CHIẾN LƯỢC CHỨNG MINH TRONG SUY LUẬN TOÁN HỌC ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Thành phố

MỤC LỤC Mục lục .......................................................................................................... 2 Chương 1: Mở đầu ....................................................................................... 4 1.1. Lý do chọn đề tài ............................................................................... 4 1.2. Mục đích của đề tài ........................................................................... 4 1.3. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn .......................................................... 4 1.4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .................................................... 5 1.5. Phương pháp nghiên cứu .................................................................. 5 1.6. Bố cục của đề tài ................................................................................ 5 Chương 2: Cơ sở lý luận .............................................................................. 6 2.1. Cơ sở lí thuyết .................................................................................... 6 2.2. Cơ sở lý luận đề tài ............................................................................ 6 2.3. Vai trò và vị trí .................................................................................. 6 2.4. Kinh nghiệm nghiên cứu trong nước .............................................. 6 2.5. Kinh nghiệm nghiên cứu ở nước ngoài ........................................... 7 Chương 3: Thực trạng và phương pháp nghiên cứu ................................ 8 3.1. Quá trình hình thành và phát triển toán học ................................. 8 3.2. Phương pháp và mô hình nghiên cứu ............................................ 10 Chương 4: Kết quả nghiên cứu .................................................................. 11 4.1. Các phương pháp chứng minh trong toán học .............................. 11 4.1.1. Chứng minh trực tiếp ............................................................... 11 4.1.2. Chứng minh gián tiếp ............................................................... 12 4.1.3. Chứng minh phản chứng .......................................................... 13 4.1.4. Chứng minh bằng quy nạp toán học ....................................... 15 4.1.5. Chứng minh xây dựng .............................................................. 19 4.1.6. Chứng minh không xây dựng................................................... 20 4.1.7. Chứng minh bằng hình ảnh ..................................................... 20 4.1.8. Chứng minh vét cạn .................................................................. 21 4.1.9. Chứng minh xác suất ................................................................ 22 3 4.1.10. Chứng minh tính duy nhất ..................................................... 23 4.1.11. Chứng minh hai cột ................................................................. 25 4.1.12. Chứng minh rỗng và chứng minh tầm thường .................... 25 4.1.13. Chứng minh với sự hỗ trợ của máy tính ............................... 26 4.2. Chiến lược chứng minh.................................................................... 27 4.2.1. Chứng minh mệnh đề kéo theo ................................................ 27 4.2.2. Suy luận tiến và suy luận lùi .................................................... 29 4.2.3. Đầu tư cho chứng minh vét cạn ............................................... 30 4.2.4. Mô phỏng các chứng minh đã có ............................................. 32 4.2.5. Phỏng đoán và chứng minh ...................................................... 35 4.2.6. Phỏng đoán và các ví dụ ........................................................... 36 4.2.7. Bài toán halting ......................................................................... 37 Chương 5: Kết luận ..................................................................................... 40 Tài liệu tham khảo ....................................................................................... 41

