Đề thi hsg toán 12 thuận thành bắc ninh năm học 2019 2020

Gọi K là điểm thuộc đoạn IO thỏa mãn 32 IO IK , cắt hình nón bằng mặtphẳng P qua K và vuông góc với IO, khi đó thiết diện tạo thành có diện tích là S.. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho

ĐỀ HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2

NĂM HỌC: 2018 - 2019 MÔN: TOÁN 12 THỜI GIAN LÀM BÀI : 90 PHÚT

 



  là

Câu 6 [2D3-1.1-1] Cho F x 

là một nguyên hàm của f x   e3x

thỏa mãn F 0  Mệnh đề nào1sau đây là đúng?

Câu 11 [1H3-2.3-1] Cho hình chóp S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi I và J lần lượt là

trung điểm SC và BC Số đo của góc  , IJ CD

Câu 13 [2D1-2.6-2] Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến

đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3 3x m nhỏ hơn hoặc bằng 5.

Câu 14 [2H2-2.1-3] Cho điểm A nằm trên mặt cầu  S tâm O, bán kính R  cm 6 I, K là hai điểm

trên đoạn OA sao cho OI IK KA. Các mặt phẳng  P , Q

lần lượt đi qua I, K cùng

vuông góc với OA và cắt mặt cầu  S

theo đường tròn có bán kính r1; r2. Tính tỉ số

1 2

r r

A

1 2

3 10.4

r

1 2

4.10

r

1 2

3 10.5

r

1 2

5

3 10

r

r 

(với a là tham số) có nghiệm nhỏ

nhất nằm trong khoảng nào dưới đây?

Câu 20 [2H3-2.3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình

của mặt phẳng chứa trục Oy và điểm K(2;1; 1) ?

A x2z 0 B x 2z 0 C x2y0 D y  1 0

Câu 21 [2D1-5.4-2] Cho (P) yx2 và đồ thị hàm số y ax 3bx2cx 2 như hình vẽ

Tính giá trị biểu thức P a  3b 5c.

Câu 22 [1H3-5.3-2] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , hình chiếu vuông

góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB Biết diện tích tam giác SAB

bằng a2 Tính khoảng cách d từ điểm H đến mặt phẳng (SBD)

A

233

a

d 

2 3333

Câu 25 [1D3-4.7-3] Một chiếc ô tô mới mua năm 2016 với giá 800 triệu đồng Cứ sau mỗi năm, giá

chiếc ô tô này bị giảm 5% Hỏi đến năm 2020, giá tiền chiếc ô tô này còn khoảng bao nhiêu ?

A 651.605.000 đồng B 685.900.000 đồng C 619.024.000đồng D 760.000.000 đồng

Câu 26 [2H2-1.2-2] Cho hình nón đỉnh I , đường cao IO và có độ dài đường sinh bằng 3cm, góc ở

đỉnh bằng 60 Gọi K là điểm thuộc đoạn IO thỏa mãn

32

IO IK

, cắt hình nón bằng mặtphẳng ( )P qua K và vuông góc với IO, khi đó thiết diện tạo thành có diện tích là S Tính S

Câu 27 [2H2-2.6-3] Cho hình nón ( )N có bán kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 12 Mặt cầu ( )S

ngoại tiếp hình nón ( )N có tâm là I Một điểm M di động trên mặt đáy của hình nón ( )N và

cách I một đoạn bằng 6 Quỹ tích tất cả các điểm M tạo thành đường cong có tổng độ dài

bằng:

A 6 B 6 2 C 3 7. D 4 6

Câu 28 [2H1-3.2-3] Cho hình vuông ABCD Dựng khối đa diệnABCDEF, trong đó EF 2avà song

song với AD Tất cả các cạnh còn lại của khối đa diệnABCDEFbằng a.Tính thể tích V củakhối đa diện ABCDEF

