Bài kiểm tra quá trình lần 2 điều khiển thông minh thầy phong HCMUTE có đính kèm thêm file mô phỏng. Bài báo cáo đạt 9 điểm. Phương pháp lyapunov cung cấp điều kiện đủ để đánh giá ổn định của hệ phi tuyến. Có thể áp dụng cho hệ phi tuyến bậc cao bất kì. Có thể dùng phương pháp Lyapunov để thiết kế các bộ điều khiển phi tuyến. Hiện nay phương pháp lyapunov là phương pháp được sử dụng rộng rãi nhất để phân tích thiết kế hệ phi tuyến. Hiện nay phương pháp Lyapunov là phương pháp được sử dụng rộng rãi nhất để phân tích hệ phi tuyến. Để tìm điểm cân bằng thì các tín hiệu điều khiển và các biến trạng thái phải bằng không. Ở đây ví dụ ta có các biến trạng thái và giải ra điểm làm việc. Để xác định tín ổn định đó có cân bằng hay không thì xét tính ổn định theo Lyapunov. Như vậy mới xác định được tính ổn định của hệ.
Balancing an inverted pendulum
Đặt yêu cầu bài toán
Figure 1-1 Hệ thống cần được điều khiển
Figure 1-2 Mô hình động cơ DC
1 Thiết kế bộ điều khiển trượt để hệ thống Balancing inverted pendulum bám quỹ đạo Y d cho trước.
2 Thực hiện mô phỏng hệ thống trên bằng Matlab/Simulink.
Phương trình trạng thái mô tả hệ thống được viết :
212\* MERGEFORMAT (.) Đặt biến trạng thái ngõ ra: yx 1 Đặt các biến trạng thái :
313\* MERGEFORMAT (.) Cho các thông số như sau :
: is the motor torque constant.
: is the back EMF constant.
Với các thông số trên phương trình (1.1) được trở thành :
Ta có các thông số được tính toán để đưa vào các khối “matlab function” để tính toán :
Mô tả hệ thống
2.1 Hàm lyapunov cho hệ phi tuyến :
Hệ phi tuyến là các hệ có cứa các thành phần phi tuyến như là sin,cos, , x 2 x
727\* MERGEFORMAT (.) Phương pháp lyapunov cung cấp điều kiện đủ để đánh giá ổn định của hệ phi tuyến.
Có thể áp dụng cho hệ phi tuyến bậc cao bất kì.
Có thể dùng phương pháp Lyapunov để thiết kế các bộ điều khiển phi tuyến.
Hiện nay phương pháp lyapunov là phương pháp được sử dụng rộng rãi nhất để phân tích thiết kế hệ phi tuyến.
Phương pháp Lyapunov hiện nay là công cụ phổ biến nhất để phân tích hệ phi tuyến Để xác định điểm cân bằng, các tín hiệu điều khiển và biến trạng thái cần phải bằng không Ví dụ, với các biến trạng thái x, ẋ, u̇, chúng ta có thể giải để tìm điểm làm việc Để kiểm tra tính ổn định của điểm cân bằng, cần áp dụng định lý Lyapunov nhằm xác định tính ổn định của hệ thống.
2.2 Phương pháp trực tiếp Lyapunov – Định lý ổn định :
Khác với hệ tuyến tính, tính ổn định của hệ phi tuyến phụ thuộc vào cả ngõ vào và mô hình của hệ. Điểm cân bằng :
Khái niệm : cho hệ phi tuyến không kích thích mô ta với phương trình trạng thái :
828\* MERGEFORMAT (.) Điểm cân bằng x e của hệ là điểm mà hệ sẽ đứng yên tại đó khi không có tác động bên ngoài :
- Điểm cân bằng x e xác định bởi phương trình :
Hệ phi tuyến có thể không có điểm cân bằng hoặc có nhiều điểm cân bằng, khác với hệ tuyến tính luôn có ít nhất một điểm cân bằng Một hệ được gọi là ổn định tại điểm cân bằng nếu khi có tác động tức thời làm hệ rời khỏi điểm cân bằng, nó có khả năng quay lại trạng thái ban đầu.
