Đề thi hsg toán 12 tp hcm (2) năm học 2020 2021

Tìm giá trị lớn nhất của tung độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.. a Tính theo a thể tích của hình lăng trụ đã cho.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P2loga c5logc b10logb a... Tìm g

-ĐỀ THI HSG TOÁN 12 – TP-HCM

NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn: Toán

H C H I - ỌC HỎI - ỎI - CHIA SẺ KI N ẾN

Câu 1: (4 điểm)

Giải phương trình log5x2log3xlog2018x2015log2019x2016

Câu 2: (4 điểm)

Cho hàm số f x  x3 3x và hai số thực ,a b thỏa mãn điều kiện

2019

log

2018 b 1

a   ; flog2018a 2 f log2019b

Tính log2019a b 

Câu 3: (4 điểm)

Cho hàm số yx212

có đồ thị  C

Xét điểm M di chuyển trên  C

và có hoành độ

 1;1

m  

Tiếp tuyến của  C

ở M cắt  C

tại hai điểm ,A B phân biệt và khác M Tìm giá

trị lớn nhất của tung độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

Câu 4: (5 điểm)

Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân ở ' ' ' A với BC2a

và hình chiếu của A' lên mặt phẳng ABC

trùng với trung điểm BC Biết rằng diện tích của tứ

giác BCC B bằng ' ' 2

6a

a) Tính theo a thể tích của hình lăng trụ đã cho.

b) Tính theo a thể tích của hình trụ nhỏ nhất có hai đáy lần lượt nằm trên hai mặt phẳng ABC

, A B C' ' '

và chứa toàn bộ bằng trụ đã cho bên trong

Câu 5: (3 điểm)

Cho các số thực a b c , , 1; thỏa mãn a10  và logb a b2logb c5logc a12

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P2loga c5logc b10logb a

-HẾT -HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI ĐỀ THI HSG TOÁN 12 – TP -HCM - NĂM

HỌC 2020-2021

H C H I - ỌC HỎI - ỎI - CHIA SẺ KI N ẾN

Câu 1: (4 điểm)

Giải phương trình log5x2log3xlog2018x2015log2019x2016

Lời giải

 ĐK: x 0

 Ta có:

log x2 log xlog x2015 log x2016

log x 2 log x log x 2015 log x 2016 0

Đặt f x log5x2log3x log2018x2015 log2019x2016

 Tập xác định D 0; 

 

2 ln 5 2016 ln 2019 ln 3 2015 ln 2018

2016 ln 2019 2 ln 5 2015 ln 2018 ln 3

0, 0

2 2016 ln 2019.ln 5 2015 ln 2018.ln 3

f x

x

 

f x

 đồng biến trên 0;

Suy ra phương trình có tối đa một nghiệm, mà f  3  0

 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  3

Câu 2: (4 điểm)

Cho hàm số f x  x3 3x và hai số thực ,a b thỏa mãn điều kiện

2019

log

2018 b 1

a   ; flog2018a 2 f log2019b

Tính log2019a b 

Lời giải

 Xét hai số u v 0 và đặt u v t  với t 0 Ta có

    3 3 3 3  3 3 3 3 2 3 2 3 3

f u  f v u  u v  v v t  v  t  vt  v t t  t

 Vì v 0 nên 3vt23v t t2  3 3t t 3 3t  2 t1 2 t22

 Do đó ta luôn có f u  f v  2

và đẳng thức xảy ra khi u1,v0

 Mà 2019

log

 Lại cóf log2018a 2 f log2019b f log2018a f log2019b 2

suy ra 2018

2019

log 1 2018

log 0 1



  



Vậy log2019a b  1

Câu 3: (4 điểm)

Cho hàm số yx212

có đồ thị  C Xét điểm M di chuyển trên  C và có hoành độ

 1;1

m  

Tiếp tuyến của  C

ở M cắt  C

tại hai điểm ,A B phân biệt và khác M Tìm giá

trị lớn nhất của tung độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.

