Đề thi hsg toán 12 tp hcm (1) năm học 2019 2020

5 điểm Cho AB là một dây cố định khác đường kính của đường tròn  O cố định.. Gọi M là trung điểm của cung nhỏ AB.. Xét đường tròn  O thay đổi tiếp xúc với đoạn thẳng AB và tiếp xú

Trang 1

S n ph m c a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ủa Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG HCMngày thi th nh t n ứ nhất n ất n ăm 2019-T 1 ổ 1

ĐỀ HSG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN TOÁN (NGÀY THI THỨ NHẤT)

TIME: 180 PHÚT

Câu 1 (5 điểm) Xét dãy số  a n

xác định bởi a1 3, a2 7 và a n2 3a n1 a với 1,2,3, n n a) Chứng minh rằng

2

142

7 7  7  3

n n

a

,  n 1, 2,3,

b) Với mỗi n1, đặt 1 2 2 3 1



n

n n

b

a a a a a a Chứng minh rằng dãy số  b n

có giới hạn hữu hạn khi  n và tìm giới hạn đó

Bài 2. Cho đa thức bậc ba P x  x3 3x

a) Chứng minh rằng tồn tại các số thực a b c, , đôi một phân biệt sao cho

  ,   ,  

P a b P b c P c  a

b) Giả sử tồn tại 3 bộ số thực a b c i, ,i i

với i 1,3 gồm 9 số đôi một phân biệt sao cho

 i i,  i i,  i i

P a b P b c P c  với a i 1,3 Đặt S i a ib c i i với i 1,3

Chứng minh rằng S12S22S32 S S1 2S S2 3S S3 1

Bài 3 ( 5 điểm)

Cho AB là một dây cố định khác đường kính của đường tròn  O

cố định Gọi M là trung điểm của cung nhỏ AB Xét đường tròn  O

thay đổi tiếp xúc với đoạn thẳng AB và tiếp xúc

trong với  O

( sao cho O khác phía với M so với đường thẳng AB ) Các đường thẳng qua

M vuông góc với O A  , O B  cắt đường thẳng AB lần lượt tại các điểm , C D

a) Chứng minh rằng AB2CD

b) Gọi T là một điểm thuộc  O

sao cho ATB   Tiếp tuyến của 90  O tại T cắt đoạn AB tại N và đường thẳng MN cắt  O

tại K khác M Vẽ đường tròn qua M K và tiếp xúc, ngoài với  O

tại S Chứng minh rằng điểm S luôn di động trên một đường tròn cố định khi

 O

thay đổi

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy hai điểm nguyên (hoành độ và tung độ là các số,

nguyên) ,A B được gọi là “thân thiết” với nhau nếu , A B khác O và 1 OA OB   1

với O là

gốc tọa độ

a) Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm nguyên M x y với ( , ) x 19, y 19

thỏa mãn điểm M và điểm

(3;7)

N “thân thiết” với nhau?

Trang 2

 HẾT 

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HSG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN TOÁN(NGÀY THI THỨ NHẤT)

TIME: 180 PHÚT

Câu 1 (5 điểm) Xét dãy số  a n xác định bởi a1 3, a2 7 và a n2 3a n1 a với 1,2,3, n n

a) Chứng minh rằng

2

142

7 7  7  3

n n

a

,  n 1, 2,3,

b) Với mỗi n1, đặt 1 2 2 3 1



n

n n

b

a a a a a a Chứng minh rằng dãy số  b n có giới hạn

hữu hạn khi  n và tìm giới hạn đó

Lời giải

Tác giả: Hà Lê , Phạm Thị Phương Thúy; Fb: Ha Le , thuypham

Kiến thức sử dụng: Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là phương trình sai phân dạng:

1 

u , u2  , au n 1bu ncu n 1 f n  với *

  n Nếu   là hai nghiệm thực khác 1, 2

nhau thì u n A1n B2n, trong đó ,A B được xác định khi biết u u 1, 2

Ta có: a n2 3a n1 a n  a n2 3a n1a n 0.

Xét phương trình đặc trưng của dãy  a n là x2 3x 1 0 với hai nghiệm 1

2

x

,

2

x

thỏa mãn 12  , 3  1 2  1 Khi đó ta có a n A1nB2n

Với n1 ta có a1A1B2  A1B2 3 1 

Với n2 ta có 2 2 2 2  

2  1  2  1  2 7 2

Từ (1) và (2) suy ra A1,B1 và a n 1n 2n  n 1.

Ta có

 2

     

n n n

a

n

Đặt

Có   1, 2 0;1

và 1 2 1 2

1 1,

49

     

,

2

7   7  

n n n

a

n

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 2

Trang 3

n

a

1

1 142 7

2

1

7

1

 n (đpcm).

b) Trước hết ta chứng minh a a n n2 a n21 5 với mọi n1 (bằng phương pháp quy nạp).