BỘ CÔNG THƯƠNG

TRƯỜNG CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI

NGUYỄN XUÂN PHƯƠNG

CHIẾN LƯỢC CHỨNG MINH TRONG

SUY LUẬN TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Đại số

Mã ngành: 604605

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

MỤC LỤC

Mục lục 2

Chương 1: Mở đầu 4

1.1 Lý do chọn đề tài 4

1.2 Mục đích của đề tài 4

1.3 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 4

1.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 5

1.5 Phương pháp nghiên cứu 5

1.6 Bố cục của đề tài 5

Chương 2: Cơ sở lý luận 6

2.1 Cơ sở lí thuyết 6

2.2 Cơ sở lý luận đề tài 6

2.3 Vai trò và vị trí 6

2.4 Kinh nghiệm nghiên cứu trong nước 6

2.5 Kinh nghiệm nghiên cứu ở nước ngoài 7

Chương 3: Thực trạng và phương pháp nghiên cứu 8

3.1 Quá trình hình thành và phát triển toán học 8

3.2 Phương pháp và mô hình nghiên cứu 10

Chương 4: Kết quả nghiên cứu 11

4.1 Các phương pháp chứng minh trong toán học 11

4.1.1 Chứng minh trực tiếp 11

4.1.2 Chứng minh gián tiếp 12

4.1.3 Chứng minh phản chứng 13

4.1.4 Chứng minh bằng quy nạp toán học 15

4.1.5 Chứng minh xây dựng 19

4.1.6 Chứng minh không xây dựng 20

4.1.7 Chứng minh bằng hình ảnh 20

4.1.8 Chứng minh vét cạn 21

4.1.9 Chứng minh xác suất 22

4.1.10 Chứng minh tính duy nhất 23

4.1.11 Chứng minh hai cột 25

4.1.12 Chứng minh rỗng và chứng minh tầm thường 25

4.1.13 Chứng minh với sự hỗ trợ của máy tính 26

4.2 Chiến lược chứng minh 27

4.2.1 Chứng minh mệnh đề kéo theo 27

4.2.2 Suy luận tiến và suy luận lùi 29

4.2.3 Đầu tư cho chứng minh vét cạn 30

4.2.4 Mô phỏng các chứng minh đã có 32

4.2.5 Phỏng đoán và chứng minh 35

4.2.6 Phỏng đoán và các ví dụ 36

4.2.7 Bài toán halting 37

Chương 5: Kết luận 40

Tài liệu tham khảo 41

CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay đa số học sinh, sinh viên không biết đến cách sắp xếp các suy luận để chứng minh một định lý, một bài toán hay một vấn đề Một vấn đề cụ thể đó có bao nhiêu cách chứng minh, cách chứng minh nào có thể tiếp cận được vấn đề dễ dàng và nhanh chóng? Các em chỉ biết kết quả cụ thể của kiến thức, không biết được nguồn gốc hình thành cũng như ý nghĩa kết quả của kiến thức

đó Do đó khó sử dụng các kiến thức đã biết để chứng minh cho vấn đề nào đó Phương pháp chứng minh có liên quan đến nhiều lĩnh vực khoa học trong

xã hội hiện nay: toán học, văn học, vật lí, tài chính, quản trị, địa chất, luật … Do

đó, tôi thực hiện đề tài: chiến lược chứng minh trong suy luận toán học

1.2 Mục đích của đề tài

Mục đích của đề tài nhằm cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản

về tư duy logic, suy luận trong toán học, các phương pháp chứng minh và cách kết hợp các phương pháp chứng minh để giải quyết bài toán, một vấn đề nào đó cần chứng minh, cũng như chọn các phương pháp nào thích hợp cho công việc của mình

Ngày nay, có nhiều phương pháp chứng minh trong toán học Trong đề tài này sẽ trình bày những phương pháp cơ bản, trong đó có một số phương pháp thông dụng và nhiều hữu ích Nhằm giúp cho học sinh, sinh viên mau chóng tiếp cận và thong hiểu được vấn đề mà mình quan tâm

1.3 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Về mặt lý thuyết đề tài nghiên cứu một số khía cạnh bổ trợ của nghệ thuật

và khoa học chứng minh: bao gồm cách chứng minh ngược, tức là thay vì chứng minh từ giả thuyết đến kết luận, ta chứng minh từ kết luận, cải tiến các chứng minh đã có và lợi dụng các ưu điểm của các phương pháp chứng minh

Thông qua việc tiếp cận các phương pháp chứng minh và nghiên cứu cách kết hợp các chứng minh, sinh viên có thể các môn học khác trong chuyên ngành của mình được dễ dàng hơn, cũng như vận dụng để giải quyết một số bài toán,

vấn đề trong lĩnh vực tài chính, kiểm toán, quản lí, tiếp thị

Từ đó trau dồi tư duy logic và rèn luyện kỹ năng suy đoán, tính toán của

sinh viên

1.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Các phương pháp chứng minh trong toán học

- Chiến lược chứng minh trong suy luận toán học: Sự lựa chọn và kết hợp các phương pháp chứng minh

1.5 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài thực hiện trên cơ sở phương pháp nghiên cứu thu thập lý thuyết liên quan đến phương pháp chứng minh, dựa trên tư duy logic và thực nghiệm giảng

dạy môn toán

1.6 Bố cục của đề tài

Đề tài gồm 5 chương:

Chương 1: Mở đầu

Chương 2: Cơ sở lý luận

Chương 3: Thực trạng và phương pháp nghiên cứu

Chương 4: Kết quả nghiên cứu

Chương 5: Kết luận

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ LUẬN

2.1 Cơ sở lí thuyết

hoàn chỉnh về bản chất sự vật và mối liên hệ cơ bản giữa sự vật với thế giới hiện

thể hiểu là hình thức tư duy của con người về những thuộc tính, bản chất của sự vật và mối liên hệ của những đặc tính đó với nhau, hình thành các khái niệm để tìm hiểu mối quan hệ giữa các khái niệm với nhau, để phân biệt sự vật này với

sự vật khác và để đo lường thuộc tính bản chất của sự vật hay hình thành khái niệm nhằm mục đích xây dựng cơ sở lý luận

2.2 Cơ sở lý luận đề tài

Đó là cơ cở lý thuyết và cơ sở thực tiễn Cơ sở lý thuyết bao gồm các lý thuyết, luận điểm khoa học, các tiên đề, định lí, định luật, qui luật được làm luận

cứ cho chứng minh Cơ sở thực tiễn bao gồm số liệu thu thập được, phân tích và tổng hợp

2.3 Vai trò và vị trí

Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể hiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, toán học thúc đẩy mạnh

mẽ các quá trình tự động hoá trong sản xuất và trở thành công cụ thiết yếu của mọi khoa học Toán học có vai trò quan trọng như vậy không phải là do ngẫu nhiên mà chính là sự liên hệ thường xuyên với thực tiễn, lấy thực tiễn làm động lực phát triển và là mục tiêu phục vụ cuối cùng Để đáp ứng được sự phát triển của kinh tế, của khoa học khác, của kỹ thuật và sản xuất đòi hỏi phải có con người lao động có hiểu biết có kỹ năng và ý thức vận dụng những suy luận hợp

lí, các phương pháp chứng minh toán học trong những điều kiện cụ thể để mang lại hiệu quả lao động thiết thực

2.4 Kinh nghiệm nghiên cứu trong nước

Trong chương trình giảng dạy của khoa Toán ở các trường đại học như

trường đại học Khoa học Tự nhiên, trường đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh có các chương cơ sở logic, phương pháp đếm, phương pháp quy nạp, các thuật toán đệ quy…Qua đó, sinh viên sẽ học và làm quen được nhiều cách

chứng minh Nhưng chưa có phần nào tổng hợp các phương pháp chứng minh

và cách thức kết hợp để xây dựng các phương pháp chứng minh

2.5 Kinh nghiệm nghiên cứu ở nước ngoài

Nhiều nhà toán học ở nước ngoài tập trung nghiên cứu ứng dụng của toán học Đã có nhiều nghiên cứu viết thành sách, trong đó có tập hợp được một số phương pháp chứng minh, một số phương pháp khác được trình bày ở những phần ứng dụng riêng Hơn nữa còn có phần ưu điểm của các phương pháp chứng minh

CHƯƠNG 3: THỰC TRẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

3.1 Quá trình hình thành và phát triển toán học

Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng,

không gian, các con số, số lượng và sự sắp xếp, bao gồm hình học, số học, đại

số và giải tích, các phương pháp của toán học liên quan đến suy luận logic và thường sử dụng các ký hiệu tượng trưng

Các nhà toán học tìm kiếm các mô thức và sử dụng chúng để tạo ra những giả thuyết mới Họ lý giải tính đúng đắn hay sai lầm của các giả thuyết bằng các chứng minh toán học Khi những cấu trúc toán học là mô hình tốt cho hiện thực, lúc đó suy luận toán học có thể cung cấp sự hiểu biết sâu sắc hay những tiên đoán về tự nhiên Thông qua việc sử dụng những phương pháp trừu tượng và lôgic, toán học đã phát triển từ việc đếm, tính toán, đo lường và nghiên cứu có

hệ thống những hình dạng và chuyển động của các đối tượng vật lý Con người

đã ứng dụng toán học trong đời sống từ xa xưa Việc tìm lời giải cho những bài toán có thể mất hàng năm, hay thậm chí hàng thế kỷ

Những lập luận chặt chẽ xuất hiện trước tiên trong nền toán học Hy

Lạp cổ đại, đáng chú ý nhất là trong tác phẩm Cơ sở của Euclid Kể từ những

công trình tiên phong của Giuseppe Peano (1858–1932), David Hilbert (1862–1943) và của những nhà toán học khác trong thế kỷ 19 về các hệ thống tiên đề, nghiên cứu toán học trở thành việc thiết lập chân lý thông qua suy luận lôgic chặt chẽ từ những tiên đề và định nghĩa thích hợp Toán học phát triển tương đối chậm cho tới thời Phục hưng, khi sự tương tác giữa những phát minh toán học với những phát kiến khoa học mới đã dẫn đến sự gia tăng nhanh chóng những phát minh toán học vẫn tiếp tục cho đến ngày nay