Lời giải

Ta có:M m m ; 2 12,m  1;1

y x x   y m  m m 

Phương trình tiếp tuyến của  C

tại M là: y4m m 21 x m m212

Xét phương trình hoành độ giao điểm của  và C

:

x212 4m m 21x 3m42m21

2 3 2 0

2 3 2 0 *

x m





       

   



 Ta có: '* 2m2 2 0,  m  1;1

 Đồng thời: m2 2 m m3m2 2 0  2m2 2 0,   m  1;1

 Với m   1;1

, phương trình  *

luôn có hai nghiệm phân biệt x x khác m 1, 2

 Khi đó, giả sử   2 2   2 2

A x x  B x x 

 Theo Vi – et:

2

1 2

2 3 2

 





 

 Tung độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là

k   x   x    x x  x x 

1

2

1

2

 

1

2

 

7 6 1, 1;1

     

Có

3

0

28 12 0 3

7

m

m







     



 .

 Bảng biến thiên

 Vậy  1;1

3 16 max

7 7

k k



 

  

 

Câu 4: (5 điểm)

Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân ở ' ' ' A với BC2a

và hình chiếu của A' lên mặt phẳng ABC

trùng với trung điểm BC Biết rằng diện tích của tứ

giác BCC B bằng ' ' 2

6a

a) Tính theo a thể tích của hình lăng trụ đã cho.

b) Tính theo a thể tích của hình trụ nhỏ nhất có hai đáy lần lượt nằm trên hai mặt phẳng ABC

, A B C' ' '

và chứa toàn bộ bằng trụ đã cho bên trong

Lời giải

 Gọi M là trung điểm BC 2

BC

    

 Suy ra M là hình chiếu của A' lên mặt phẳng ABC

Mà AM BC ( ABC là tam giác vuông cân ở A)

AA M'  BC AA' BC

'/ / '

AA BB

 nên BB'BC BCC B' ' là hình chữ nhật

 Diện tích của hình chữ nhật BCC B bằng ' ' 2

6a

2

BCC B

' ' ' 3

   

 Ta có: A M' ABC A M' AM  AA M' vuông tại M .

 2

 ABC là tam giác vuông cân ở A với BC2a AB AC a  2

2

ABC

 Thể tích của lăng trụ là:

 V ABC A B C ' ' 'S ABC 'A M a2.2 2a2 2a3

b) Tính theo a thể tích của hình trụ nhỏ nhất có hai đáy lần lượt nằm trên hai mặt phẳng

ABC, A B C' ' ' và chứa toàn bộ bằng trụ đã cho bên trong

Gọi ,N P là hình chiếu của ', ' B C lên mặt phẳng ABC

suy ra ABC A B C' ' 'MNP

 Gọi I là trung điểm NP 2

NP

    

;AI AM MI 2a

* Hình trụ nhỏ nhất có hai đáy lần lượt nằm trên hai mặt phẳng ABC

, A B C' ' '

và chứa toàn

bộ bằng trụ đã cho bên trong khi và chỉ khi mặt đáy là hình tròn đi qua tam giác ANP

 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP  O AI NP

 Đặt OA x  OI 2a x

 2

4

a

OA ON  x a  a x  a  ax  x

 Diện tích đường tròn đáy là:

5 25

4 16

  

 

 Thể tích của hình trụ là:  

25 25 2 ' 2 2

O

Câu 5: (3 điểm)

Cho các số thực a b c , , 1; thỏa mãn a10  và logb a b2logb c5logc a12

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P2loga c5logc b10logb a

Lời giải

 Đặt xlog ;a b y log c;b zlogc a

 Nhận xét:

Vì a b c , , 1;

suy ra x y z , , 0 (1)

log log loga b c loga 1

x y z b c a x y z a x y z (2)

Vì 1 a 10 b suy ra xloga bloga a10  x10 (3)

loga b2logb c5logc a12 x2y5z12 (4)

 Ta có:

2 5 10 2 5 100 90

P

      

 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho bộ ba số dương

2 5 100 , ,

z y x

  ta có:

3

2 5 100 1000 2 5 100

z y x  xyz  zy x  (theo nhận xét (2))

 Mặt khác theo (3):

x

Suy ra: P30 9  P21

 VậyP  min 21

 Dấu " " xảy ra khi

1 10

2 5 100 1

2 1

2 5 12

5

y









   

    



 Suy ra

log 10

1 log

2 1 log

5

a b

c

b

a



 





   









