Đề thi hsg toán 12 hà tĩnh năm học 2019 2020

Có 10 đội tuyển bóng đá quốc gia ở khu vực Đông Nam Á tham gia thi đấu AFF Suzuki Cup 2018 trong đó có đội tuyển Việt Nam và đội tuyển Thái Lan, các đội được chia làm hai bảng, kí hiệu l

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH

SỞ GDĐT HÀ TĨNH – NĂM HỌC 2018 – 2019

MÔN TOÁN TIME: 180 PHÚT

ĐỀ BÀI Câu 1. ( 5.0 điểm)

a Cho hàm số yx3 3mx2 4m2 2 có đồ thị C m

và điểm C1;4

Có bao nhiêu giá trị

nguyên của m để đồ thị hàm số C m

có hai điểm cực trị A B, sao cho diện tích tam giác ABC

bằng 4?

b Có 10 đội tuyển bóng đá quốc gia ở khu vực Đông Nam Á tham gia thi đấu AFF Suzuki Cup

2018 trong đó có đội tuyển Việt Nam và đội tuyển Thái Lan, các đội được chia làm hai bảng, kí

hiệu là bảng A và bảng B, mỗi bảng có 5 đội Việc chia bảng được thực hiện bằng cách bốc thăm

ngẫu nhiên Tính xác suất để hai đội tuyển Việt Nam và Thái Lan nằm ở hai bảng đấu khác nhau

Câu 2. ( 5.0 điểm)

a Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm







b Cho hàm số yf x( ) xác định trên

 có

( 3) 8, (4) , (2)

Biết rằng hàm số y f x'( ) có đồ thị

như hình vẽ bên dưới Hỏi đồ thị hàm

số y| 2 ( )f x  x 1 |2

có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 3. ( 5.0 điểm)

a Cho hình lăng trụ ABC A B C.    có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của A

lên mp ABC

trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA

và BC bằng

3 4

a Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a

b Một cái phễu có dạng hình nón chiều cao của phễu là h Người ta đổ một lượng nước vào phễu

sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu là

3 1

7 2

( hình H ) Ta bịt kín miệng phễu 1

rồi lật ngược phễu lên ( hình H ), gọi chiều cao của cột nước trong phễu ở hình 2 H là k Tính2

k

h

Câu 4. ( 5.0 điểm)

a Cho đồ thị hàm số bậc ba yf x( ) như hình vẽ

Hỏi đồ thị hàm số

2

( ) 2 ( )

y



nhiêu đường tiệm cận đứng?

b Trên sa mạc có một khu đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB 70 km, chiều rộng

10 km

AD  Vận tốc trung bình của xe máy trên khu đất này là 20 km/h , riêng đi trên cạnh

CD thì vận tốc là 40 km/h Một người đi xe máy xuất phát từ A lúc8h sáng và muốn đến B sau 3h nữa Hỏi người đó có thể đến B kịp thời gian không? Xây dựng phương án di chuyển

trên khu đất từ A đến B để hết ít thời gian nhất

Hết

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1. ( 5.0 điểm)

a Cho hàm số yx3 3mx2 4m2 2 có đồ thị C m

và điểm C1;4

Có bao nhiêu giá trị

nguyên của m để đồ thị hàm số C m

có hai điểm cực trị A B, sao cho diện tích tam giác ABC

bằng 4?

Lời giải

TXĐ: D  Ta có:

2

x







Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thì điều kiện là: m 0 (*).

Tọa độ hai điểm cực trị là: A0;4m2 2 , B m2 ; 4 m34m2 2

Phương trình đường thẳng AB: 2m x y2   4m2  2 0

2 2

6 2

;

1 4

m

d C AB

m





 ; AB2 ; 4m  m3 AB 4m216m6 2m 1 4 m4

2 2

ABC

m

m









Vậy có 4 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 1.

b Có 10 đội tuyển bóng đá quốc gia ở khu vực Đông Nam Á tham gia thi đấu AFF Suzuki Cup

2018 trong đó có đội tuyển Việt Nam và đội tuyển Thái Lan, các đội được chia làm hai bảng, kí hiệu là bảng A và bảng B, mỗi bảng có 5 đội Việc chia bảng được thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để hai đội tuyển Việt Nam và Thái Lan nằm ở hai bảng đấu khác nhau

Lời giải

Số phần tử trong không gian mẫu là n( ) C105 252

Gọi C là biến cố: “Hai đội tuyển Việt Nam và Thái Lan nằm ở hai bảng đấu khác nhau”.

