Hh9 chủ đề 14 góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung ( 1 buổi )

LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định lí Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn Ví dụ: xAB được tạo bởi tia Ax và dây AB.. Hệ quả - Trong một đường tròn, gó

HH9-CHỦ ĐỀ 14 GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG

A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định lí

Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây

cung bằng nửa số đo của cung bị chắn

Ví dụ: xAB được tạo bởi tia Ax và dây AB

2

xAB  sđ ABC

Chú ý: Tránh nhầm lẫn giữa cung nhỏ AmB và cung lớn AnB

Hệ quả

- Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia

tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng

chắn một cung thì bằng nhau

Ví dụ:

xAB được tạo bởi tia Ax và dây AB , suy ra  1

2

xAB  sđ AB

AKB là góc nội tiếp chắn AB , suy ra  1

2

AKB  sđ AB Do đó xABAKB

Định lí đảo

- Nếu BAx với đỉnh A nằm trên đường

tròn, một cạnh chứa dây cung AB có số đo

bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và

cung này nằm bên trong góc đó thì Axlà một

tia tiếp tuyến của đường tròn

Ví dụ:

Nếu  1

2

xAB  sđAB AOB thì Ax là tiếp tuyến của đường tròn.

Chú ý: Đây có thể coi là một phương pháp hữu

hiệu để chứng minh một tia là tiếp tuyến của đường tròn.

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Chứng minh các góc bằng nhau, các đẳng thức hoặc các tam giác đồng dạng

Câu 1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O Tiếp tuyến tại A cắt BC ở K.

a) Chứng minh rằng

2 2

KC AC .

b) Tính KA, KC biết rằng AB20cm AC, 28cm BC, 24cm

Lời giải

a) Xét BAK và ACK ta có

AKB là góc chung;   1sd

2

KAB ACB  AB (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn AB )

Do dó BAK ~ACK(g.g) AB KB KA AB22 KB KA KB

b) Theo chứng minh câu a), ta có BAK ~ACK (g.g)

24 20 5

28 7



Giải ra tìm được KA35cm;KC49cm

Câu 2 Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O) Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với (O) ( ,B C là tiếp

điểm) Kẻ cát tuyến AMN với (O) (M nằm giữa A và N) Gọi K là giao điểm cuả AO và BC Đoạn AO

cắt đường tròn  O tại I.

Chứng minh rằng

a) AK AO AM AN

b) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Lời giải

a) Xét ABM và ANB có BAM là góc chung;   1

2

ABM ANB sđ BM (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung)

Do đó ABM ANB g g( ) AB AM AB2 AM AN

Vì AOBC tại K nên BK là đường cao của tam giác ABO

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABO vuông tại B, ta có AB2 AK AO (2)

Từ (1) và (2) suy ra AK AO AM AN

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có AOB AOC

AO

 là phân giác của BAC (*)

Mặt khác AOB  sđ IB 2ABI ;

AOC  sđ IC 2IBC

Suy ra ABI IBC  BI là phân giác của ABC (**)

Từ (*) và (**) suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp ABC

Câu 3 Cho đường tròn O R; đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP R , từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.

a) Chứng minh BM OP//

b) Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành c) Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I, PN và OM kéo dài cắt nhau tại J Chứng minh I, J, K thẳng

hàng

Lời giải

a) Ta có ABM nội tiếp chắn cung AM AOM, là góc ở tâm chắn cung AM

2

AOM

ABM

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có

2

AOM

Từ (1) và (2) suy ra ABM AOP

Mà ABM và AOP là hai góc đồng vị nên BM OP// (3)

b) Xét hai tam giác AOP và OBN có

  90 ; ; 

PAO NOB   OA OB R AOP OBN   (chứng minh câu a)

Do đó AOPOBN g c g( ) OP BN (4)

Từ (3) và (4) suy ra tứ giác OBNP là hình bình hành (vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau).

c) Tứ giác OBNP là hình bình hành  PN OB// hay PJ AB//

Mà ON AB nên ON PJ

Ta cũng có PM  OJ (PM là tiếp tuyến).

Mà ON và PM cắt nhau tại I nên I là trực tâm tam giác POJ  JI OP (5)

Dễ thấy tứ giác AONP là hình chữ nhật vì có PAOAON ONP 90

K

 là trung điểm của PO.

AONP là hình chữ nhật  APO NOP

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có PO là tia phân giác của APM  APO MPO

Suy ra OPI IOP( AOP) OIP cân tại I.

Mặt khác K là trung điểm OP IK  OP (6)

Từ (5) và (6) suy ra I J K, , thẳng hàng (điều phải chứng minh).

