Đề thi hsg toán 12 tiền giang năm học 2020 2021

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tiếp tuyến d cắt đồ thị hàm số C m tại điểm B khác A sao cho tam giác OAB vuông tại O O là gốc tọa độ.. Gọi M là trung điểm của AB, E là giao

ĐỀ THI HSG TOÁN 12 – SỞ TIỀN

GIANG –NĂM 2020-2021

Môn: Toán (Vòng 1)

H C H I - ỌC HỎI - ỎI - CHIA SẺ KI N ẾN

TH C ỨC

Thời gian: 1800 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (3,0 điểm)

Cho hàm số yx3  3m1x2 6mx 3m4 C m

, m là tham số thực Gọi d là tiếp tuyến

của đồ thị hàm số C m

tại điểm A có hoành độ bằng 1 Tìm tất cả các giá trị của tham số m

để tiếp tuyến d cắt đồ thị hàm số C m

tại điểm B khác A sao cho tam giác OAB vuông tại

O (O là gốc tọa độ).

Câu 2 (3,0 điểm)

Cho hàm số bậc ba f x ax3bx2cx d a b c d , , , ,   có đồ thị như hình vẽ 

Hỏi đồ thị hàm số

2 2

g x



 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Câu 3 (3,0 điểm)

f x  x x  x

với mọi x   Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số g x f x 210x m 

đồng biến trên khoảng 5;9.

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại B và C , AB4a , CD a , 4

BC  a Gọi M là trung điểm của AB, E là giao điểm của MD và BC Biết rằng chân

đường cao H hạ từ đỉnh S của hình chóp S ABCD là trung điểm của đoạn thẳng AE và

tan

29

SCD 

Tính thể tích của khối chóp S ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt

phẳng SAC

theo a

Câu 5 (3,0 điểm)

Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác cân tại C, đường thẳng BC tạo

với mặt phẳng ABB A 

một góc 60 và AB AA  Gọi a. M N P, , lần lượt là trung điểm của các cạnh BB CC BC, , . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM NP, theo a

Câu 6 (3,0 điểm)

Cho 2 số thực ,x y thay đổi thỏa mãn 2y37y2x 3 x 7 3 x3 2 y21

Tìm giá trị

x

P  y

Câu 7 (2,0 điểm)

Cho hàm số yf x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ

Tìm tất cả các giả trị của tham số m để phương trình

9.6f x  4 f x 9f x  m  3m 4f x

đúng với x  

-HẾT -ĐỀ THI HSG TOÁN 12 – SỞ TIỀN

GIANG –NĂM 2020-2021

Môn: Toán (Vòng 1)

H C H I - ỌC HỎI - ỎI - CHIA SẺ KI N ẾN

TH C ỨC

Thời gian: 1800 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (3,0 điểm)

Cho hàm số yx3  3m1x2 6mx 3m4 C m

, m là tham số thực Gọi d là tiếp tuyến

của đồ thị hàm số C m

tại điểm A có hoành độ bằng 1 Tìm tất cả các giá trị của tham số m

để tiếp tuyến d cắt đồ thị hàm số C m

tại điểm B khác A sao cho tam giác OAB vuông tại

O (O là gốc tọa độ).

Lời giải:

Ta có: x A  1 y A  2

   

2

y x  m x m y 

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C m

tại điểm A là: y3x 1 2 3x 5 Xét phương trình hoành độ giao điểm:

3 3 1 2 6 3 4 3 5

x





Để C m cắt d tại điểm B khác A thì 3m  1 1 m 0

Khi đó: B m3  1; 9m2

Theo đề tam giác OAB vuông tại O thì

3

OA OB    m   m    m   m

( thỏa m  ).0

Vậy

1 3

m 

Câu 2 (3,0 điểm)

Cho hàm số bậc ba f x ax3bx2cx d a b c d , , , ,   có đồ thị như hình vẽ 

Hỏi đồ thị hàm số

2 2

g x



 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Lời giải

 

2

2

4 4

2 0

2

x x

f x f x

f x

 





 

 

1

4 2

5 3

1;0

1

2 2;3

x

x

x x

 













Trong đó x  là nghiệm kép, suy ra: 5 2

  2               2

x  f x  f x    x x x x x x x x x

 ;3 \  1; ; ; 1; 22 3 

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là số điểm mà hàm số không xác định nhưng có lân cận trái hoặc lân cận phải của điểm đó nằm trong tập xác định sau khi rút gọn nhân tử

2

2 0

3

x

x

x







x2 x 2 3 x x 2 x 1 3 x

 

2 2

2

3

g x

x f x f x

g x

x x x x x x x x x

x

g x

x x x x x x x x



Mẫu số có 6 nghiệm, trong đó x  không có lận cận trong tập xác định và 4 x  là1 nghiệm đã được rút gọn nên số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là 4

Câu 3 (3,0 điểm)

Cho hàm số có đạo hàm f x'   x 32x2 5x4

với mọi x   Tìm tất cả các giá trị của

Suy ra

Ta lại có

     2 

g x  x f x  x m

Hàm số g x  đồng biến trên khoảng 5;9  g x'   0, x 5;9

(vì 2x10 0,  x 5;9

)  1 .