A

3

26

a

. B

3

5 26

a

. C

3

23

a

. D

3

212



Câu 30 [2H3-1.3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S có tâm I(2;1;1) và mặt

phẳng ( ) : 2P x y 2z 2 0 Biết mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến là mộtđường tròn có bán kính bằng 1 Viết phương trình của mặt cầu ( )S

A ( ) : (S x2)2(y1)2(z1)2 8 B ( ) : (S x2)2(y1)2(z1)2 10

Câu 31 [2D1-4.2-3] Cho hàm số  2

31

Câu 33 [2D1-1.4-3] Cho hàm số yf x có bảng biến thiên như hình vẽ bên

Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình f(2sinx1)f m( ) có nghiệm thực?

Câu 34 [2D1-3.6-3] Để thiết kế một chiếc bể cá không có nắp đậy hình hộp chữ nhật có chiều cao

60cm , thể tích là 96.000cm3, người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành là

x m y

x

 



 có đúng một đường tiệm cận

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình

1

6 có phương trình dạng x ay bz c   0 Tính giá trị a3b 2c

Câu 39 [2H3-1.2-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình thang ABCD có 2 đáy AB,

CD; có tọa độ ba đỉnh A(1;2;1),B(2;0; 1) ,C(6;1;0) Biết hình thang có diện tích bằng 6 2 Giả sử đỉnh D a b c( ; ; ), tìm mệnh đề đúng?

Câu 42 [2H3-2.7-2] Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P y  : 4 0

Có bao nhiêu đườngthẳng d song song với ba mặt phẳng xOy

, zOx

,  P

đồng thời cách đều 3 mặt phẳng đó

Câu 43 [2D1-2.6-3] Biết hai hàm số f x( )x3ax24x 2 và g x( ) x3bx2 2x có chung ít3

nhất một điểm cực trị.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P| | | |a  b

Câu 44 [2H3-2.8-4] Trong không gian Oxyz, cho  P x: 2y 2z  và 2 mặt cầu5 0

   2 2  2

S x y  z  S2 : x42y22z 32 4

Gọi M, A, B lần lượtthuộc mặt phẳng (P) và hai mặt cầu    S1 , S2 Tìm giá trị nhỏ nhất của S MA MB  .

A Pmin 11 B Pmin 2 14 3 C Pmin  15 3 D Pmin 3 6 3

Câu 45 [2D1-1.2-4] Cho hàm số yf x( ) xác định và liên tục trên , có đồ thị f x( ) như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m   20;20 để hàm số

g x f   

biến trên khoảng 0; .

Câu 46 [1D2-2.2-3] Môt bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau mỗi dãy có 5 ghế Người ta muốn xếp

chỗ ngồi cho 5 học sinh trường X và 5 học sinh trường Y vào bàn nói trên Tính xác suất để bất

cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện cũng khác trường với nhau

Câu 48 [2H1-3.6-3] Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh 2a Biết rằng

ASBASD90o, mặt phẳng chứa AB và vuông góc với ABCD cắt SD tại N.Tính thểtích lớn nhất của khối tứ diện DABN

A

3

23

a

3

2 33

a

3

43

a

3

4 33

a

Câu 49 [2D2-3.2-3] Cho các số dương a b c, , thỏa mãn 3

A

3

;22

-GIẢI CHI TIẾT

ĐỀ HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2

NĂM HỌC: 2018 - 2019 MÔN: TOÁN 12

BẢNG ĐÁP ÁN

Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0;0) nên b 0.

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y 1 và có tiệm cận đứng x 1 nên:

1

1

a

a c c

Vậy hàm số đã cho là 1

x y x





Ta có : f  2  ;2    2

11

x x

Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận

 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy tổng giá trị các nghiệm của phương trình đã cho là:

a

bc c

Câu 11 [1H3-2.3-1] Cho hình chóp S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi I và J lần lượt là

trung điểm SC và BC Số đo của góc  , IJ CD bằng

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Lan Anh; Fb: Nguyễn Thị Lan Anh

Câu 13 [2D1-2.6-2] Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến

đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3 3x m nhỏ hơn hoặc bằng 5.

