Đề thi hsg toán 12 bình thuận năm học 2018 2019

Giải hệ phương trình.. a Chứng minh đường thẳng AD đi qua trung điểm của cạnh BC ; b Chứng minh ba đường thẳng EF , BC HD đồng quy.. Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm... Lời g

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2018-2019

SỞ BÌNH THUẬN

Bài 1 (6,0 điểm).

a) Cho x và y là các số thực thỏa mãn 2 x y   0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

2 2

2

P

 



 

b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x  3 3 x2 3 mx m 

có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành.

Bài 2 (5,0 điểm).

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số   un biết u  và1 2 un1 2 un 5,    n *.

b) Cho dãy số   vn thỏa mãn 1 1 ,

2018

1 2018n

n

n

v v

v

 

    n *

Chứng minh rằng vn1 vn,    n *.

Bài 3 (4,0 điểm) Giải hệ phương trình

.









   

Bài 4 (5,0 điểm).Cho tam giác ABC nhọn có AB AC  và hai đường cao BE CF cắt nhau ,

tại H Các đường tròn   O1 ,   O2 cùng đi qua A và theo thứ tự tiếp xúc với BC tại

,

B C Gọi D là giao điểm thứ hai của   O1 và   O2 .

a) Chứng minh đường thẳng AD đi qua trung điểm của cạnh BC ;

b) Chứng minh ba đường thẳng EF , BC HD đồng quy. ,

- HẾT

-Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.

ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1a. Cho x và y là các số thực thỏa mãn 2 x y   0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

2 2

2

P

 



 

Lời giải

Tác giả: Bùi Văn Lượng; Fb: luonghaihaubui

Ta có

2 2

1 , 1

t t P

t t

 



  với

1 2

x t y

 

Xét hàm số  

2 2

1 1

t t

f t

t t

 



  với

1 2

t 

Tính được

 

2 2 2

1

t f

t t



 

 

  0

1

1 2

f t

t t

 





 







 Bảng biến thiên

Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng

1

3, không có giá trị lớn nhất.

Câu 1b. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x 3 3x2  3mx m có hai điểm

cực trị nằm khác phía đối với trục hoành

Lời giải

Tác giả: Phùng Đức Cường; Fb: Phùng Đức Cường

Tập xác định D 

Đạo hàm của hàm số là y' 3 x2 6x 3m

Yêu cầu bài toán  Phương trình y ' 0 có hai nghiệm phân biệt x , 1 x thỏa mãn2

   1 2 0

y x y x 

Phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt  1 m 0 m  (*).1

Khi đó đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là A x y 1; 1

, B x y 2; 2

Ta có 1 2 1

3 3

x

y   y m x

Do đó y1y x 1 2m1x1

, y2 y x 2 2m1x2

   1 2 0 4 12 1 2 0

y x y x   m x x 

      

Kết hợp với điều kiện (*) ta có m  thỏa mãn bài toán.0

Câu 2a Tìm số hạng tổng quát của dãy số   un

biết u 1 2 và un1 2 un 5,    n *.

Lời giải

Tác giả: Phạm Thị Thanh Thủy ; Fb: Phạm Thủy

*,

n

   ta có u n12u n  5 u n1 5 2u n5

Đặt w n u n5,  n *.

Khi đó w n12 ,w n   n *

Do đó w n là cấp số nhân có w1u1  công bội 5 7, q 2

Suy ra 1 n 1 7.2 ,n 1 *

n

Vậy u n 7.2n1 5, n *.

    

Câu 2b. Cho dãy số   vn

thỏa mãn 1 1 ,

2018

1 2018n

n

n

v v

v

 

    n * Chứng minh rằng

*

n

v   v    n

Lời giải

Tác giả: Vũ Thị Hồng Lê; Fb: Lê Hồng

Chứng minh được v n 0,  n *.

Khi đó

*

1 2108 2 2018 2018

n

Mặt khác,    ta có n *,

3

1 2018

0







Vậy vn1 vn,    n *.

Câu 3. Giải hệ phương trình

 

2 2

xy x y x y

x y y x x y x





Lời giải

Điều kiện xy 0

Ta có x2 1 x  , x0    nên y 0 không thõa mãn  2

Do vậy y 0 Suy ra x  0

không thõa mãn  1

Nếu x y, cùng âm thì  1 vô lí Do đó x y, cùng dương.

Xét hàm số f t  t 1t2  trên khoảng t 0; 

Ta có  

2 2

2

1

t

t

 Suy ra hàm số f t 

đồng biến trên0; 

Khi đó  3 f 1 f y  1 y xy 1

 

Thay xy 1 vào  1

ta được:

2 x y 1 x y  x1  y1  0 x  y 1

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x y ;  1;1

Câu 4 Cho tam giác ABC nhọn có AB AC  và hai đường cao BE CF , cắt nhau tại H . Các

đường tròn   O1 ,   O2

cùng đi qua A và theo thứ tự tiếp xúc với BC tại B C , Gọi D là

giao điểm thứ hai của   O1 và   O2 .

a) Chứng minh đường thẳng AD đi qua trung điểm của cạnh BC ;

b) Chứng minh ba đường thẳng BC , EF HD , đồng quy.

Lời giải

Tác giả: Trần Công Dũng ; Fb: Dung Tran

H

D

E

F

C B

A

O 2

O 1

a Gọi I là giao điểm của AD và BC

Ta có IB2 IA ID IC.  2.

Suy ra IB IC .

Do đó I là trung điểm của BC Hay đường thẳng AD đi qua trung điểm I của BC b) Chứng minh ba đường thẳng EF , BC HD , đồng quy.

Ta có BHC BDC  Suy ra tứ giác BCDH nội tiếp đường tròn O3

Ta có AFH ADH AEH 900 Suy ra tứ giác AFHD nội tiếp đường tròn O4

Ta có BFC BEC  900 Suy ra tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn O5

đường kính BC

Ta có HDlà dây cung chung của hai đường tròn O3 & O4

HD là trục đẳng phương hai đường tròn O3 & O4

Tương tự ta được:

EF là trục đẳng phương hai đường tròn O3 & O5

BC là trục đẳng phương hai đường tròn O5 & O4

Suy ra ba đường thẳng BC , EF HD , đồng quy.