 1

Bài toán MIN-MAX 4

PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO 8

Phương trình bậc 2 với hệ số thực 8

Bài toán MIN-MAX 14

PHẦN A CÂU HỎI

Phương trình bậc 2 với hệ số thực

Câu 1 (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Kí hiệu z z z và1, ,2 3 z là bốn nghiệm phức của phương4

trình z4 z212 0 Tính tổngT z1  z2  z3  z4

Câu 2 (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Gọi z và 1 z là hai nghiệm phức của phương trình2 2

4z  4z 3 0 Giá trị của biểu thức z1  z2

bằng:

Câu 3 (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Kí hiệu z , 1 z là hai nghiệm của phương trình 2 z  2 4 0 Gọi

M, N lần lượt là điểm biểu diễn của z , 1 z trên mặt phẳng tọa độ Tính 2 T OM ON  với O là gốc tọa

độ

Câu 4 (Mã đề 101 - BGD - 2019)Gọi z z là hai nghiệm phức của phương trình 1, 2 z2 6z10 0 Giá trị của z12 z22 bằng:

Câu 5 (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 2i và



A z22z 3 0 B z2 2z 3 0 C z22z 3 0 D z2 2z 3 0

Câu 6 (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Kí hiệu z z là hai nghiệm phức của phương trình1, 2 2

3z  z 1 0 Tính Pz1  z2

A

23

P 

B

33

P 

C

2 33

P 

D

143

Câu 12 (Mã 103 - BGD - 2019)Gọi z z là 2 nghiệm phức của phương trình 1, 2 z 2 4z 5 0  Giá trị của

Câu 13 (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi z ; 1 z là hai nghiệm2

của phương trình z22z10 0 Tính giá trị biểu thức

Câu 16 (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi z , 1 z là các nghiệm phức của2



w  i

4205

w  i

4205

1 21

Câu 24 (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Gọi z và 1 z là hai nghiệm2

phức của phương trình z24z29 0 Tính giá trị của biểu thức

z  z

Câu 25 (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Kí hiệu z1; z là hai nghiệm2

phức của phương trình 3z2 z  Tính 1 0 Pz1  z2

A

143

P 

23

P 

33

P 

2 33

P 

Câu 26 (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Gọi z1, z2 là hai

nghiệm phức của phương trình 3z2 z 2 0 Tính giá trị biểu thức



T

83



T

43



T

119

đó tam giác OAB ( O là gốc tọa độ):

A Là tam giác đều B Là tam giác vuông

Câu 28 (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hai số phức z và w khác 0

z 

32

2

b a

2

P a

c



2 2

a

Câu 30 (THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01)Gọi S là tổng các số thực m

để phương trình z2  2z 1 m có nghiệm phức thỏa mãn 0 z 2. Tính S.

Câu 32 (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi S là tổng các giá trị thực của

m để phương trình 9z26z 1 m có nghiệm phức thỏa mãn 0 z 1 Tính S

Bài toán MIN-MAX

Câu 33 (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018)Xét số phức z a bi a b  , 

thỏa mãn z 4 3 i  5 Tính P a b khi z 1 3i   z 1 i

đạt giá trị lớn nhất

P 

B P 5 2 73 C

5 2 732

M

53

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P z 2 2 i Đặt

A M m  Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu 41 (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho số phức z thỏa mãn z 6  z6 20

Gọi M , n lần lượt là môđun lớn nhất và nhỏ nhất của z Tính M n

Câu 43 (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Xét số phức z và số phức liênhợp của nó có điểm biểu diễn là M và M  Số phức z4 3 i

và số phức liên hợp của nó có điểm biểudiễn là N và N Biết rằng M , M , N , N là bốn đỉnh của hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ nhất của



15



310

Câu 49 (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa

mãn z  1 34 và z 1 mi  z m2i , (trong đó m  ) Gọi z , 1 z là hai số phức thuộc 2 S sao cho

là số phức thỏa mãnđiều kiện z- 1 2- i + + -z 2 3i = 10

là số thực Biết rằng z1 z2  , giá trị nhỏ nhất của 4 z13z2

bằng

Câu 58 (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong các số phức z thỏa mãn z 3 4 i 2

có hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1 z2  Giá trị nhỏ nhất của 1 z12 z22 bằng

Câu 60 (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho z là số phức thỏa

mãn z  z 2i

Giá trị nhỏ nhất của z 1 2i  z 1 3i là

Câu 61 (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Cho các số phức z1   , 2 i z2   và số phức2 i

z thay đổi thỏa mãn z z 12 z z 2 2 16 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

Câu 65 (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1 1 i  và 2 z2 iz1 Tìm

giá trị nhỏ nhất m của biểu thức z1 z2 ?