Toán học được sử dụng trên khắp thế giới như một công cụ thiết yếu trong nhiều lĩnh vực, bao gồm khoa học, kỹ thuật, y học và tài chính Toán học ứng dụng, một nhánh toán học liên quan đến việc ứng dụng kiến thức toán học vào

những lĩnh vực khác, thúc đẩy và sử dụng những phát minh toán học mới, từ đó

đã dẫn đến việc phát triển nên những ngành toán hoàn toàn mới, chẳng hạn như thống kê và lý thuyết trò chơi Các nhà toán học cũng dành thời gian cho toán học thuần túy, hay toán học vị toán học Không có biên giới rõ ràng giữa toán học thuần túy và toán học ứng dụng, những ứng dụng thực tiễn thường được khám phá từ những gì ban đầu được xem là toán học thuần túy

Từ "mathematics" trong tiếng Anh bắt nguồn từ μάθημα (máthēma)

trong tiếng Hy Lạp cổ, có nghĩa là "thứ học được", "những gì người ta cần biết,"

và như vậy cũng có nghĩa là "học" và "khoa học"; còn trong tiếng Hy Lạp hiện

đại thì nó chỉ có nghĩa là "bài học" Trong tiếng Việt, "toán" có nghĩa là tính;

"toán học" là môn học về toán số

Sự tiến hóa của toán học có thể nhận thấy qua một loạt gia tăng không ngừng những phép trừu tượng, hay qua sự mở rộng của nội dung ngành học Phép trừu tượng đầu tiên, mà nhiều loài động vật có được, có lẽ là về các con số, với nhận thức rằng, chẳng hạn, một nhóm hai quả táo và một nhóm hai quả cam

có cái gì đó chung, ở đây là số lượng quả trong mỗi nhóm

Các bằng chứng khảo cổ học cho thấy, ngoài việc biết đếm những vật thể vật lý, con người thời tiền sử có thể cũng đã biết đếm những những đại lượng trừu tượng như thời gian, ngày, mùa và năm

Đến khoảng năm 3000 trước Công nguyên thì toán học phức tạp hơn mới xuất hiện, khi người Babylon và người Ai Cập bắt đầu sử dụng số học, đại số, và hình học trong việc tính thuế và những tính toán tài chính khác, trong xây dựng

và trong quan sát thiên văn Toán học được sử dụng sớm nhất trong thương mại,

đo đạc đất đai, hội họa, dệt và trong việc ghi nhớ thời gian

Các phép tính số học căn bản trong toán học Babylon (cộng, trừ, nhân

và chia) xuất hiện đầu tiên trong các tài liệu khảo cổ Giữa năm 600 đến 300 trước Công nguyên, người Hy Lạp cổ đã bắt đầu nghiên cứu một cách có hệ

từ đó toán học đã phát triển vượt bậc; sự tương tác giữa toán học và khoa học đã đem lại nhiều thành quả và lợi ích cho cả hai Ngày nay, những phát minh toán học mới vẫn tiếp tục xuất hiện

3.2 Phương pháp và mô hình nghiên cứu

Tổng hợp các phương pháp chứng minh từ sách giáo khoa, các chuyên đề, các tài liệu, tư liệu trên internet, phân tích ưu điểm của từng phương pháp chứng minh Quan sát, đặt vấn đề và lập giả thuyết xác định tiền đề chính, sau đó phân tích các kiến thức có được từ những suy luận suy diễn một cách logic để kết luận giả thuyết

Qua những ví dụ, phân tích rút ra nhận xét về thuộc tính, bản chất của sự vật và mối liên hệ của chúng, từ đó đưa ra phương pháp chứng minh thích hợp

CHƯƠNG 4: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

4.1 Các phương pháp chứng minh trong toán học

Trong nghiên cứu toán học xuất hiện hai vấn đề quan trọng: Khi nào một suy luận toán học là đúng và có thể dùng các phương pháp chứng minh nào để xây dựng các suy luận toán học?