Nonlinear system sliding mode control
Hàm lyapunov cho hệ phi tuyến
Hệ phi tuyến là các hệ có cứa các thành phần phi tuyến như là sin,cos, , x 2 x
727\* MERGEFORMAT (.) Phương pháp lyapunov cung cấp điều kiện đủ để đánh giá ổn định của hệ phi tuyến.
Có thể áp dụng cho hệ phi tuyến bậc cao bất kì.
Có thể dùng phương pháp Lyapunov để thiết kế các bộ điều khiển phi tuyến.
Hiện nay phương pháp lyapunov là phương pháp được sử dụng rộng rãi nhất để phân tích thiết kế hệ phi tuyến.
Phương pháp Lyapunov hiện nay là công cụ phổ biến nhất để phân tích hệ phi tuyến Để xác định điểm cân bằng, cần phải có các tín hiệu điều khiển và biến trạng thái bằng không Ví dụ, với các biến trạng thái x, ẋ1, ẋ2, ta có thể giải ra điểm làm việc Để đánh giá tính ổn định, cần xem xét tính ổn định theo Lyapunov, từ đó xác định được sự ổn định của hệ thống.
Phương pháp trực tiếp Lyapunov – Định lý ổn định
Khác với hệ tuyến tính, tính ổn định của hệ phi tuyến phụ thuộc vào cả ngõ vào và mô hình của hệ. Điểm cân bằng :
Khái niệm : cho hệ phi tuyến không kích thích mô ta với phương trình trạng thái :
828\* MERGEFORMAT (.) Điểm cân bằng x e của hệ là điểm mà hệ sẽ đứng yên tại đó khi không có tác động bên ngoài :
- Điểm cân bằng x e xác định bởi phương trình :
Hệ phi tuyến có thể không có điểm cân bằng hoặc có nhiều điểm cân bằng, khác với hệ tuyến tính luôn có ít nhất 1 điểm cân bằng Một hệ được gọi là ổn định tại điểm cân bằng nếu sau khi bị tác động tức thời, hệ có khả năng quay lại điểm cân bằng ban đầu Định lý ổn định Lyapunov áp dụng cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bằng phương trình trạng thái.
10210\* MERGEFORMAT (.) Giả sử hệ thống có điển cân bằng x e 0
Nếu tốn tại hàm V(x) sao cho trong miền D n chứa điểm lân cận bằng V(x) thỏa :
Thì hệ thống trên ổn định Lyapunov tại điểm 0. Ổn định lyapunov :
Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả với phương trình trạng thái :
Giả sử hệ thống có điển cân bằng x e 0
Hệ thống được coi là ổn định Lyapunov tại điểm cân bằng \( x_e = 0 \) nếu với bất kỳ \( \epsilon > 0 \) nào, luôn tồn tại một \( \delta \) phụ thuộc vào \( \epsilon \) sao cho nghiệm \( x(t) \) của phương trình (2.2) với điều kiện \( x(0) \) thỏa mãn.
12212\* MERGEFORMAT (.) Ổn định tiệm cận lyapunov :
Figure 2-4 Ổn định tiệm cận lyapunov
Cho hệ phi tuyến không kích thích mô ta với phương trình trạng thái :
13213\* MERGEFORMAT (.) Giả sử hệ thống có điển cân bằng x e 0
Hệ thống được coi là ổn định tiệm cận Lyapunov tại điểm cân bằng \( x_e = 0 \) nếu với mọi \( \epsilon > 0 \), luôn tồn tại một \( \delta \) phụ thuộc vào \( \epsilon \) sao cho nghiệm \( x(t) \) của phương trình (2.2) với điều kiện \( x(0) \) thỏa mãn.
Sliding mode control
Hệ thông đang ở vị trí bất kỳ ban đầu chúng ta kéo về mặt trượt và tự động trượt về gốc.
