Đề kiểm tra đội tuyển toán năm 2022 2023

có đáy là hình vuông, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.. Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.. Hai

SỞ GD&ĐT THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NHƯ THANH

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HSG CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2022 – 2023 MÔN THI: TOÁN

Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

Ngày kiểm tra………

Câu 1. Cho F x  là nguyên hàm của hàm số   1

Câu 5 Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông, mặt bên (SAB là tam giác đều và nằm trong )

mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)

bằng

3 7.7

V  a

3

23

V  a

332



11011



Câu 7 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Mặt phẳng SCD

tạo với đáy góc 30 Thể tíchkhối chóp S ABCD.

A

3 34

a

B

3 32

a

C

3 336

Câu 8. Cho hình cầu đường kính 2a 3 Mặt phẳng  P

cắt hình cầu theo thiết diện là hình tròn có bán kính bằng a 2 Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng  P .

A a B 2

a

102

a

Câu 9. Cho khối đa diện đều loại 3;3 có cạnh bằng a Gọi V là diện tích của khối đa diện đó Khẳng

định nào sau đây đúng?

A

3 34

a

V 

3 24

a

V 

3 212

a

V 

3 312

Câu 13 Cho hàm số y ax 3bx2cx d có đồ thị như hình vẽ

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A a0, b0, c0, d 0 B a0, b0, c0, d 0

C a0, b0, c0, d 0. D a0, b0, c0, d 0.

Câu 14 Cho hình chóp đều S ABCD. Mặt phẳng  

đi qua A và vuông góc với SD Thiết diện củahình chóp S ABCD. cắt bởi mặt phẳng  P

là

Câu 15 Hình nào không phải là hình đa diện đều trong các hình dưới đây?

A Hình chóp tam giác đều.

S h

S h

S h



Câu 17 Hàm số y=ax3+bx2+ + có đồ thị như hình vẽ bên dưới:cx d

Khẳng định nào là đúng?

A a<0,b<0,c<0,d< 0 B a>0,b>0,c>0,d< 0

C a>0,b>0,c<0,d> 0 D a>0,b<0,c<0,d> 0

Câu 18 Giả sử khai triển (x +2 3)n

được khai triển theo lũy thừa giảm dần và có tổng hệ số của hai sốhạng đầu bằng 31 Số hạng chứa x4 trong khai triển là

x O

Câu 20 Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;5 , f 1 13 và  

1lim

A

43



23

Câu 23 Một nguyên hàm của hàm số f x  6 2 x126sin 2x

2022 20222023

C

2023 20232023

Câu 26 Cho lăng trụ tam giác ABC A B C    Biết A B ¢ vuông góc đáy Đường thẳng AA tạo với đáy một

góc bằng 45 Góc giữa hai mặt phẳng ABB A 

và ACC A 

bằng 30 Khoảng cách từ A đến BB và CClần lượt bằng 5 và 8 Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BB, CC và H  , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BB, CC Thể tích lăngtrụ AHK A H K.    bằng

200 33

V 

200 33

V 

Câu 27 Một bể nước lớn của một khu công nghiệp có phần chứa nước là một khối nón đỉnh S phía dưới

(hình vẽ), đường sinh SA27 m Có một lần lúc bể nước chứa đầy, người ta phát hiện nướctrong bể không đạt yêu cầu về vệ sinh nên lãnh đạo khu công nghiệp cho thoát hết nước để làm

vệ sinh bể chứa Công nhân cho thoát nước ba lần qua một lỗ ở đỉnh S Lần thức nhất khi mực

nước tới điểm M thuộc SA thì dừng, lần thứ hai khi mực nước tới điểm NSA thì dừng, lần

thứ ba mới thoát hết nước Biết lượng nước mỗi lần thoát là bằng nhau Tính độ dài đoạn MN

Câu 29 Cho hình chóp S ABC với đáy ABC là tam giác vuông tại B có AC 2BC, đường trung

tuyến BM , đường phân giác trong CN và MN  Các mặt phẳng a SBM

a

Gọi I là trung điểm

của SC Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và IB bằng

A

34

a

38

a

3 4

a

3 8

1 2 3 15

x x x 

A

32

m 

32

và mặt phẳng ABB A 

tạo với ABC

góc 45 Thể tích khối tứ diện A A B C   bằng

A

3

3 1414

a

31414

a

3

3 1428

a

31428

được viết dưới dạng x y log3z, với , ,x y z là các số nguyên

dương lớn hơn 2 Khi đó, tổng x2y z có giá trị bằng

Câu 35 Cho hai hàm số bậc ba yf x  và yg x  có đồ thị như hình vẽ

Biết

12

x 

và

32

Câu 38 Hai quả bóng giống nhau có cùng bán kính là 15 và hai quả bóng giống nhau có bán kính nhỏ

hơn được đặt sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với các quả bóng khác ( 4 quả bóng đều nằmtrên một mặt phẳng) Tính diện tích bề mặt của quả bóng có bán kính nhỏ hơn