Một chứng minh là một cách trình bày thuyết phục (sử dụng những chuẩn mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực đó) rằng một phát biểu toán học là đúng đắn Chứng minh có được từ lập luận suy diễn, chứ không phải là tranh luận kiểu quy nạp hoặc theo kinh nghiệm Có nghĩa là, một chứng minh phải biểu diễn cho thấy một phát biểu là đúng với mọi trường hợp, không có ngoại lệ

Phát biểu đã được chứng minh thường được gọi là định lý Một khi định

lý đã được chứng minh, nó có thể được dùng làm nền tảng để chứng minh các phát biểu khác Một định lý cũng có thể được gọi là bổ đề, đặc biệt nếu nó được

dự định dùng làm bước đệm để chứng minh một định lý khác Những chứng minh phức tạp thường dễ hiểu hơn khi sử dụng một số các bổ đề, trong đó mỗi

bổ đề được chứng minh riêng rẽ Còn hệ quả là mệnh đề được suy ra trực tiếp từ một định lý đã được chứng minh Trong khi đó phỏng đoán là một mệnh đề mà

mà giá trị chân lí của nó còn chưa biết Khi tìm ra chứng minh của một phỏng đoán thì phỏng đoán đó trở thành một định lí Nhiều trường hợp các phỏng đoán được chứng minh là sai, do đó chúng không phải là định lí

Các phương pháp chứng minh được đề cập tới rất quan trọng không chỉ bởi vì chúng thường xuyên được dùng để chứng minh các định lí toán học mà còn vì chúng được áp dụng nhiều cả trong tin học Chẳng hạn, đó là sự kiểm tra tính đúng đắn của một chương trình máy tính hay việc khẳng định sự an toàn của một hệ điều hành, xây dựng các luật suy diễn trong lĩnh vực trí tuệ nhân tạo… Do vậy, nắm vững các kỹ thuật chứng minh là vô cùng cốt yếu trong cả toán học và tin học

4.1.1 Chứng minh trực tiếp

Có thể chứng minh mệnh đề kéo theo p → q (“ nếu p thì q”) bằng cách

chứng tỏ rằng nếu p là đúng thì q cũng cần phải đúng Điều này có nghĩa là tổ hợp p đúng và q sai không bao giờ xảy ra Loại này gọi là chứng minh trực tiếp

Để thực hiện một chứng minh như vậy, giả sử p đúng cần chứng minh q đúng bằng cách phối hợp một cách lôgic các tiên đề, định nghĩa và các định lý trước

đó

Ví dụ 1: Chứng minh trực tiếp có thể dùng để chứng minh rằng tổng của

hai số nguyên chẵn luôn luôn là số chẵn

Với hai số nguyên chẵn bất kì x và y ta có thể biểu diễn thành x = 2a và y

= 2b qua hai số nguyên a và b nào đó, vì cả x và y đều là bội số của 2 Mà tổng x + y = 2a + 2b = 2(a + b) cũng là bội của 2, do đó theo định nghĩa, nó là số chẵn Bài chứng minh này sử dụng định nghĩa số nguyên chẵn và luật phân phối

Ví dụ 2: Chứng minh rằng tổng của hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ

Giả sử r và s là hai số hữu tỉ Theo định nghĩa số hữu tỉ thì có các số

nguyên p và q với q ≠ 0 sao cho r = p/q; và các số nguyên t và u với u ≠ 0 sao cho s = t/u Bước tiếp theo cộng r và s ta được

tỉ Như vậy, ý định chứng minh trực tiếp đã thành công

Bài chứng minh này sử dụng định nghĩa số hữu tỉ và quy tắc cộng hai phân số

4.1.2 Chứng minh gián tiếp

Vì mệnh đề kéo theo p → q (“ nếu p thì q ”) tương đương với mệnh đề

→ q (“ nếu p thì q ”) sẽ được chứng minh bằng cách chứng tỏ rằng “ nếu không

q thì không p” là đúng Chứng minh cách này gọi là chứng minh gián tiếp

Trong chứng minh gián tiếp, người ta giả sử rằng kết luận của mệnh đề kéo theo này là sai dẫn đến giả thiết của mệnh đề đó sai thì mệnh đề ban đầu là đúng

Ví dụ 1: Chứng minh gián tiếp định lí:”Nếu (5n + 2 ) là một số lẻ thì n

cũng là số lẻ”

