Hh9 chủ đề 18 đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp ( 1 buổi )

Định nghĩa Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.. Đường tròn tiếp xúc với tất cả

HH9-CHỦ ĐỀ 18 ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP, ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP ( 1 BUỔI )

A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Định nghĩa

Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi

là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa

giác nội tiếp đường tròn.

Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác

được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được

gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn.

2 Định lí

Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn

ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp

Trong đa giác đều, tâm của đường tròn ngoại tiếp trùng với

tâm của đường tròn ngoại tiếp và được gọi là tâm của một

đa giác đều

Chú ý:

• Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng cách từ

tâm đến đỉnh

• Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ

tâm O đến một cạnh

• Cho n- giác đều cạnh a

- Chu vi của đa giác: 2p na (p là nửa chu vi)

- Mỗi góc ở đỉnh của đa giác có số đo bằng n 2 180 o

n



- Mỗi góc ở tâm của đa giác có số đo bằng

o

360 n

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp: o

a

180 2sin n



Khi đó

o

180

a 2R.sin

n



- Bán kính đường tròn nội tiếp: o

a

180

2 tan n



Khi đó

o

180

a 2r.tan

n



- Liên hệ giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp:

Đường tròn tâm I bán kính r là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Đường tròn tâm O bán kính R là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

2 2 2.

4

R  r a

- Diện tích đa giác đều: S 1nar

2



Một số hình ảnh về đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính độ dài bán kính đường tròn, cạnh của đa giác

Phương pháp giải

+ Dựa vào tính chất các đa giác nội tiếp, ngoại tiếp đường tròn

+ Dựa vào định lý Py-ta go, các hệ thức lượng trong tam giác để tính toán

Câu 1 Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác

ABC

Lời giải

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AB, AC và O là giao điểm của AM, BP, CN

Vì ABC là tam giác đều nên OA OB OC  hay O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Mặt khác ta có OM ON OP  hay O cách đều ba cạnh của tam giác

Vậy O cũng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Xét tam giác vuông AMB có

 

 

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: R OA 2AM a 3

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là: r OM 1AM a 3

Câu 2 Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O;R) Tính độ dài các cạnh của hình vuông theo

R

Lời giải

Vì (O) ngoại tiếp hình vuông ABCD nên O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Theo giả thiết ta có OA OB OC OD R.   

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác OAB có

OA OB AB  AB R R 2R  AB R 2.

Vậy cạnh của hình vuông có độ dài là R 2

Câu 3 Cho tam giác ABC có chu vi 20 cm ngoại tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến của đường tròn (O)

song song với BC bị AB, AC cắt thành đoạn thẳng MN = 2,4 cm Tính độ dài BC

Lời giải

Gọi D, E, F là tiếp điểm của (O) với AB, AC, BC

Ta có AD AE, BD BF, CE CF   nên

AD BF CE AB BC CA 20 10 cm

Đặt BC x, AD y  ta có x y 10 1    

Suy ra MNBC chu vi AMNchu vi ABC .

 Mặt khác chu vi tam giác AMN là: AM AN MN AD AE 2AD 2y.     

Khi đó 2, 4 2y xy 24 2  

x 20  

x 10 x 24 x 10x 24 0

x 4





        

 Vậy độ dài cạnh BC là: 6 cm hoặc 4 cm

Câu 4 Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 18cm Một tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp tam giác cắt

các cạnh AB và AC ở M và N Tính diện tích tam giác AMN biết MN = 8cm

Lời giải

Gọi (O;r) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và E,

F là điểm tiếp xúc của đường tròn với cạnh AC, AB

Ta có AE AF, NE NI, MF MI.  

Vì tam giác ABC đều nên bán kính đường tròn nội tiếp

tam giác là r 1.BE 1 AB 3 3 3 cm  

Xét OEN và OIN có NE NI r; NE NI   (chứng

minh trên); NO là cạnh chung

Suy ra OENOIN c c c    

Chứng minh tương tự ta có OMIOMF

2 MN

1

2 OI.M

2

S 2S AE.OE AC.OE 18.3 3 27 3 cm

S S  S 27 3 24 3 3 3 cm  

Câu 5 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R), biết AB 8cm, AC 18cm,  đường cao

Lời giải

Kẻ đường kính AD.

Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên

ADC ABC 180   

Mặt khác ABH ABC 180    

Do đó ABH ADC. 

Xét hai tam giác vuông ABH và ADC có ABH ADC.  (chứng

minh trên)

Suy ra ABHADC g g   

 

R 12 cm

AC AD 18 2R

Vậy R 12 cm  

Dạng 2: Tính độ dài của dây căng cung

Phương pháp giải

- Nếu cung đã cho căng một dây là cạnh của một đa giác đều n cạnh thì ta tính độ dài của cạnh này theo công thức:

o

180

a 2R.sin

n



- Áp dụng định lí Py-ta-go hoặc hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông để tính dây căng cung 90°

Câu 1: Cho đường tròn (O;R) Từ điểm A trên đường tròn này vẽ các cung AB và AC sao cho

  o   o

sñAB 30 ,sñAC 90 (điểm A nằm trên cung nhỏ BC) Tính các cạnh của ABC và diện tích của nó

Hướng dẫn giải

Ta có B sñAC 90  o 45 o

 sñAB 30  o  o

Suy ra sñBAC 30 90 120       

Do đó BC là cạnh của một tam giác đều nội tiếp Vậy BC R 3.

Vì sñAC 90  o nên AC là cạnh của một hình vuông nội tiếp

Vậy AC R 2.

Vẽ đường cao AH ta được AH AC.sin C R 2 sin15   o

Xét tam giác vuông HAB có:

o

AH

AB AH 2 R 2 sin15 2 2R sin15

sin 45

S AH.BC R 2 sin15 R 3 R sin15

Câu 2: Cho đường tròn (O;R) Cho dây BC R 3. Lấy A thuộc cung nhỏ BC sao cho BA R 2.

Vẽ AHBC Tính AH; AC

Hướng dẫn giải

Vẽ OIBC, ta có BI CI R 3

2

 

Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:

Suy ra OI R

2

 Suy ra OI 1BO

2

IBO 30 

Ta có: BO2OA2 2R2 AB2 nên OAB vuông, do đó BOA 90  

ABC ABO CBO 45     30  15

Xét ABH có AH AB.sin ABC R 2 sin15    o

Mà ACB 1AOB hệ quả góc nội tiếp  45 o

2

Suy ra AHC vuơng cân, do đĩ AH = HC

Áp dụng định lí Py-ta-go trong AHC, ta cĩ:

AC AH HC  AC AH 2 R 2 sin15 2 2R.sin15   

Câu 3: Cho đường trịn (O;R), S là điểm sao cho OS 2R. Vẽ cát tuyến SCO đến đường trịn (o) Lấy C, D thuộc đường trịn (O) Biết CDR 3 Tính SC và SD theo R

Lời giải

Vẽ OHCD, H CD.

Ta cĩ: CD R 3  CD là cạnh của tam giác đều nội tiếp (O; R)  COD 120  

Do đĩ: HOC 60  

Ta cĩ HOC là nửa tam giác đều nên

HOS cĩ  o

H 90 nên



 

3 5 1 15R R 3



Câu 4: Cho đường trịn (O; R), BC là dây cung cố định, sđBC 120    Điểm A di động trên cung lớn

BC Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC

Lời giải

Hạ OMBC, AHBC H, M BC   

Ta cĩ sđBC 120  o  BOC 120  o MOC 60  o

Xét tam giác OMC vuơng tại M cĩ

OM OC.cos MOC R.cos 60 OM

2

BC 2MC 2 OC   OM  BC R 3.

Xét ba điểm A, O, M ta cĩ: AM OA OM. 

Do vậy: AH R R 3R

2 2

   nên

2 ABC

Dấu " = " xảy ra  H M và O nằm giữa A và M  A là điểm chính giữa cung lớn BC

Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC là 3 3R2

4 .