5 2 22

3 2 22

Câu 67 (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - TPHCM - 2018) Cho số phức z thỏa z 1 Gọi m , M

lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu 69 (KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Xét các số phức z a bi  ( ,a b   ) thỏa mãn

P 

B P  min 5 2 3. C min

994513

P 

D P  min 5 2 5.PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO

z z

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt

Câu 13.

1 2

2 33

Câu 26. Phương trình 3z2 z 2 0có

1 2

i z

Vì z  0 nên ta được phương trình

2 2

4242

2 2

44

b z a a



.Cách 2: Trắc nghệm

Cho a1,b0,c1, ta có phương trình z   có 2 nghệm phức là 2 1 0 z1i z, 2  Khi đói

Pz z  z  z 

.Thế a1,b0,c1 lên các đáp án, ta thấy chỉ có đáp án C cho kết quả giống

b b

Vậy tổng các giá trị thực của m bằng 12

Bài toán MIN-MAX

Câu 33

Lời giảiChọn B

Goi M a b ; 

là điểm biểu diễn của số phức z

Theo giả thiết ta có: z 4 3 i  5 a 42b 32 5 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I4;3

Vì MElà trung tuyến trong MAB

65

Gọi A là điểm biểu diễn số phức z, E2;1 ,  F4;7

và N1; 1  

Từ AE A F   z 2 i  z 4 7 i 6 2 và EF 6 2 nên ta có A thuộc đoạn thẳng EF Gọi H là

hình chiếu của N lên EF, ta có

P NH NF   Câu 35. Chọn C

Gọi M N, lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z z1, 2

Suy ra M N, thuộc đường thẳng d: 2m1x2m 2 y 3 0

Do đó M N, là giao điểm của đường thẳng d và đường tròn  C

Ta có z1 z2 MN nên z1 z2 lớn nhất khi và chỉ khi MN lớn nhất

là điểm biểu diễn hình học của số phức w

Từ giả thiết z 2 2 i  ta được:1

R 

5

x x

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w   z 1 i là đường tròn I;1 và w là khoảng cách từ gốc tọa độ

đến 1 điểm trên đường tròn Do đó giá trị lớn nhất của w chính là đoạn OQ

I B

E

nên tập hợp các điểm E là đường elip  E

có hai tiêu điểm F1

Câu 42. Theo bất đẳng thức tam giác ta có

w 2z 1 i  2z 6 8 i  7 9 i 2z 6 8 i 7 9 i  4 130

.Vậy giá trị lớn nhất của w là 4  130

Ta có M và M ; N và N từng cặp đối xứng nhau qua trục Ox Do đó, để chúng tạo thành một hình chữ

nhật thì yM  yN hoặc yM  yN Suy ra y3x4y hoặc y3x 4y Vậy tập hợp các điểm M là hai

đường thẳng: d x y1:   0 và d2: 3 x  5 y  0

Đặt P z 4i 5  x 52y42

Ta có P MA  với A5; 4 

x 

Vậy phần thực của số phức z là

15



Câu 45. Gọi z x yi  , x y , R Khi đó M x y ; 

là điểm biểu diễn của số phức z.Theo bài ra ta có z 1 3i  2 x12y 32 4

.Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I1; 3

bán kính R 2.Khi đó z1 x12y2 I M

với I1; 0

1

z 

nhỏ nhất khi I M ngắn nhất hay I , M, I thẳng hàng, M nằm giữa I và I

Phương trình đường thẳng II là x  1

Tọa độ giao điểm của đường thẳng II với đường tròn tâm I bán kính R 2 là M11; 1



Cách 2:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường thẳng : 4d x2y  3 0