A 60 7 4 3  

B 60 7 4 3  

Câu 39 Cho hai hàm yf x  và y g x   liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ Khi đó tổng số

nghiệm của phương trình f g x     0

sao cho tiếp tuyến của  H

tại A B, song song với nhau Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng

AB bằng

Câu 41 Một hộp chứa 50 quả cầu được đánh số từ 1 đến 50 Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó Tính

xác suất để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu lấy được là một số chia hết cho 8

Câu 42 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a , cạnh bên SA a và

vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M N, lần lượt là trung điểm của SB và SD Tính sin góc giữa .

Câu 45 Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục trên  và thoả mãn điều kiện

Câu 47 Một trường THPT hưởng ứng lễ phát động trồng câu xanh mỗi năm Mỗi năm nhà trường thực

hiện chiến dịch trồng thêm 8% số cây so với số cây hiện có năm trước Tuy nhiên, do thời tiếtkhắc nghiệt, mỗi năm những cây “xấu” chết mất 2% so với số cây hiện có năm trước Hỏi đếnnăm bao nhiêu, số cây trong khuôn viên trường là 150 cây, biết rằng tổng số cây xanh trongkhuôn viên của trường năm 2021 là 100 cây

Câu 49 Cho hình trụ có chiều cao bằng 6 2 cm Biết rằng một mặt phẳng không vuông góc với đáy và

cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB , A B  mà AB A B  6cm, diện tích tứ giác

ABB A  bằng 60cm Thể tích của khối trụ đã cho là:2

Câu 50 Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông tại ,A AB3 3 ,a AC3 2a Hình

chiếu của S trên mặt phẳngABC

là điểm H thuộc đoạn thẳng BC Biết rằng HC 2HBvà góc giữa mặt phẳng SAB và SAC bằng 0

60 Thể tích khối chóp S ABC bằng

3

5 1012

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. Cho F x  là nguyên hàm của hàm số   1

Đặt

1

1

x x

Câu 2. Tập xác định của hàm số y4 3 x x 22021

là

A  B 4;1 C \4;1 D 4;1

Lời giải Chọn C

Suy ra

4.3

m 

Mà m  và m   2021; 2021

nên m   1;0;1; 2; ; 2020

.Vậy có 2022 số nguyên mthỏa mãn

Câu 4 Cho hàm số yf x 

liên tục trên  và có đạo hàm là f x  x x2 2 4 x23x2 x 3

Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại?

Lời giải Chọn D

Ta có f x  x x2  2 2 x 1 x 3 x2

  0

f x 

02213

x x x x x

Vậy hàm số đã cho có 1 điểm cực đại

Câu 5 Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông, mặt bên (SAB là tam giác đều và nằm trong )

mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)

bằng

3 7.7

V  a

3

23

V  a

332

a

V 

Lời giải Chọn D

Gọi H là trung điểm củaAB  SH AB SH (ABCD)

Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông ABCD Ta có

3

11011



Lời giải Chọn C

Cần nhớ: f x x f x d   C và      

11

Câu 7 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Mặt phẳng SCD tạo với đáy góc 30 Thể tích khốichóp S ABCD.

A

3 34

a

B

3 32

a

C

3 336

Gọi H, K lần lượt là trung điểm AB và CD.

Suy ra SH ABCD và  SCD , ABCD  SKH 30

Xét SHK vuông tại H, có

3 1 3:

Câu 8. Cho hình cầu đường kính 2a 3 Mặt phẳng  P

cắt hình cầu theo thiết diện là hình tròn có bán kính bằng a 2 Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng  P .

a

102

a

Lời giải Chọn A

P

R

A

I H

Bán kính hình cầu đã cho là R a 3

Khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng  P là d  a 3 2 a 22 a

Câu 9. Cho khối đa diện đều loại 3;3

có cạnh bằng a Gọi V là diện tích của khối đa diện đó Khẳngđịnh nào sau đây đúng?

A

3 34

a

V 

3 24

a

V 

3 212

a

V 

3 312

a

V 

Lời giải Chọn C

Gọi ABCD là hình đa diện đều loại 3;3  ABCD

là tứ diện đều cạnh a

O E

D C

Ta có y2 cos2 x sin 2x5 cos 2x sin 2x6

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y2 cos2 x sin 2x là 65  2

Câu 11 Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài sao cho bạn C

ngồi chính giữa?