Xét đổi tượng Single input – Single output (SISO) bậc n mô tả bởi phương trình trạng thái:
T n x x x x n là vector trạng thái của hệ thống
- f x( ) n , ( )g x n là các vector hàm trơn mô ta động học hệ thống.
- h x là hàm trơn mô tả quan hệ giữa biến trạng thái và tín hiệu ra
Bài toán đặt ra là điều khiển tín hiệu ra y t bám theo tín hiệu đặt y t d
Nếu đối tượng có bậc tương đối bằng n, ta có thể biểu diễn mối quan hệ vào ra của đối tượng bằng cách lấy đạo hàm của phương trình y h x đến n lần.
21221\* MERGEFORMAT (.) Định nghĩa mặt trượt :
- Trong đó k i được chọn sao cho :
là đa thức hurwitz; vị trí nghiệm của s 0 quyết định đặc tính quá độ quá trình
0 e t khi 0, 0được gọi là mặt trượt, s gọi là đa thức đặt trưng mặt trượt.
Bài toán điều khiển tín hiệu ra y t bám theo tín hiệu đặt y t d được chuyển thành bài toán tìm tín hiệu điều khiển u t sao cho 0
Hàm lyapunov áp dụng vào bộ điều khiển trượt :
25225\* MERGEFORMAT (.) Đạo hàm hàm Lyapunov :
V 26226\* MERGEFORMAT (.) Để 0cần chọn tín hiệu điều khiển u t sao cho V 0
32232\* MERGEFORMAT (.) Với luật điều khiển trên, ta có:
33233\* MERGEFORMAT (.) Thỏa cái điều kiện :
Quỹ đạo pha của hệ thống điều khiển trượt :
Quỹ đạo pha lý tưởng của của hệ bậc 2 chuyển động trên mặt trượt về gốc tọa độ :
Figure 2-6 Quỹ đạo pha lý tưởng của điều khiển trượt
Quỹ đạo pha thực tế dao động quanh mặt trượt về gốc tọa độ, gây nên hiện tượng chattering :
Figure 2-7 Quỹ đạo pha thực tế của bộ điều khiển trượt
Trình tự thiết kế bộ điều khiển trượt bám quỹ đạo :
1 Biểu diễn quan hệ vào ra của đối tượng phi tuyến dưới dạng :
- Trong đó k i được chọn sao cho :
- là đa thức Hurwitz; nghiệm của s 0càng nằm xa trục ảo thì e t 0 càng nhanh khi 0
3 Viết biểu thức bộ điều khiển trượt :
MERGEFORMAT (.)Trong đó K 0 K càng lớn thì 0càng nhanh.
4 Thiết kế bộ lọc thông thấp tín hiệu vào để đám bảo tín hiệu chuẩn khả vi bị chặn đến bậc n
Chú ý : có thể thay hàm sign() bằng hàm sat() hoặc các hàm trơn để giảm hiện tượng chattering
Figure 2-8 Hàm sign() và hàm sat()
Có nhiều phiên bản điều khiển trượt khác nhau tùy theo mô tả toán học của đối tượng phi tuyến và yêu cầu điều khiển.
Nguyên tắc cơ bản khi thiết kế luật điều khiển trượt là :
Định nghĩa tín hiệu trượt là hàm của sai số bám hoặc trạng thái hệ thống
Chọn hàm Lyapunov là hàm toàn phương của mặt trượt
Chọn tín hiệu điều khiển áo cho đạo hàm cảu hàm Lyapunov luôn âm3813EquationChapter (Next) Section 1
Điều khiển hệ Balancing inverted pendulum
Thiết kế bộ điều khiển trượt cho hệ balacing inverted pendulum
Figure 3-9 Hệ thống cần được điều khiển
Figure 3-10 Mô hình động cơ DC
39339\* MERGEFORMAT (.) Đặt biến trạng thái ngõ ra: yx 1 Đặt các biến trạng thái :
40340\* MERGEFORMAT (.) Cho các thông số như sau :
: is the motor torque constant.
: is the back EMF constant.