Với n1 mệnh đề đúng

Giả sử mệnh đề đã cho đúng với n k k,k 1

, ta có a a k k2 a k215

Ta chứng minh mệnh đề đúng với n k  Thật vậy:1

(đpcm)

Ta có

2



i

Ta có thể định nghĩa thêm a0 2 thì dãy số vẫn thỏa mãn hệ thức truy hồi

Từ đó

, 1



n

Theo câu a) ta có a n 1n2n,n Suy ra 1

lim

2

 







n n n

a

Vậy

lim

 

n

n b

(đpcm)

Bài 2. Cho đa thức bậc ba P x  x3 3x

a) Chứng minh rằng tồn tại các số thực a b c, , đôi một phân biệt sao cho

  ,   ,  

P a b P b c P c  a

 i i,  i i,  i i

P a b P b c P c  với a i 1,3 Đặt S i a ib c i i với i 1,3

Chứng minh rằng S12S22S32 S S1 2S S2 3S S3 1

Lời giải

a) Giả sử a b c, , là bộ 3 số thực đôi một phân biệt thỏa mãn P a  b P b,   c P c,    a

Xét a2cos với 0; khi đó b P a   P2cos 8cos3 6cos 2 cos3

  2cos3  2cos9

c P b P    a P c   P2cos9 2cos 27

Trang 4

Từ đó ta cần có 2cos 2cos 27  27k2

13 14

k

k Z k















 

Vậy chọn a 2cos13





thì

3 2cos 13

,

9

2 cos 13

ta được bộ 3 số thực a b c, , đôi một phân biệt thỏa mãn bài toán

 i i,  i i,  i i

P a b P b c P c  với a i 1,3 Đặt S i a i b c i i với i 1,3

Chứng minh rằng S12S22S32 S S1 2S S2 3S S3 1 Giả sử S12S22S32 S S1 2S S2 3S S3 1 S1 S2 S3 d

Xét đa thức Q x  x P x P P x    d

suy ra Q x  là đa thức bậc 9.

Ta có: Q a 1 a1P a 1 P P a  1  d a1b1P b 1  d a1b1c1 d S1 d 0

 1 1  1   1  1 1 1

Q b  b P b P P b  d b c  a  d S1 d  0

 1 1  1   1  1 1 1

Q c  c P c P P c  d c a b d S1 d  0

Suy ra a b c là 3 nghiệm phân biệt của phương trình 1, ,1 1 Q x   0

Tương tự, a b c và 2, ,2 2 a b c cũng là các nghiệm phân biệt của phương trình 3, ,3 3 Q x   0

hay phương trình Q x   0

có 9 nghiệm thực phân biệt có tổng bằng 3d

Mặt khác, Q x  x x3 3xx3 3x3 3x3 3x

hay Q x x9 9x727x5 29x37x

suy ra Q x 

không chứa x8 nên theo định lí viét thì phương trình Q x   0

có tổng các nghiệm bằng 0 hay 3d  0 d  0  Q x  có một nghiệm bằng 0, mà 0 P 0  mâu 0 thuẫn với giả thiết P a i b P b i,  i c P c i,  i  Vậy a i 2 2 2

S S S S S S S S S

Bài 3 ( 5 điểm)

Cho AB là một dây cố định khác đường kính của đường tròn  O

cố định Gọi M là trung điểm của cung nhỏ AB Xét đường tròn  O

thay đổi tiếp xúc với đoạn thẳng AB và tiếp xúc

trong với  O

( sao cho O khác phía với M so với đường thẳng AB ) Các đường thẳng qua

M vuông góc với O A  , O B  cắt đường thẳng AB lần lượt tại các điểm , C D

a) Chứng minh rằng AB2CD

Trang 5

b) Gọi T là một điểm thuộc  O

sao cho ATB   Tiếp tuyến của 90  O tại T cắt đoạn AB tại N và đường thẳng MN cắt  O

tại K khác M Vẽ đường tròn qua M K và tiếp xúc, ngoài với  O tại S Chứng minh rằng điểm S luôn di động trên một đường tròn cố định khi

 O

thay đổi

Lời giải

y

x

S'

K

N

T

D C

O'

F

M

A

O

B E

Lời giải

a) Gọi ,E F lần lượt là tiếp điểm của  O

với  O

và AB

Cách 1: Ta sẽ chứng minh EF đi qua M

Cách 1.1 Do OM O F//  nên EOM EO F Do đó

Suy ra EF đi qua M .

Cách 1.2 Giả sử EA EB cắt O ở , X Y, .

Khi đó, dễ thấy rằng XY AB// Ta có AF2 AX AE BF. , 2 BY BE. nên

Do đó, EFlà phân giác của AEB nên EF đi qua M .

