Đề thi hsg toán 12 nam định năm học 2019 2020

Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong haihình tròn, đáy trùng với hình tròn còn lại.. Tính khoảng cách giữa  P ,  Q để diện tích xungquanh của hình nón là lớn nhất... Do

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

Môn: Toán TN (Bài độc lập) Lớp: 12

Thời gian làm bài: 60 phút

Câu 1 [2D3-2.1-1] Cho hàm số y=f (x) liên tục trên R và thỏa mãn

x

x x

x x

MK  AH

.Lại do N là trung điểm của CD nên 1  2

.Tương tự ta cũng suy ra được 2

14

Câu 5 [2H1-3.3-2] Cho hình hộp ABCD A B C D.  '   Gọi 'O là giao điểm của AC và BD Tính tỷ số

giữa thể tích khối chóp .O A B C D '   và thể tích khối hộp ABCD A B C D.  '  

Lời giải

Tác giả:Lánh Vũ Thị Ngọc

O A B C D ABCD A B C D

V V

    

   



Câu 6 [1D3-3.3-1] Cho cấp số cộng  u n có u 1 3, công sai d 3 Hãy chọn khẳng định đúng

Câu 7 [2D1-5.3-2] Cho hàm số yf x  xác định trên D \1;1 , liên tục trên mỗi khoảng xác

định và có bảng biến thiên sau:

Tìm điều kiện cần và đủ của tham số m để đường thẳng :d y2m cắt đồ thị hàm số1

Đường thẳng :d y2m cắt đồ thị hàm số 1 yf x  tại hai điểm phân biệt khi

Vậy nghiệm còn lại của phương trình là x 1

Câu 9 [2D1-5.6-1] Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x42x2 song song với trục hoành là:

là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số yx42x2

Do tiếp tuyến song song trục hoành: y 0 f x 0 0

Vậy giá trị cực tiểu của hàm số

x x

Vậy: Hàm số nghịch biến trên 1;3

Câu 12 [1D2-2.1-1] Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số

Câu 13 [2H3-1.1-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm , ,C, A B với M1; 2;2 

là trung điểm BC Biết AB 0;1; 2 

2 4

x y

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2.

Câu 15 [2H2-1.1-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho một hình trụ có tọa độ hai tâm của

hai đáy lần lượt là I(1;2;3)và J(2;3; 4) Biết rằng bán kính đáy của hình trụ là R 43 Tính

Chiều cao khối trụ: h IJ  2 1 23 2 24 3 2  3

Vậy thể tích của khối trụ : V R h2  43 2 3 3 

Câu 16 [2D2-4.3-1] Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập xác định của nó?

  nên nghịch biến trên tập xác định của nó.

Vậy hàm số không xác định tại 2 giá trị nguyên của x

Câu 18 [2D3-2.1-2] Cho hàm số f x  coslnx

 là hình chiếu vuông góc của điểm A trên  P

 đường thẳng AM đi qua A và có vectơ chỉ phương chính là vectơ pháp tuyến của  P là

2; 2;1

AM

u n 

AB AC

,2

Câu 21 [2D1-1.5-3] Gọi S là tập các giá trị nguyên của m sao cho hàm số

3 2

1

20183

y x  x mxnghịch biến trên khoảng 1; 2

và đồng biến trên khoảng 3; 4

Tính số phần tử của S

Lời giải Chọn C

Tập xác định D 

Ta có y x2 2x m ,   x

Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 2 và đồng biến trên khoảng 3; 4 khi và chỉ khi phương

trình y  có hai nghiệm phân biệt 0 x , 1 x thỏa mãn 2 x1  1 2 x2  Điều này xảy ra khi và3chỉ khi

m m m

Câu 22 [2H2-4.1-3]Cho hai mặt phẳng  P ,  Q song song với nhau cắt khối cầu tâm O , bán kính R

tạo thành hai hình tròn cùng bán kính Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong haihình tròn, đáy trùng với hình tròn còn lại Tính khoảng cách giữa  P

,  Q

để diện tích xungquanh của hình nón là lớn nhất

2 33

Lời giải Chọn A

;04

x   

  : y  0 x2 sin 2x x0

1sin 2

+)Trường hợp 1 m  : 0 y 2019, hàm số không có điểm cực trị nên m  không thỏa mãn.0

+) Trường hợp 2 m  : Hàm số đã cho là hàm trùng phương.0

Hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi m m 2m 0

a

a b b

Câu 26 [2H2-2.2-2] Cho tứ diện ABCD có bốn mặt là tam giác vuông và cạnh lớn nhất có độ dài bằng

2a Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Giả sử BD2a là cạnh lớn nhất Do bốn mặt của tứ diện ABCD là các tam giác vuông nên

các tam giác ABD và CBD là các tam giác vuông cạnh huyền BD

Do đó BAD BCD 90 nên A B C D, , , thuộc mặt cầu đường kính BD.

Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là R 2 a

a b c

Câu 28 [2D1-2.5-3] Hàm số trùng phương yf x  x4ax2 có giá trị cực tiểu bằng b 2 và giá trị

cực đại bằng 4 Tìm điều kiện cần và đủ của m để f x   có đúng hai nghiệm thực phânm

Từ giả thiết ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện cần và đủ của m để f x   có đúng hai nghiệm m

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số thực dương:

Vậy minP  khi 10 2 2

Lấy đối xứng phần đồ thị trên đoạn 0; 2

của hàm số y x 2 2x qua trục hoành Ta nhận thấy phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành khi quay sẽ “nằm” trong phần giới hạn bởi đồ thị hàm số

2

4

y  x và trục hoành

Khi đó, ta có thể tích của vật thể cần tìm là:

17

m x

m





Do đó theo yêu cầu bài toán thì đồ thị hàm số phải có 2 đường tiệm cận đứng

Ta thấy x  không là nghiệm của phương trình 0 17x21 m x  Do đó để đồ thị hàm số 0

có 2 tiệm cận đứng thì phương trình 17x21 m x  có 2 nghiệm phân biệt.0

Câu 33 [2H1-3.6-3] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 6 Biết rằng các

mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng 3 2 Tính thểtích nhỏ nhất của khối chóp S ABC

Lời giải Chọn C

Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng ABC

, M N P lần lượt là hình chiếu của H , ,trên AB BC CA, , Khi đó SM SN SP, , lần lượt là các đường cao của các mặt bên

Vì các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau nên SM SN SP Do đó

HM HN HP Như vậy H là tâm đường tròn nội tiếp hoặc bàng tiếp tam giác ABC + TH1: H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Khi đó hình chóp S ABC là hình chóp

đều có cạnh đáy bằng 6 , cạnh bên bằng 3 2

Câu 34 [2H3-3.3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1; 2;0 

Số điểm M nằm trên mặt phẳng  P sao

cho tứ giác MABClà hình thang đáy BClà

Lời giải Chọn A

Gọi d là đường thẳng qua Avà song song với BC

Suy ra dcó một vectơ chỉ phương là u  1;3; 1 

Phương trình tham số của1

Vì MABClà hình thang đáy BCnên MA/ /BC Md

Vậy không có điểm M thỏa mãn bài toán.

Câu 35 [2D2-4.7-2] Với mọi giá trị của a0,a1 , đồ thị hàm số y a x2 luôn đi qua điểm cố định

A và đồ thị hàm số ylog 4a  x luôn đi qua điểm cố định B Tính độ dài đoạn thẳng AB

1

Lời giải Chọn B

Dễ thấy đồ thị hàm số y a x2 luôn đi qua điểm cố địnhA2;1

Đồ thị hàm số ylog 4a  x

luôn đi qua điểm cố địnhB3;0

.Khoảng cách giữa hai điểm AB là: AB  3 2 20 1 2  2

12 21

d1

   

2 2 1 1

Câu 37 [1H3-4.3-3] Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC, đáy ABC là tam

giác vuông cân tại B, AC a 2 Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và K là hình chiếu

vuông góc của đỉnh A trên cạnh SC Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ABC

2

 

2cos

2

 

3cos

2

 

3cos

3

 

Lời giải Chọn D

Cách 1: Theo công thức hình chiếu

I N

Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên SB , ta dễ chứng minh được AM SBC hay

Do đó tam giác SAB vuông cân tại A nên M là trung điểm của SB suy ra G AM

Gọi N, I lần lượt là hình chiếu của M , Ktrên mặt phẳng ABC

, khi đó góc  giữa hai mặtphẳng ABC

 

.Tam giác SAC có AK là đường cao nên tính được

23

Tam giác AKC vuông tại K  AK2 AI AC.