- L a 0.1 H : Điện cảm cuộn dây Đặt các biến trạng thái :
Ta có phương trình trạng thái :
42342\* MERGEFORMAT (.)Thay số vào ta có được phương trình vi phân :
Bước 1 : Lấy đạo hàm tín hiệu ra, ta được :
46346\* MERGEFORMAT (.) Thay ba phương trình (3.4) vào phương trình (3.8) ta thuc được đạo hàm cấp 3 của ngõ ra :
Như vậy ta thu được phương trình có dạng :
Phương trình a(x) thu được có dạng :
Thế số vào ta được :
Phương trình b(x) có dạng như sau :
Thế số vào ta được :
Bước 2 : Biểu thức mặt trượt :
Với: ey d y54354\* MERGEFORMAT (.) Đa thức đặc trưng của mặt trượt :
Ta chọn cặp cực củ đa thức đặc trưng là :
Như vậy đa thức đặc trưng có dạng :
Bước 3 : Viết biểu thức bộ điều khiển trượt :
Thay các thông số tìm được vào biểu thức (3.19) ta thu gọn được phương trình:
Bước 4 : Thiết kế bộ lọc tín hiệu vào :
Chọn bộ long thông thấp bậc 3 để tín hiệu y t d khả vi chặn đến đạo hàm bậc 3 Hàm truyền của bộ lọc là:
Áp dụng bộ điều khiển vào mô hình balacing inverted pendulum
Figure 3-11 Thiết lập hệ thống rời rạc
Ta chuyển hệ thống mô phỏng về rời rạc “Fixed-step” với thời gian lấy mẫu là 0.01s và thời gian mô phỏng là 100s.
Hình ảnh tổng quan của hệ thống :
The System Balancing Inverted Pendulum With Sliding Mode (SMC) Controller
Figure 3-12 Tổng quan về hệ tống Ở phần tổng quan này gồm 4 khối :
- Khối đầu vào là khối tín hiệu.
- Hệ thống ( bao gồm bộ điều khiển và hệ thống mô phỏng).
Chúng ta sẽ khám phá hệ thống điều khiển thực tế và quy trình xây dựng nó, đồng thời phân tích cách mô phỏng sẽ diễn ra Bài viết sẽ đề cập đến các tín hiệu đầu ra đặc trưng và những tình huống cụ thể có thể xảy ra khi thực hiện mô phỏng bộ điều khiển trượt (SMC).
Xây dựng hệ thống bộ điều khiển trượt
The System Balancing Inverted Pendulum With Sliding Mode (SMC) Controller
Figure 3-13 Tổng quan về hệ tống
Ta sẽ đi vào khối tín hiệu sử dụng:
Khối tín hiệu sử dụng
Khi sử dụng bộ điều khiển trượt, tín hiệu đặt được tạo ra từ xung vuông và sin wave sẽ giúp tín hiệu bám sát với hai khối tín hiệu này.
Ta sử dụng xung vuông với biên độ là 1 và tần số là 0.2 rad/s.
Chúng tôi sẽ áp dụng sóng sin có biên độ tương đương với xung vuông nhằm tạo ra sự khác biệt cho hệ thống Đồng thời, chúng tôi cũng mô phỏng hệ thống ở một tần số khác, cụ thể là 1 rad/s, so với xung vuông.
Tiếp theo ta sẽ xây dựng bộ lọc như ta đã thiết kế :
Chúng tôi sử dụng bộ lọc bậc ba bằng cách kết hợp ba bộ lọc bậc một, đồng thời truy xuất khối transfer function từ thư viện Qua bước này, tín hiệu đầu vào được lọc để loại bỏ nhiễu trong hệ thống.