Ta có z OM z nhỏ nhất  OM nhỏ nhất  M là hình chiếu của O trên d

Phương trình đường thẳng OM đi qua O và vuông góc với d là: x 2y 0

Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy phần ảo của số phức z có mô đun nhỏ nhất là

310

N

M

I N'

Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là giao điểm của đường tròn   C : x12y2 34

và đường thẳng d: 2m1x2 2  m y   3 0

Gọi A, B là hai điểm biểu diễn z và 1 z Suy ra 2  C d  A B, 

.Mặt khác z1 z2 AB2R2 34

do đó max z1 z2 2 34 AB2R I1;0d

Từ đó ta có

12

m 

nên d: 3x 5y 3 0

1 2

M O

Đặt t z z  do z 1 nên điều kiện t   2; 2.

M 

tại

74

t

và m  3 tại t  2Vậy

Tập hợp các điểm N biểu diễn số phức  thuộc đường thẳng : 5x 4y 20 0

Yêu cầu bài toán trở thành tìm điểm M E và N   sao cho MN nhỏ nhất.

Đường thẳng d song song với  có dạng d: 5x 4y c 0, c 20

M A B

Gọi H là điểm chiếu của O lên AB, phương trình AB x: 3y 7 0

, OH: 3x y 0Tọa độ điểm

£ïïî , tập hợp K x y ; 

y  

 

Giả sử z x yi, x y  , .Gọi A B, lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z z1, 2 Suy ra

* Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa MA  3MB  0 OA 3OB4OM

.Gọi Hlà trung điểm AB Ta tính

đượcHI2 R2 HB2 21;IM  HI2HM2  22, suy ra điểm M thuộc đường tròn  C

tâm I3;4

, bán kính r  22

Gọi N là điểm biểu diễn số phức z2 và I2;1

là điểm biểu diễn số phức 2 i Ta có IN 1 Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức  z2 là đường tròn  C

có phương trình: x 22y12 1

 ,  2 2 1

d I AB   , suy ra AB không cắt đường tròn.

Gọi K là hình chiếu của I2;1

lên AB Dễ thấy K nằm trên đoạn thẳng AB Gọi H là giao điểm của đoạn IK với đường tròn  C

Câu 61. Giả sử z x yi x y ,  

.

Câu 63.

Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn số phức z Do z 2 2 i 2

nên tập hợp điểm M là đường tròn

  C : x 22y 22  4

Các điểm A1;1

, B5;2

là điểm biểu diễn các số phức 1 i và 5 2i Khi đó, P MA MB 

Nhận thấy, điểm A nằm trong đường tròn  C còn điểm B nằm ngoài đường tròn  C , mà

17

MA MB AB   Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đoạn AB với  C .

Ta có, phương trình đường thẳng AB x:  4y  3 0

Tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và đường tròn  C

là nghiệm của hệ với 1y5

t t



Từ đó,

Pz z  z  z  z z4z46 2 z41 z4z46 2 z41

Đặt z4  x iy, với ,x y   Do z 1 nên

và 1 x y,  1Khi đó P x iy x iy  6 2 x iy 1 2x6 2 x12y2

Câu 68. Gọi z x y  i, với ,x y R Khi đó M x y ;  là điểm biểu diễn cho số phức z

Theo giả thiết, 5w2 i  z 4  5 w i    2 i  z 45i  2 i w i      z 3 2i

Vậy GTNN của P là bằng 6 đạt được khi z 2 2 3i

Gọi M a b ;  là điểm biểu diễn số phức z a bi  . Đặt I 3; 2, A  1; 2 và B2;5.

Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn  C có tâm I , bán kính R  sao cho biểu thức2

Do đó MA2MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của  C và đoạn thẳng BK.

Câu 70. Gọi M , 1 M , M lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức 2 z , 1 2z , z trên hệ trục tọa độ Oxy Khi 2

đó quỹ tích của điểm M là đường tròn 1  C1 tâm I3; 4, bán kính R  ;1

quỹ tích của điểm M là đường 2 C2

tròn tâm I6;8

, bán kính R  ;1

quỹ tích của điểm M là đường thẳng : 3 d x 2y12 0

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của MM1MM2 2

I I