Giả sử kết luận của mệnh đề sai, tức là n là số chẵn Khi đó n = 2k, với k

là một số nguyên nào đó Từ đó suy ra rằng 5n + 2 = 5(2k) + 2 = 2(5k + 2) nên 5n + 2 là số chẵn, tức là giả thiết (5n + 2) là một số lẻ là sai Nên mệnh đề ban đầu là đúng

Ví dụ 2: Chứng minh rằng:”Nếu n là một số nguyên và (3n + 2) là một số

Nên mệnh đề ban đầu là đúng

4.1.3 Chứng minh phản chứng

thuẫn q sao cho ¬p → q (“không p thì q”) là đúng, tức là :” không p thì sai” là đúng Khi đó ¬p phải là sai Do đó p là đúng Chứng minh kiểu này được dùng khi có thể tìm được mâu thuẫn dạng “r và không r”, sao cho có thể chứng minh được mệnh đề kéo theo ¬p → (r ˄ ¬r) (“không p kéo theo r và không r”) là

đúng Đó là cách chứng minh phản chứng

Ví dụ 1: Chứng minh phản chứng định lí:”Nếu (5n + 2 ) là một số lẻ thì n

cũng là số lẻ”

Giả sử (5n + 2) là số lẻ và n không lẻ tức n chẵn Ở ví dụ trên ta chứng minh được n chẵn thì (5n + 2) cũng chẵn Điều này mâu thuẫn với giả thiết (5n + 2) là một số lẻ Định lí đã được chứng minh

Chứng minh gián tiếp mệnh đề kéo theo cũng có thể làm như chứng minh bằng phản chứng Trong chứng minh gián tiếp ta chứng tỏ rằng p → q là đúng bằng cách chứng minh trực tiếp ¬q → ¬p (“không q kéo theo không p”) Tức là trong chứng minh gián tiếp của p → q, ta giả sử rằng ¬q là đúng và chứng minh rằng ¬p cũng phải đúng Để viết lại chứng minh gián tiếp mệnh đề p → q như một chứng minh bằng phản chứng, ta giả sử cả p và ¬q là đúng Khi đó, ta dùng các bước trong chứng minh trực tiếp của ¬q → ¬p để chứng minh rằng ¬p cũng phải đúng Điều này dẫn tới mâu thuẫn p và ¬p, tức là hoàn tất chứng minh bằng phản chứng

Ví dụ 2: Dùng chứng minh phản chứng, chứng minh rằng:”Nếu n là một

+ 5 và n cùng số lẻ là sai Vậy định lí đã được chứng minh

Trong chứng minh phản chứng, người ta sẽ chứng minh nếu một phát biểu nào đó xảy ra, thì dẫn đến mâu thuẫn về lôgic, vì vậy phát biểu đó không được xảy ra Phương pháp này có lẽ là phương pháp phổ biến nhất trong chứng minh toán học

dưới dạng tích của hai hay nhiều số nguyên tố Tuy nhiên, Q không chia hết bất

rằng đã liệt kê hết tất cả các số nguyên tố Do đó có một số vô hạn các số

nguyên tố

Một ví dụ nổi tiếng về cách chứng minh phản chứng là để chứng minh

b

nguyên khác không có ước chung lớn nhất là 1 (theo định nghĩa số hữu tỷ) Do

vế phải cũng phải chia hết cho 2 (vì chúng bằng nhau và đều là số nguyên) Do

đó a2

là số chẵn, có nghĩa là a cũng phải là số chẵn Dẫn đến ta có thể viết

a = 2c, trong đó c cũng là số nguyên Thay vào phương trình ban đầu cho ra

2b2 = (2c)2 = 4c2 Chia hai vế cho 2 ta được b2 = 2c2

chia hết cho 2, nên b phải là số chẵn Nhưng nếu a và b đều là số chẵn, chúng sẽ có chung một ước số là 2 Điều này

trái với giả thuyết (không p là đúng), do đó mà chúng ta buộc phải kết luận rằng

2là số vô tỷ

4.1.4 Chứng minh bằng quy nạp toán học

Giả sử chúng ta cần tính tổng n số nguyên dương lẻ đầu tiên Với n = 1, 2, 3,

Nhưng chúng ta cần phải có phương pháp chứng minh dự đoán trên là đúng, nếu thực tế đúng như vậy