Tiếp theo dựa vào tính toán ta sẽ xây dựng lại hệ thống để kiểm tra đáp ứng hệ thống với bộ điều khiển :
Balancing Inverted Pendulum Sliding Mode Controller With Input Parameter
MODELING x1 x2 x3 yd3dot e2dot edot e u
Figure 3-18 Hệ thống với bộ điều khiển
Dựa vào phương trình (3.5), chúng ta sẽ mô hình hóa hệ thống balancing inverted pendulum thông qua các phương trình vi phân Từ phương trình số (3.6) đến (3.20), chúng ta thiết kế bộ điều khiển với tín hiệu điều khiển là tín hiệu u Việc mô hình hóa phương trình động học của hệ thống là cần thiết để bộ điều khiển có thể hoạt động hiệu quả nhất cho hệ thống balancing inverted pendulum này.
Ta sẽ mô hình hóa hệ thống trước dựa vào phương trình vi phân :
MODELING BALANCING INVERTED PENDULUM x1 x2 x3 u x1_dot x2_dot x_3dot 1 u
Trong mô hình điều khiển của con lắc ngược, chúng ta sử dụng các phương trình vi phân để mô phỏng đặc tính động học của hệ thống, từ đó phát triển các tín hiệu điều khiển tối ưu Tuy nhiên, trong thực tế, có thể xảy ra sai lệch do động cơ hoạt động lâu dài hoặc sự suy giảm chất lượng của vật liệu theo thời gian.
Để thu được các biến trạng thái của hệ thống từ tín hiệu ngõ ra của phương trình phân phân, ta cần thực hiện tích phân ngõ ra của khối hàm MATLAB Qua đó, ta sẽ có được ngõ vào cho các phương trình vi phân của hệ thống.
Dựa vào (3.5) ta sẽ nhập các hàm cho khối matlab function :
%% Programed by Nguyen Duc Anh Quân 20151408 function [x1_dot,x2_dot,x_3dot]=modeling(x1,x2,x3,u)
%State Space : x1_dot=x2; x2_dot=9.8*sin(x1)+x3; x_3dot=-10*x2-10*x3+10*u;
Figure 3-20 Phương trình vi phân mô phỏng hệ thốngXây dựng bộ điều khiển Sliding mode control (SMC) cho hệ Balancing inverted pendulum:
Figure 3-21 Input of Sliding mode controler
Chúng tôi sẽ phát triển bộ điều khiển chế độ trượt dựa trên sai số giữa tín hiệu đặt và tín hiệu đầu ra, cùng với các biến trạng thái của hệ thống và đạo hàm đầu ra Bộ điều khiển chế độ trượt này có khả năng loại bỏ hoàn toàn sai số của hệ thống Tất cả các thông số đầu vào của bộ điều khiển trượt sẽ được xây dựng dựa trên phương trình (3.20).
Dựa vào sai số giữa tín hiệu đặt và tín hiệu ngõ ra, chúng ta sẽ xây dựng tín hiệu vào cho mặt trượt theo công thức (3.15) Trong quá trình này, chúng ta sử dụng e, đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2 của e để thiết lập mặt trượt cho bộ điều khiển trượt Tín hiệu ngõ ra y sẽ có bậc tương ứng với đạo hàm khi xác định tín hiệu điều khiển, và ở đây, chúng ta áp dụng đạo hàm cấp 3 của tín hiệu ngõ vào.
%% Programed by Nguyen Duc Anh Quan 20151408 function u = fcn(x1,x2,x3,yd3dot,e2dot,edot,e,x)
% y = ax + bx(u) ax=9.8*x2*cos(x1)-10*x2-10*x3; bx=(1/0.1);
% Control signal : u=(1/bx)*(-(ax)+yd3dot+30*e2dot+200*edot+150*x);
Hình 3-23 trình bày tín hiệu điều khiển của bộ điều khiển trượt, trong đó tín hiệu đầu ra là u và tín hiệu đầu vào bao gồm ba biến trạng thái của hệ thống, đạo hàm cấp ba của đầu ra, cùng với sai số bậc hai và bậc một Sai số hệ thống và biến x được sử dụng làm hàm tác động cho bộ điều khiển, với việc áp dụng hàm sign và hàm saturation để xây dựng hàm tác động này.
Hàm y a x b x u ta đã đạo hàm ngõ ra (3.8), ta sẽ lấy được a(x) và b(x) để đưa vào tham số cho tín hiệu điều khiển u ngõ ra.