TH 1: Đội tuyển Việt Nam ở bảng A, đội tuyển Thái Lan ở bảng Số cách xếp thỏa mãn là

4

C  .

TH 2: Đội tuyển Việt Nam ở bảng B, đội tuyển Thái Lan ở bảngA Số cách xếp thỏa mãn là

4

Số phần tử của biến cố C là n C ( ) 140

Vậy xác suất để hai đội tuyển Việt Nam và Thái Lan nằm ở hai bảng đấu khác nhau là

( )

n

P C

n

Câu 2.

a.Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm







Lời giải







Điều kiện: x y ; 1.

Đặt tlog2019y; 0  t 1

1 2018

t



Phương trình (2)  (1 t)log20192018 tlog20182019 m

Xét f x   (1 t)log20192018 tlog20182019 ;0  t 1

  log20192018 log20182019

f x



  log20192018 log20182019

0

(1 )

f x



2019

0

log 2018



Ta có f  0  log20192018

 1 log20182019

 0 log20192018 log20182019

Yêu cầu bài toán  log20192018m log20192018 log 20182019

Câu 2.

b. Cho hàm số yf x( ) xác định trên  có

( 3) 8, (4) , (2)

Biết rằng hàm số '( )

yf x có đồ thị như hình vẽ bên dưới Hỏi đồ thị hàm số y | 2 ( )f x  x 1 |2

có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải

Tác giả: Tô Minh Trường; Fb: Tô Minh Trường

Đặt g x( ) 2 ( ) f x  x 12

Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số y| ( ) |g x bằng tổng số điểm cực trị của hàm số ( )

yg x và số nghiệm của phương trình g(x) 0 không trùng với điểm cực trị

Ta có.g x'( ) 2 '( ) 2 f x  x1 2[ '( )f x  x 1 ]

Từ đồ thị hàm số yf x'( ) và đường thẳng y  x 1 ta được:

1 1 '( ) 0

2 3

x x

g x

x x







 









 Bảng biến thiên

Ta thấy hàm số yg x( ) có 3 điểm cực trị Theo giả thiết

1

2 9

2

Từ đó suy ra phương trình ( ) 0g x  có 2 nghiệm phân biệt khác các điểm cực trị của hàm số

( )

yg x Vậy hàm số y| 2 ( )f x  x 1 |2

có 5 điểm cực trị

Câu 3.

a Cho hình lăng trụ ABC A B C.    có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của A

lên mp ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA

và BC bằng

3 4

a Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a

Lời giải

Gọi I là trung điểm của BC Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AA.

Ta có BC A G BC ; AI nên suy ra BC AA I   BC IH

4

a

d AA BC IH 

Đặt A G h  Ta có:

2 2

A G AI IH AA h  h   h

Vậy

.

ABC A B C ABC

Câu 3.

b Một cái phễu có dạng hình nón chiều cao của phễu là h Người ta đổ một lượng nước vào phễu

sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu là

3 1

7 2

( hình H ) Ta bịt kín miệng phễu 1

rồi lật ngược phễu lên ( hình H ), gọi chiều cao của cột nước trong phễu ở hình 2 H là k Tính2

k

h

Lời giải

Cho hình chóp như hình vẽ bên.

Đặt SO1 h SO h AO1;  ; 1r CO r1; 

Ta có

SO CO   h r 

Gọi V V lần lượt là thể tích của khối nón tròn xoay khi quay ;1; 2 SA SC quanh trục SO 1

Ta có

2

2

3

2 1

1 3 1 3

t







 

 







Áp dụng kết quả trên ta có :

Thể tích phần chứa nước là

3

1

Suy ra thể tích phần không chứa nước là 2

1 8

V  V

Chiều cao của phần phễu không chứa nước

3

2



1 2

k

h 

Câu 4.

a Cho đồ thị hàm số bậc ba yf x( ) như hình vẽ

Hỏi đồ thị hàm số

2

( ) 2 ( )

y



Lời giải

Tác giả:Lê Thị Mai Hoa ; Fb: Mai Hoa

Xét hàm số:

2

( ) 2 ( )

y



Điều kiện để x2 x có nghĩa khi

0

0

x

x





Vậy: Nếu x a là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (1) thì:

1 0

a a





 

Xét các phương trình:

1)x24x  3 0 x 1 x ( là các nghiệm của tử thức)3

2) x2x  0 x 0 x (là các nghiệm của tử thức).1

3)x  có nghiệm 0 x  1 0

Với x  , ta có: 0

2

( ) 2 ( )

y



  Trường hợp này có một tiệm cận đứng x x1

Với x 1, ta có:

2

( ) 2 ( )

y



 Khi đó nghiệm x  (loại).1 0

4)

 

2

f x

f x







+ Xét f x   0

có 2 nghiệm x  (là nghiệm bội) và 2 3 x  3  1;0

loại Trường hợp này có một tiệm cận đứng: xx2

+ Xét f x   2 có 3 nghiệm gồm x x ( 4; 5 x x  và 3; 4 3 x4  1;x5  ) và 1 x  (loại vì cả6 1

tử và mẫu thức cùng có nghiệm x 1) Trường hợp này có hai tiệm cận đứng: xx x4, x5

Vậy đồ thị có 4 tiệm cận đứng gồm:x , x1 xx2, xx4, xx5

Cách khác

Xét phương trình

 

 

2

0

2

x

f x



Dựa vào đồ thị đề bài ta có:

Phương trình f x   0

có nghiệm kép x  và nghiệm đơn 3 x a   1;0

Do f x 

là hàm số bậc 3 và lim  

x f x

Suy ra f x   x3 2 x a 

Phương trình f x   2 có ba nghiệm phân biệt x  1; ;b c , với c 3;b  3; 1 

Do f x  là hàm số bậc 3 và lim  

x f x

Suy ra f x  2 x1 x b x c    

2 2

y

Khi đó:

  2       

y

  2       

y

  2       

x c x c

y

  2       

x b x b

y

  2       

y

  2       

y



Vậy đồ thị hàm số

2

( ) 2 ( )

y



  có 4 đường tiệm cận đứng x0,x3,x b x c ,  .

Câu 4.

b Trên sa mạc có một khu đất hình chữ nhật ABCD có chiều dàiAB 70 km, chiều rộng

10 km

AD  Vận tốc trung bình của xe máy trên khu đất này là 20 km/h , riêng đi trên cạnh

CD thì vận tốc là 40 km/h Một người đi xe máy xuất phát từ A lúc8h sáng và muốn đến B sau 3h nữa Hỏi người đó có thể đến B kịp thời gian không? Xây dựng phương án di chuyển

trên khu đất từ A đến B để hết ít thời gian nhất

Lời giải

Cách 1.

Trường hợp: xe máy không chạy trên CD, khi đó thời gian ngắn nhất đi từ A đến B là chạy trên

AB suy ra 70 3,5 

20

Trường hợp: xe máy có chạy trên CD Giả sử xe chạy từ A đến B qua EF

Đặt DEx FC, y, 0x y, 70 EF 70 ( x y AE );  x2100;BF  y2100 Khi đó thời gian xe chạy là:

2

y

x y

2

1

x y

)

Xét

2

2

a

; 0 a 70

'

2

2

a

a



a

0

20

3 70

 

h a – 0 +

 

h a

Dựa vào BBT

4

3

min

10 20

3 3

x y

x y a







 Từ 2 trường hợp trên ta có thể kết luận: Sau 3h xe có thể chạy từ A đến B được, với thời gian

3

7 2

( 4

khi

10 3

DE CF 

Cách 2.

KN1: Để đi từ A đến B nếu chỉ di chuyển trên đoạn

AB thì hết số giờ là

70 3,5 20

S t

V

( giờ), vậy trong trường hợp này không thể đến B kịp thời gian sau 3 giờ như yêu cầu bài toán

Vì vận tốc trên khu đất ( trừ cạnh CD) là 20km/h, do đó

chỉ đi theo AB không kịp thời gian thì mọi con đường

khác mà không đi trên CD đều không kịp thời gian

A

D

B

F E

KN2: Để đi từ A đến B và có đi trên cạnh CD

Giả sử đi từ A đến E, từ E đến F và từ F đến B (như hình vẽ) Đặt DE a FC b , 

Khi đó thời gian để di chuyển từ A đến B là

Áp dụng bđt a2 b2  c2d2  (a c )2(b d )2

Ta có

,

dấu “=” xảy ra khi a b

Vậy

2

a b

Đặt a b x  ,(0 x 70)

Xét

2

( )

, 0 x 70

2

2

1

40

20 400

20 3

3

x

x



BBT

x

0

20 3 3

70 f’(x

) – 0 +

2 3 7 4



Vậy GTNN của f(x) là

2 3 7 4



Cách 3:

t  x   y       x y     

Xét

2

Ta có:

2