Lời giải Chọn C

Ta có:

Câu 13 Cho hàm số y ax 3bx2cx d có đồ thị như hình vẽ

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A a0, b0, c0, d 0. B a0, b0, c0, d 0.

C a0, b0, c0, d 0 D a0, b0, c0, d 0

Lời giải Chọn A

Do đồ thị ở nhánh phải đi xuống nên a 0 Loại phương án B.

Do hai điểm cực trị dương nên 1 2

Lời giải Chọn B

 AEC cân tại E

Hay thiết diện là tam giác cân tại E

Câu 15 Hình nào không phải là hình đa diện đều trong các hình dưới đây?

Vì các mặt bên của hình chóp tam giác đều có thể là các tam giác cân không phải là tam giác đều

Câu 16 Bán kính đáy r của hình trụ tròn xoay có diện tích xung quanh S và chiều cao h là

A

S h

S h

S h

S h



Lời giải Chọn B

Diện tích xung quanh hình trụ là 2 2 .

+ Dựa vào hình dạng đồ thị ta khẳng định được a>0

+ Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tọa độ (0; d) Dựa vào đồ thị suy ra d>0.

+ Ta có: y '=3 a x2+2bx +c Hàm số có hai điểm cực trị x , 1 x 2 (x1<x2)

trái dấu nên phương

trình y '=0 có hai nghiệm phân biệt x , 1 x trái dấu Vì thế 2 3 a c<0, nên suy ra c<0.

+ Mặt khác từ đồ thị ta thấy

1 2

11

x x

b

a

+ =

nên suy ra

203

b a

Câu 18 Giả sử khai triển (x +2 3)n

được khai triển theo lũy thừa giảm dần và có tổng hệ số của hai sốhạng đầu bằng 31 Số hạng chứa x4 trong khai triển là

Lời giải Chọn C

Tổng hệ số của hai số hạng đầu bằng 31 nên ta có 1 3+ n=31Þ n=10.

x O

Lời giải Chọn A.

Dựng đường thẳng y 1 cắt các đồ thị của ba hàm số yloga x, ylogb x, ylogc x tại cácđiểm có hoành độ lần lượt là a b c, ,

5

5 1 1

1lim

A

43



23



Lời giải Chọn A

Ta có

 

       1

Có log2 x5log2a3log2blog2a5log2b3 log2a b5 3  x a b 5 3

Câu 23 Một nguyên hàm của hàm số f x  6 2 x126sin 2x

Ta có f x x d  6 2 x126sin 2 dx x 2x13 3cos 2x C

, với C  .Vậy một nguyên hàm của hàm số f x  6 2 x126sin 2x

2022 20222023

C

2023 20232023

Lời giải Chọn C

nằm phía trên trục hoành.

+ Và phần đối xứng của đồ thị y g x   f x 2017 2018 nằm phía dưới trục hoành

Do đó ta có được bảng biến thiên của hàm số yg x 

như sau

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình f x  2017 2018 2019

có 4 nghiệm

Câu 26 Cho lăng trụ tam giác ABC A B C    Biết A B ¢ vuông góc đáy Đường thẳng AA tạo với đáy một

góc bằng 45 Góc giữa hai mặt phẳng ABB A 

và ACC A 

bằng 30 Khoảng cách từ A đến BB và CClần lượt bằng 5 và 8 Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BB, CC và H  , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BB, CC Thể tích lăngtrụ AHK A H K.    bằng

200 33

V 

200 33

V 

Lời giải Chọn A

Từ đỉnh A kẻ AH BB HBB

Cũng từ A kẻ AK CC K CC 

.Góc giữa hai mặt phẳng ABB A 

và ACC A 

bằng 30

Suy ra, trong tam giác HAK , có HAK   30

Diện tích tam giác

Mà AA là đường cao của lăng trụ AHK A H K.   

Nên thể tích V AHK A H K.   A A S AHK 10.10 100

Câu 27 Một bể nước lớn của một khu công nghiệp có phần chứa nước là một khối nón đỉnh S phía dưới

(hình vẽ), đường sinh SA27 m Có một lần lúc bể nước chứa đầy, người ta phát hiện nướctrong bể không đạt yêu cầu về vệ sinh nên lãnh đạo khu công nghiệp cho thoát hết nước để làm

vệ sinh bể chứa Công nhân cho thoát nước ba lần qua một lỗ ở đỉnh S Lần thức nhất khi mực

nước tới điểm M thuộc SA thì dừng, lần thứ hai khi mực nước tới điểm NSA thì dừng, lần

thứ ba mới thoát hết nước Biết lượng nước mỗi lần thoát là bằng nhau Tính độ dài đoạn MN