Khi chọn giá trị K trong hàm Ksign, ta nên chọn K lớn để e tiến gần về 0 Tuy nhiên, trong thực tế, việc sử dụng K quá lớn có thể dẫn đến hiện tượng vọt lố, bởi vì tín hiệu u cũng bị giới hạn trong khoảng hoạt động Điều này khiến tín hiệu xác lập nhanh hơn nhưng đồng thời cũng tạo ra vọt lố lớn hơn.
Khi sử dụng hàm có dấu "Sign", hiện tượng chattering có thể xảy ra do ngắt liên tục, khiến động cơ hoạt động không ổn định và giảm tuổi thọ Để khắc phục tình trạng này, cần hiểu rõ về sự đáp ứng của hệ thống khi mô phỏng.
3.3.1 Mô phỏng và nhận xét hệ thống balacing inverted pendulum :
Ta sẽ chạy mô phỏng 100 giây với tín hiệu ngõ vào là xung vuông tần số 1 rad/s biên độ là
1 dùng hàm sign với hệ số K là 700 trong thời gian 10s:
Figure 3-25 Đáp ứng hàm sign với kp0
Hình 3-26 cho thấy sự đáp ứng của các biến trạng thái hệ thống hàm sign với hệ số Kp0 Trong đó, góc theta theo dõi rất hiệu quả tín hiệu đặt là xung vuông trong khoảng thời gian mô phỏng 10 giây.
Sai số trong tín hiệu rất nhỏ và phản ứng nhanh với xung vuông, tuy nhiên, tín hiệu Ia và Thetadot vẫn gặp hiện tượng răng cưa (chattering) do hàm sign, dẫn đến tình trạng "on off" liên tục Hiện tượng này do quá trình đóng cắt tần số cao gây ra, có thể dẫn đến hư hỏng thiết bị.
Tín hiệu điều khiển u đóng ngắt liên tục do hiện tượng chattering, như thể hiện trong hình 3-18, có thể được khắc phục bằng cách sử dụng hàm saturation.
Figure 3-27 Thay đổi hàm tác động saturation
Figure 3-28 Đáp ứng hàm Saturation với Kp0
Figure 3-29 Đáp ứng ngõ ra hàm saturation
Hiện tượng chatturing đã bị loại bỏ, dẫn đến việc không còn tín hiệu đóng cắt liên tục Tuy nhiên, hệ thống hiện tại vẫn chưa đáp ứng tốt so với hàm sign, với sai số lớn và có hiện tượng vọt lố.
Ta sẽ thử mô phỏng hệ thống này ở tần số thấp hơn và xem tác động của 2 hàm này đến hệ thống là như thế nào.
Ta sẽ mô phỏng hệ thống ở tần số 0.2 rad/s và hệ số K giữ nguyên là 700, ta sẽ mô phỏng trong vòng 100s, Đối với hàm Sign :
Figure 3-30 Đáp ứng hệ thống hàm sign ở tần số 0.2 rad/s
Tổng kết
Ưu điểm
- Bộ điều khiển trượt có thể chống nhiều tốt, chống lại các thành phần bất định tốt cụ thể là nguyên nhân do sai số của mô hình.
Mặc dù có sự khác biệt giữa mô hình lý thuyết và thực tế, phương pháp điều khiển chế độ trượt (sliding mode) vẫn hoạt động hiệu quả Sai số của mô hình được sử dụng để thiết kế bộ điều khiển, trong khi các thông số thực tế có thể bị sai lệch Để khắc phục sai số mô hình, có hai phương pháp có thể áp dụng.
Dùng sliding mode có thể loại bod được thông số hệ thống.
Nhược điểm
Hiện tượng chattering do hàm sign gây ra hiện tượng "On-off" do việc đóng cắt tần số cao, ảnh hưởng đến thiết bị Để khắc phục tình trạng này, có thể thay thế hàm sign bằng hàm saturation nhằm loại bỏ hiện tượng không mong muốn.