 Với mọi m phương trình y 0có hai nghiệm phân biệt và y đổi dấu khi qua hai nghiệm.

 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị với mọi m

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là: y2x m  

Vì m nguyên dương nên m 1;2;3;4;5 

 Có 5 giá trị nguyên dương của mthỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 14 [2H2-2.1-3] Cho điểm A nằm trên mặt cầu  S tâm O, bán kính R  cm 6 I, K là hai điểm

trên đoạn OA sao cho OI IK KA. Các mặt phẳng  P , Q

lần lượt đi qua I, K cùng

vuông góc với OA và cắt mặt cầu  S theo đường tròn có bán kính r1; r2. Tính tỉ số

1 2

r r

A

1 2

3 10.4

r

1 2

4.10

r

1 2

3 10.5

r

1 2

5

c a a

2 ln( 1) , khi 1( )

(với a là tham số) có nghiệm nhỏ

nhất nằm trong khoảng nào dưới đây?

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thơ ; Fb: Thơ Thơ

Chọn B

Từ bảng biến thiên của hàm số yf x 

ta có bảng biến thiên của hàm số y f x 

g Chưa KL + 0 - 0 +

Hàm số g(x) đạt cực tiểu tại x=3

Câu 20 [2H3-2.3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình

của mặt phẳng chứa trục Oyvà điểm K(2;1; 1) ?

A x2z 0 B x 2z 0 C x2y0 D y  1 0

Lời giải

Tác giả: Trịnh Công Hải; Fb: Trịnh Công Hải

Chọn A

Câu 22 [1H3-5.3-2] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông

góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB Biết diện tích tam giác SAB

bằng a2 Tính khoảng cách d từ điểm H đến mặt phẳng (SBD)

A

233

a

d 

2 3333

SAB SAB

(2 )4

  , b 1, c 4 a b c  4

Câu 25 [1D3-4.7-3] Một chiếc ô tô mới mua năm 2016 với giá 800 triệu đồng Cứ sau mỗi năm, giá

chiếc ô tô này bị giảm 5% Hỏi đến năm 2020, giá tiền chiếc ô tô này còn khoảng bao nhiêu ?

Câu 26 [2H2-1.2-2] Cho hình nón đỉnh I , đường cao IO và có độ dài đường sinh bằng 3cm, góc ở

đỉnh bằng 60 Gọi K là điểm thuộc đoạn IO thỏa mãn

32

IO IK

, cắt hình nón bằng mặt( )P

M K

O

N I

Thiết diện tạo thành là đường tròn tâm K , bán kính KM

Diện tích thiết diện là: S .KM2  cm2

Câu 27 [2H2-2.6-3] Cho hình nón ( )N có bán kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 12 Mặt cầu ( )S

ngoại tiếp hình nón ( )N có tâm là I Một điểm M di động trên mặt đáy của hình nón ( )N và

cách Imột đoạn bằng 6 Quỹ tích tất cả các điểm M tạo thành đường cong có tổng độ dài

Gọi D là trung điểm của SA, đường sinh l  12262 6 5

Ta có SDI đồng dạng với SHA nên SI SH. SD SA.

6 5 6 5

2 12

SD SA SI

SH

2



15 912

2 2

IH

Vì M cách Imột đoạn không đổi bằng 6 nên M thuộc mặt cầu tâm I bán kính 6

Mà M thuộc mặt phẳng đáy nên M thuộc giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng

Suy ra quỹ tích điểm M là đường tròn tâm H thuộc mặt đáy và có bán kính là

Câu 28 [2H1-3.2-3] Cho hình vuông ABCD Dựng khối đa diệnABCDEF, trong đó EF 2avà song

song với AD Tất cả các cạnh còn lại của khối đa diện ABCDEFbằng a Tính thể tích V của

khối đa diện ABCDEF

A

3

26

a

B

3

5 26

a

C

3

23

a

D

3

212

Lấy Hđối xứng với E qua C và G đối xứng với F qua A

Ta thấy tứ giác EFGH là tứ diện đều cạnh 2a và thể tích của khối đa diệnABCDEFbằng một

nửa thể tích của tứ diện đều EFGH

Mà tứ diện đều EFGH có chiều cao là

2 63

Giá trị lớn nhất của hàm số     1 3

13



3

g x g f 

Câu 30 [2H3-1.3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S có tâm I(2;1;1) và mặt

phẳng ( ) : 2P x y 2z 2 0 Biết mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến là một

đường tròn có bán kính bằng 1 Viết phương trình của mặt cầu ( )S

A ( ) : (S x2)2(y1)2(z1)2 8 B ( ) : (S x2)2(y1)2(z1)2 10

C ( ) : (S x 2)2(y1)2(z1)2 8 D ( ) : (S x 2)2(y1)2(z1)2 10.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Trần Huyền Trang ; Fb: Huyền Trang

Chọn D

Ta có d(I,( )) 3P  và mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến là một đường tròn có bán

kính bằng 1 nên bán kính của mặt cầu ( )S là 10.

Vậy phương trình của mặt cầu ( )S là ( ) : (S x 2)2(y1)2(z1)2 10

Câu 31 [2D1-4.2-3] Cho hàm số  2

31

Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì x 3 ax b 0có nghiệm x =1 làm nghiệm

1 0

4

a b f

a f

Câu 33 [2D1-1.4-3] Cho hàm số yf x có bảng biến thiên như hình vẽ bên

Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình f(2sinx1)f m( ) có nghiệm thực?

Phương trình ẩn x ban đầu có nghiệm thực  phương trình (1) có nghiệm t   1;3

Dựa vào bảng biến thiên ta có: 2f m    2 1 m3

Do m nguyên dương nên m 1; 2;3

Vậy có 3 giá trị mthỏa mãn

Câu 34 [2D1-3.6-3] Để thiết kế một chiếc bể cá không có nắp đậy hình hộp chữ nhật có chiều cao

60cm , thể tích là 96.000cm3, người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành là

70.000 đồng/m3 và loại kính để làm mặt đáy có giá thành là 100.000 đồng/m3 Chi phí thấp

Câu 35 [2D1-4.2-2] Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để đồ thị hàm số

35

x m y

x

 



 có

Câu 36 [2D2-5.5-3] Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình  1 log  x  2

10

x

x x

( ) 10

x

x x

Vậy phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt khi

1

10

m e

  

Suy ra các giá trị m cần tìm là: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Câu 37 [2D2-6.5-3] Cho hàm số yf x 

liên tục và xác định trên R và có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình

33

Suy ra hàm số y g t ( ) đồng biến trên 1;   g t  g(1) 4

Yêu cầu bài toán  4m23m  m2 3m 4 0  4m1.

Do m m  4; 3; ;1 

Vậy có 6 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 38 [2H3-2.3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A1;0 ; 0 , B0 ;1; 0

Mặt phẳng đi qua các điểm A B, đồng thời cắt tia Oz tại C sao cho tứ diện OABC có thể tích bằng

Mp P đi qua các điểm A B,

đồng thời cắt tia Oz tại C có dạng 1 1 1

c

  

Câu 39 [2H3-1.2-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình thang ABCD có 2 đáy AB,

CD; có tọa độ ba đỉnh A(1;2;1),B(2;0; 1) ,C(6;1;0) Biết hình thang có diện tích bằng 6 2

13

k  a b c   k     

Cách 2

 ABCD là hình thang vuông chiều cao CB Theo giả

thiết diện tích hình thang là

53(1 ) 2

3

3

a a

m

  ( thỏa mãn điều kiện )

Do m là số nguyên dương và m 20 8m20

 Tập các giá trị của m thỏa mãn là : S {8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19}

Vậy có 12 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Câu 41 [2D2-6.5-3] Gọi S là tập chứa các giá trị nguyên của m để phương trình

Câu 42 [2H3-2.7-2] Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P y  : 4 0

Có bao nhiêu đường thẳng

d song song với ba mặt phẳng xOy

Ta thấy mặt phẳng  P y  : 4 0

song song với mặt phẳng zOx y : 0

và cùng vuông góc với mặt phẳng xOy z : 0.