Tiếp theo, vì FAM EAM nên

Xét đường tròn điểm A và đường tròn  O

thì từ đẳng thức trên, ta thấy M có cùng phương tích đến

Trang 6

Do đó, CA2 CF2 nên CA CF

Tương tự thì DB DF nên AB2CD

Cách 2: Ta có

tan tan

O F O F



b) Ta sẽ chứng minh M S T, , thằng hàng và MS MT. MA2 MB2

Cách 1 Gọi S là giao điểm của đường thẳng TM với  O S ,   T

Lúc đó MS MT. MF ME MA.  2 MN MK. nên tứ giác NKTS nội tiếp

Gọi xS y là tiếp tuyến của  O

tại S, ta có xy S M,   S TN S KM

suy ra xy cũng là tiếp tuyến của đường tròn MKS

Do đó MKS

tiếp xúc với  O

Suy ra S  Suy ra S M S T, , thẳng hàng và MS MT. MA2 MB2 (2 điểm)

Cách 2 Ta thấy rằng với mọi điểm E o O F; oAB

sao cho E F đi qua o o M thì chứng minh

tương tự trên, ta đều có MA2 =MB2 =ME MF o o

Xét phép nghịch đảo  tâm M , phương tích MA thì: 2

 

,



  

Ảnh của TN qua  sẽ là một đường trong đi qua M và tiếp xúc với  O

Chú ý rằng

: N K

  nên ảnh của TN là MSK

Suy ra S T hay M S T, , thẳng hàng và

Tiếp theo, bằng cách xét tam giác đồng giác, ta có SAM ATS SBM, BTS nên

SAM SBM  

Xét tứ giác AMBS có AMB  không đổi và tổng SAM SBM  90nên ASB270,

chứng tỏ S luôn thuộc cung chứa góc 270  dựng trên AB Ta có đpcm

(1 điểm)

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, hai điểm nguyên (hoành độ và tung độ là các số

nguyên) A B, được gọi là “thân thiết” với nhau nếu A B, khác O và 1 OA OB   1

với O là

gốc tọa độ

a) Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm nguyên M x y( , ) với x 19, y 19 thỏa mãn điểm M và điểm (3;7)

N “thân thiết” với nhau?

Trang 7

b) Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu điểm nguyên đôi một “thân thiết” với nhau?

Lời giải

a) Ta có điều kiện  1 3x7y1 nên có ba trường hợp:

(1) Nếu 3x7y0 thì ( , ) ( 7 ,3 )x y   t t với t  thỏa mãn Xét hệ ràng buộc sau

19 7 19

19 3 19

t

t t



   



 và t  nên có tất cả 0 4 điểm

(2) Nếu 3x7y1 thì ( , ) ( 2 7 ,1 3 )x y    t  t với t  thỏa mãn Xét hệ ràng buộc

19 2 7 19

19 1 3 19

t

t t



   



(3) Nếu 3x7y1 thì ( , ) (2 7 , 1 3 )x y   t   t với t  thỏa mãn Xét hệ ràng buộc

19 2 7 19

19 1 3 19

t

t t



   



   

Vậy tổng số điểm nguyên thỏa mãn là 4 6 6 16.  

b) Gọi điểm đã cho là ( ; )A a b với , i i i a b i i,i1,n và a i2b i2 0.

Ta có a a i k b b i k  với mọi 1 i k Ta thấy rằng:

- Có tối đa hai điểm thuộc trục Ox là (1;0) và ( 1;0).

- Có tối đa hai điểm thuộc trục Oy là (0;1), (0; 1).

Ta sẽ chứng minh rằng có không quá 2 điểm không thuộc cả Ox Oy, Giả sử ngược lại rằng có ba điểm như thế thỏa mãn đề bài là A a b A a b1( , ),1 1 2( , ), ( , ).2 2 A a b Ta có hai trường hợp:3 3 3

(1) Nếu có hai điểm thuộc cùng một góc phần tư, giả sử là A A thì các số 1, 2 a a cùng dấu, các số1, 2

1, 2

b b cũng cùng dấu nên a a1 2 0,b b1 2  0 a a1 2b b1 2  , loại 2

(2) Nếu không có điểm nào thuộc cùng một góc phần tư thì phải có hai điểm thuộc hai góc phần tư đối nhau, giả sử là A A thì các số 1, 2 a a trái dấu, các số 1, 2 b b cũng trái dấu nên1, 2

a a  b b   a a b b  , không thỏa

Do đó, điều giả sử là sai, tức là tổng cộng có không quá 6 điểm thỏa mãn đề bài

Ta có A1(0;1),A2(0; 1), (1;0), A3 A4( 1;0), (1;1), A5 A6( 1;1) đôi một “thân thiết”

 HẾT 

Tiêu đề	Đề HSG Thành Phố Hồ Chí Minh Năm Học 2018 - 2019 Môn Toán (Ngày Thi Thứ Nhất)
Tác giả	Hà Lê, Phạm Thị Phương Thúy
Trường học	Trường Trung Học Phổ Thông Chuyên Trần Đại Nghĩa
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Đề thi
Năm xuất bản	2019
Thành phố	Thành phố Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	777,4 KB