Gọi V V V lần lượt là thể tích khối nón có đường sinh là 1, 2, SN SM SA, ,

Do

SM SE EM SEM SOA

Ta có 9x 2m1 3 xm2 3m  5 0  3x 2 2.m1 3 xm2 3m 5 0  1

Đặt t 3 ,x t , khi đó phương trình trở thành 0 t2 2.m1  t m 2 3m 5 0 2 

Để phương trình  1

có hai nghiệm phân biệt thì phương trình  2

có hai nghiệm dương phânbiệt

Câu 29 Cho hình chóp S ABC với đáy ABC là tam giác vuông tại B có AC 2BC, đường trung tuyến

BM , đường phân giác trong CN và MN  Các mặt phẳng a SBM

a

Gọi I là trung điểm của

SC Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và IB bằng

A

34

a

38

a

3 4

a

3 8

a

Lời giải Chọn C

K

F E I

H N

M

B S

Gọi H là giao điểm của CN và BM Ta có SH ABC

HB 

2 2

.Xét tam diện vuông đỉnh H với ba cạnh HB , HC , HS ta có mặt phẳng IEB

1 2 3 15

x x x 

A

32

m 

32

và mặt phẳng ABB A 

tạo với ABC

góc 45 Thể tích khối tứ diện A A B C   bằng

A

3

3 1414

a

31414

a

3

3 1428

a

31428

a

Lời giải Chọn D

 vuông tại H có B KH 45  B HK vuông cân tại H  B H KH.

Xét hai tam giác vuông B BH và BKH , ta có

Câu 33 Cho hàm số yf x  liên tục trên  Hàm số f x( )x3ax2bx c có đồ thị như hình bên

dưới

Số điểm cực trị của hàm số y f f x   là

Lời giải Chọn A

Quan sát đồ thị, nhận thấy đồ thị hàm số f x( )x3ax2 bx c đi qua các điểm

00

11

11

( 1,325)0

x x

x x

Câu 34 Cho hai số thực dương a , b thỏa mãn 2022 2022

được viết dưới dạng x y log3z, với , ,x y z là các số nguyên

dương lớn hơn 2 Khi đó, tổng x2y z có giá trị bằng

Lời giải Chọn C

Theo giả thiết: f 7 4 x g4x 5 2

Kết hợp với giả thiết ta có:

x 

và

32

1

a d d

a d

x 

và

32

7

b d d

b d

Câu 37 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng 2022;2022 sao cho hàm số

 3

44

f

m m

m

m f

Có 2024 số

Câu 38 Hai quả bóng giống nhau có cùng bán kính là 15 và hai quả bóng giống nhau có bán kính nhỏ

hơn được đặt sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với các quả bóng khác ( 4 quả bóng đều nằmtrên một mặt phẳng) Tính diện tích bề mặt của quả bóng có bán kính nhỏ hơn

A 60 7 4 3  

B 60 7 4 3  

Lời giải Chọn A

Gọi r là bán kính quả bóng nhỏ.

Gọi ,A B lần lượt là tâm của hai quả bóng lớn ; C D lần lượt là tâm của hai quả bóng nhỏ.

Gọi ; ; ;A B C D    lần lượt là hình chiếu của ; ; ;A B C D lên mặt phẳng Ta có AABB 15,

CCDDr

Do mỗi quả bóng đều tiếp xúc với 3 quả còn lại nên ta có ACAD BC BD r    15;

2 15

AB  ; CD2r Gọi H là giao điểm của A B  và C D 

Ta thấy A B C D    là hình thoi nên 2 2 15

Từ đó ta có r 152 r2 15 2 15 r2  r2 3 15

.Vậy diện tích mặt của quả bóng có bán kính nhỏ hơn là S  4 r2 60 7 4 3  

Câu 39 Cho hai hàm yf x  và y g x   liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ Khi đó tổng số

nghiệm của phương trình f g x     0

và g f x     0

là

Lời giải Chọn C

có 1 nghiệm Vậy phương trình g f x     0

có 1 nghiệm suy ra phương trình

Câu 40 Cho hàm số

1

x y x

sao cho tiếp tuyến của  H

tại A B, song song với nhau Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng

AB bằng

Lời giải Chon C

Ta có  2

3

2 1

y x



 



Do tiếp tuyến của  H

tại A, B song song với nhau nên

Câu 41 Một hộp chứa 50 quả cầu được đánh số từ 1 đến 50 Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó Tính

xác suất để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu lấy được là một số chia hết cho 8

Số cách lấy ra 3 quả cầu từ trong hộp:C503 .

Chia 50 quả cầu thành 4 nhóm:

Nhóm 1: Gồm 25 quả cầu mang số lẻ

Nhóm 2: Gồm 13 quả cầu mang số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4

Nhóm 3 : Gồm 6 quả cầu mang số chia hết cho 4 mà không chia hết cho 8