23

cos

33

12

ANI AMK

a S

I A

C B

S

K

M G

Các điểm M K, xác định như cách 1, kéo dài MK cắt BC tại J

3

AI AK

  

Cách 3 : Theo định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng

Ta dễ chứng minh được SAABC, SCAGK suy ra góc  giữa hai mặt phẳng ABC

Lời giải Chọn B

Ta có n    8!

.Gọi số được lấy từ A có dạnga a a a 1 2 8

Vì 2222 2.1111 , hơn nữa 2 và 1111 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên

8 22

2222

1111 1111

a a

Lại có a a a a 1 2 810000.a a a a1 2 3 4a a a a5 6 7 89999.a a a a1 2 3 4a a a a1 2 3 4a a a a5 6 7 8

suy ra

a a a a1 2 3 4a a a a5 6 7 89999

.Nhưng vì 2000a a a a1 2 3 4a a a a5 6 7 818000 nên a a a a1 2 3 4a a a a5 6 7 89999 hay

Ba bộ còn lại a a1; 5 , a a2; 6 , a a3; 7có thể hoán vị cho nhau, đồng thời hai phần tử trong

mỗi bộ có cũng có thể hoán vị cho nhau nên có tất cả 3! 2! 3 cách chọn.

2 ( )

4 12

0

6 ( )2

Phương trình

2 12

22

Câu 40 [2H1-3.3-2] Một khối lập phương có thể tích gấp 24 lần thể tích của một khối tứ diện đều Hỏi

cạnh khối lập phương gấp bao nhiêu lần cạnh của tứ diện đều

Lời giải

Tác giả: Vũ Thị Hồng Lê; Fb: Lê Hồng

Chọn D

Gọi cạnh của khối lập phương là a , cạnh của tứ diện đều là b

Thể tích của khối lập phương là: V1 a3

Thể tích của khối tứ diện đều là:

3 2

212

b

V 

.Theo giả thiết khối lập phương có thể tích gấp 24 lần thể tích của khối tứ diện đều nên ta có:

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

Môn: Toán TL (Bài độc lập) Lớp: 12

Thời gian làm bài: 75 phút

Câu 1. Cho hàm số

32







x y

x có đồ thị  C và điểm O0;0  Tìm tất cả các giá trị của tham số m đểđường thẳng d y: 2x3m

cắt  C tại hai điểm phân biệtA và B thỏa mãn trọng tâm G

của tam giác OAB thuộc đường thẳng : 2x y m  30

Đường thẳng d cắt đồ thị  C tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai

nghiệm phân biệt

2

2(1)

m m

Câu 2 1) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số thỏa mãn không có số nào lặp lại đúng 3 lần.

2) Giải phương trình 2log 5 x3 x

x x

.Suy ra phương trình f t   0

có nhiều nhất hai nghiệm trên khoảng 0;

.Nhận thấy f  1  và 0 f log 32  nên phương trình (3) có đúng hai nghiệm trên 0 0;

• Với t 1 thì x 2

• Với t log 32 thì x 3.

ln 2 3 8 20 12 ln 2

y x

x y

nên

112



  Nên  3  f  x1 2  x 3  f x 1

32

Câu 4. Cho hình chóp S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , đáy ABCD là hình thang

vuông tại A và B , AD3BC3a , AB a ,SA a 3 Gọi M là trung điểm SD và I thỏa

mãn AD 3AI

a Tính thể tích của khối tứ diện CDMI Tính góc giữa hai đường thẳng AM và SC

b Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của A trên các cạnh SB , SC Gọi H là giao điểm của SI

và AM Tính thể tích của khối nón có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác EFH và đỉnh thuộc

 Suy ra ABCI là hình vuông.

Diện tích của tam giác CDI là

2

1.2

.Suy ra SHA  900 ( H là giao điểm của SI và AM ) Do đó SI AM  2

Từ  1

và  2 suy ra AM SIC AM SC

.Vậy góc giữa hai đường thẳng AM và SC bằng 90o

đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH là trung điểm K của đoạn AF

Gọi K là trung điểm của đoạn AC

Vì KK//FC và SC//AEFH

nên KK EFH hay K là đỉnh của hình nón đang cần xét.

Trong tam giác SAC , có:

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Minh; Fb:Minh Văn Nguyễn

Khi x y z, , dương thì

P t t

.Xét hàm số   2 1 4

maxP 

khi t 1 y z 1

112