Quy nạp toán học là một kỹ thuật chứng minh cực kì quan trọng Người ta dùng nó để chứng minh những điều khẳng định kiểu như trên Quy nạp toán học rất hay được sử dụng để chứng minh các kết quả về những đối tượng rời rạc thuộc nhiều kiểu khác nhau Chẳng hạn, chứng minh độ phức tạp của thuật toán, tình đúng đắn của một số loại chương trình, các định lí về đồ thị và cây, cũng như một lớp rộng rãi các đẳng thức và bất đẳng thức

Chúng ta sẽ mô tả cách dùng phương pháp quy nạp toán học, nhưng điều quan trọng cần phải nhớ là quy nạp toán học chỉ dùng để chứng minh các kết quả đã nhận được bằng một cách nào đó chứ không phải là công cụ để phát hiện

Trong cách chứng minh bằng quy nạp toán học, đầu tiên "trường hợp cơ sở" sẽ được chứng minh, sau đó sẽ dùng một "luật quy nạp" để chứng minh (thường là vô tận) các trường hợp khác Vì trường hợp cơ sở là đúng, tất cả các trường hợp khác cũng phải đúng, thậm chí nếu ta không thể chứng minh trực tiếp tất cả chúng là đúng vì số lượng vô tận của nó Nguyên tắc quy nạp toán học

như sau: Cho N = { 1, 2, 3, 4, } là tập các số tự nhiên và P(n) là một phát biểu toán học liên quan tới một số tự nhiên n thuộc N sao cho

mọi số dương k

Khi đó P(n) là đúng với mọi số tự nhiên n

Ví dụ 1: Chứng minh tổng n số nguyên dương lẻ đầu tiên là n2

Bước cơ sở:

hiển nhiên đúng, vì tổng của số nguyên dương đầu tiên là 1

Đẳng thức này chứng tỏ P(k + 1) được suy ra từ P(k)

Theo nguyên lí quy nạp toán học chỉ ra rằng P(n) đúng với mọi n nguyên dương

thiết quy nạp, số hạng thứ hai bằng 3 lần một số nguyên) suy ra (k + 1)3

– (k + 1) chia hết cho 3 Bước quy nạp đã hoàn thành Như vậy, theo nguyên lí quy nạp

– n chia hết cho 3, với mọi n nguyên dương

Ví dụ 3: Các số điều hòa Hj, j = 1, 2, 3, … được định nghĩa như sau:

1 1

H

H

k

k k k

Đó là điều cần chứng minh

4.1.5 Chứng minh xây dựng (chứng minh tồn tại)

Nhiều định lí là những khẳng định sự tồn tại các đối tượng thuộc một loại nào đó Một định lí loại này là mệnh đề có dạng ƎxP(x), Với P là vị từ Chứng minh mệnh đề dạng ƎxP(x) được gọi là chứng minh xây dựng Đôi khi cách chứng minh này được biểu hiện bằng cách tìm ra một dẫn chứng cụ thể với một thuộc tính nào đó để chứng minh rằng có tồn tại một thứ có tính chất như vậy Nếu không tìm ra được phần tử a sao cho P(a) là đúng mà chứng minh rằng ƎxP(x) là đúng bằng cách khác

Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng tồn tại một cặp số nguyên liên tiếp sao cho một số

là số chính phương, còn số kia là lập phương của một số nguyên

được chứng minh

Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng tồn tại một số nguyên dương có thể được viết

dưới dạng tổng các lập phương của các số nguyên dương theo hai cách

Sau nhiều lần tính toán ta tìm được:

Một số Liouville do đó có thể xấp xỉ rất sát bởi một dãy số hữu tỉ Năm

1844, Joseph Liouville chỉ ra rằng tất cả các số Liouville là số siêu việt, nhờ đó

đã thiết lập lần đầu tiên sự tồn tại của các số siêu việt

4.1.6 Chứng minh không xây dựng

Một chứng minh không xây dựng (nonconstructive proof) sẽ chứng minh một đối tượng toán học nào đó phải tồn tại (ví dụ "X nào đó thỏa mãn f(X)"), mà không giải thích làm thế nào để tìm đối tượng đó Thông thường, nó có dạng như chứng minh phản chứng trong đó người ta chứng minh việc không tồn tại một đối tượng là không xảy ra Ngược lại, một chứng minh xây dựng (chứng minh tồn tại) chứng minh rằng một đối tượng nào đó tồn tại bằng cách đưa ra phương pháp tìm nó

Một ví dụ nổi tiếng về chứng minh không xây dựng là chứng minh tồn tại

A E B

F

H

D G C