Dựa vào bảng xét dấu của f x'  suy ra

2 2

x



 

2 2

x

Vì hai hàm số y1x210x và 1 y2 x210x nghịch biến trên đoạn 4 5;9

Suy ra

 

1 2

2

29 5

m

m y





Vậy m    ;10  29; 

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại B và C , AB4a , CD a , 4

BC  a Gọi M là trung điểm của AB, E là giao điểm của MD và BC Biết rằng chân

đường cao H hạ từ đỉnh S của hình chóp S ABCD là trung điểm của đoạn thẳng AE và

tan

29

SCD 

Tính thể tích của khối chóp S ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt

phẳng SAC

theo a

Lời giải

4a

4a

H

E

M

D

A B

C

S

H

E

M

D C

Ta có

1

,

C D

BE EM BM  a  lần lượt là trung điểm của BE , EM

Xét EMA có H và D lần lượt là trung điểm của AE và EM  DH là đường trung bình của

  Mà CD AB C D H, , thẳng hàng và CD DH a   CH 2a

Xét tam giác SCH vuông tại H có

a

3

* Tính d B SAC ,  

Ta có

3

Xét tam giác SCH có

29

Xét tam giác ABC có AC AB2BC2 4 2a

Ta có

2 5

Xét tam giác SAH có

2 29

2

37 4

Lời giải

 Cách 1:

● Gọi I là trung điểm cạnh A B  thì IC A B IC ABB A

  





 Suy ra BI là hình chiếu vuông góc của BC lên mặt phẳng ABB A 

Khi đó BC,ABB A   IBC 60

● Tam giác IBC vuông tại I có

, 2

a

.tan 60

2

a

IC IB  

IB

BC  a

//

//

NP MQ











d AM NP d NP AMQ d P AMQ d B AMQ d B AMQ

//

QH IC











V  V   S d B AMQ  S QH  ,   AMB.

AMQ

S QH

d B AMQ

S





●

2 1 , 4

AMB ABB A AB A ABM

S S   S   S  a 1 15

a

QH  IC

● Lại có AM IBC  AM BC

; mà QM BC//  AM QM  AMQ vuông tại M Khi đó

1 2

AMQ

S  AM MQ

Tam giác ABM vuông tại B có

,

Tam giác BB C  vuông tại B có

a

MQ BC



2

AMQ

● Suy ra,

2

AMB AMQ



5

a

d AM NP  d B AMQ 

● Gọi I là trung điểm cạnh A B  thì IC A B IC ABB A

  





 Suy ra BI là hình chiếu vuông góc của BC lên mặt phẳng ABB A 

Khi đó BC,ABB A   IBC 60

Tam giác IBC vuông tại I có

, 2

a

.tan 60

2

a

IC IB  

● Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ thì

15

B  A  C 

15

B a A  a C  a

Mà M N P, , lần lượt là trung điểm của các cạnh BB CC BC, , nên

M  N  P 

Có

AM a  NP    AP 

Do đó

5 ,

d AM NP

AM NP

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

 

Câu 6 (3,0 điểm)

Cho 2 số thực ,x y thay đổi thỏa mãn 2y37y2x 3 x 7 3 x3 2 y21

Tìm giá trị

x

 3 2       3    3

2 y  3y 3y1  y1 2 3 x 3 x 3 x 2 y1  y1 2 3 x  3 x

Mặt khác theo điều kiện xác định x  suy ra 3 2 3 x3 3 x 0

Vậy 2y13y1 0 y1 0  y1

Xét hàm số f t  2t3 với 0t t  là hàm số đồng biến trên tập xác định vì

  6 2 0 0

f t  t    t

Do vậy

2 y1  y1 2 3 x  3 x  f y1 f 3 x  y1 3 x x 3 y1

 x 2 2y y 2

Mặt khác

2

y y

g y     g y  y   y

Vậy maxP  khi 15 y4;x6

Câu 7 (2,0 điểm)

Cho hàm số yf x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ

Tìm tất cả các giả trị của tham số m để phương trình

9.6f x  4 f x 9f x  m  3m 4f x

đúng với x  

Lời giải

Dựa vào đồ thị của hàm số yf x  ta nhận thấy: f x  2,    x

Ta có:

 

 

9.6f x  4 f x 9f x  m  3m 4f x ,  x

 

 

 

2

 

 

 

2 2

F x      f x  

Vì f x   2

nên suy ra 4 f2 x  với x0   

Từ đó suy ra  

 

 

2

f x



Vậy maxF x   4

 đạt tại f x  2 x 2

1

m

m