+) Đường thẳng d song song và cách đều  P và zOx nên d nằm trên mặt phẳng

 Q y  : 2 0 Khi đó d d P ,   d d zOx ,   2

+) Mặt phẳng  Q vuông góc với mặt phẳng xOy nên trên  Q có 2 đường thẳng song song

và cách xOy một khoảng bằng 2.

Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 43 [2D1-2.6-3] Biết hai hàm số f x( )x3ax24x 2 và g x( ) x3bx2 2x có chung ít 3

nhất một điểm cực trị Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P| | | |a  b

Gọi x0là điểm cực trị chung của hai hàm số f x( ) và g x( )

Vậy minP 6 đạt khi:

a

b x

a

b x

Câu 44 [2H3-2.8-4] Trong không gian Oxyz, cho  P x: 2y 2z  và 2 mặt cầu5 0

Mặt cầu  S1 có tâm I1(2;0; 1), R 11 Mặt cầu  S2 có tâm I  2( 4; 2;3), R2 2

Ta thấy hai điểm I I1, 2 nằm về hai phía mp (P) mà M, A, B lần lượt thuộc mặt phẳng (P) và hai

mặt cầu    S1 ; S2

ta luôn có

1 2 (R R )1 2 1 2 3 1 2 3 2 14 3

S MA MB MI   MI   MI MI  I I   

Dấu “=” xảy ra khi M A B, , thuộc đoạn I I 1 2

Vậy Pmin 2 14 3 khi M A B, , thuộc đoạn I I 1 2

Câu 45 [2D1-1.2-4] Cho hàm số yf x( ) xác định và liên tục trên , có đồ thị f x( ) như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m   20; 20 để hàm số

x f



 

 

  , đạt được khi2

x  (*)

2 2

m 

mà m là số nguyên âm nên m   19; 18; ; 3   Vậy có 17 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 46 [1D2-2.2-3] Môt bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau mỗi dãy có 5 ghế Người ta muốn xếp

chỗ ngồi cho 5 học sinh trường X và 5 học sinh trường Y vào bàn nói trên Tính xác suất để bất

cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện cũng khác trường với nhau

Có 6 cách xếp chỗ cho học sinh thứ ba

Có 4 cách xếp chỗ cho học sinh thứ tư

Có 2 cách xếp chỗ cho học sinh thứ năm

Tổng quát:

Giả sử đã xếp được chỗ cho k học sinh trường X Học sinh thứ k+1 của trường X sẽ không được ngồi vào chỗ của k học sinh trên và chỗ đối diện với k học sinh đó Do đó sẽ có 10-2k cách xếp chỗ cho học sinh thứ k+1

Xếp chỗ cho 5 học sinh trường X có 10.8.6.4.2 3840 cách

+ Xếp chỗ cho 5 học sinh trường Y

Xếp 5 học sinh trường Y ngồi vào 5 chỗ còn lại nên có 5! 120 cách

Áp dụng quy tắc nhân ta có:

Số cách xếp sao cho bất kỳ 2 học sinh nào ngồi đối diện cũng khác trường nhau là:

3840.120 460800 cách

Gọi A là biến cố cần tính xác suất

Số kết quả thuận lợi cho A là: n A ( ) 460800

Số kết quả của không gian mẫu là: n  ( ) 10! 3628800

Xác suất cần tính là:

( ) 8( )