Câu 4 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn (M khác A, B)

Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax tại T Tia phân giác của góc TAM cắt nửa đường tròn tại E, cắt tia BMTại F Tia BE cắt Axtại H, cắt AM tại K.

a) Chứng minh rằngAT2 TM TB

b) Chứng minh tam giác BAF là tam giác cân.

c) Chứng minh rằng tứ giác AKFH là hình thoi.

Lời giải

a) Ta có TAB   90 (vì AT là tiếp tuyến của đường tròn)

ATB

  vuông tại A.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào tam giác ATB có đường cao

AM, ta được AT2 TM TB (điều phải chứng minh)

b) Theo giả thiết AE là tia phân giác của TAM

    (tính chất của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và

góc nội tiếp đường tròn)

ABE MBE

  (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

BE

 là tia phân giác của ABF (1)

Mặt khác HAK (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

BE AF

  hay BE là đường cao của tam giác ABF (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác BAF là tam giác cân tại B.

c) Theo chứng minh câu b) ta có BAF là tam giác cân tại B có BE là đường cao nên đồng thời là

đường trung tuyến  E là trung điểm của AF (3)

Từ BEAF AF HK (4)

Mặt khác theo giả thiết AE là tia phân giác của TAM hay AE là tia phân giác của HAK (5)

Từ (4) và (5) suy ra HAK là tam giác cân tại A

Mà AE là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến

E

 là trung điểm của HK (6)

Từ (3), (4) và (6) suy ra AKFH là hình thoi (tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung

điểm mỗi đường là hình thoi)

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, một tia là tiếp tuyến của đường tròn

Phương pháp giải

a) Chứng minh hai đường thẳng song song:

+ Chứng minh hai đường thẳng tạo với đường thẳng thứ ba cặp góc so le trong bằng nhau, cặp góc đồng

vị bằng nhau…

b) Chứng minh một tia là tiếp tuyến của đường tròn:

+ Chứng minh tia này vuông góc với bán kính đi qua gốc của tia

+ Dùng phương pháp phản chứng

Câu 1 Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung: “Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB) có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn”.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Kẻ đường kính AC, nối BC

Ta có  1

2

BCA  sđ AB (góc nội tiếp chắn AB)

 1

2



BAx sđ AB (giả thiết)

Suy ra BCA BAx (1)

Cách 2: (Sử dụng phương pháp phản chứng)

Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa tia Ax vẽ tia Ax' là tia tiếp tuyến của đường tròn  O Ta có

2

BAx  sđ AB (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn AB;

 1 

sd

2 AB

BAx  (giả thiết)

Suy ra BAx  BAx

Câu 2 Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A Vẽ các cát tuyến chung BAC và DAE, B và

D thuộc ( ),O C và E thuộc  O

a) Chứng minh rằng BD CE//

b) Trong trường hợp nào thì BDCE là hình bình hành?

Hướng dẫn giải

a) Kẻ tiếp tuyến chung xAy của hai đường tròn

Ta có

 ABD DAx (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn AD) (1)

 DAx EAy  (hai góc đối đỉnh) (2)

 EAyACE (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn AE) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra ABD ACE mà ADB và ACE là hai góc ở vị trí so le trong nên BD CE//

b) Tứ giác BDCE có hai đường chéo BC và DE cắt nhau tại A BDCE là hình bình hành khi và chỉ

khi ABAC và ADAE

Tam giác OAB cân tại O (vì OA OB ) OBA OAB  (3)

Tam giác O AC cân tại O (vì O A O C   )  O AC O CA   (4)

Lại có OAB O AC   (đối đỉnh) (5)

Từ (3), (4), (5) suy ra OBA OAB O AC O CA     

Do đó OAB~ O AC g g( ) AB OA



 Suy ra ABACOA O A 

Theo ý a ta lại có AB AD

AC AE nên ABAC ADAE. Vậy trong trường hợp hai đường tròn có bán kính bằng nhau thì AB = AC và AD AE , khi đó BDCE là

hình bình hành

Câu 3 Cho hai đường tròn  O ,(I)tiếp xúc ngoài tại A BC, là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (B( ),O C( )).I Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở M Gọi E là giao điểm của OM và AB F, là giao điểm của IM và AC Chứng minh:

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b) ME MO MF MI 

c) OI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OI

Lời giải

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

ta có MA MB  AMB cân tại M

Lại có ME là tia phân giác của AMB

 90

Chứng minh tương tự ta cũng có MFA  90 (2)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có MO và MI là tia phân giác của hai góc kề bù BMA và CMA

 90

Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác MEAF là hình chữ nhật.

b) Theo giả thiết AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn

MA OI MAO

    vuông tại A có AEMO (theo trênMEAB)  MA2 ME MO (4)

Tương tự ta xét tam giác vuông MAI có AFMI MA2 MF MI (5)

Từ (4) và (5) suy ra ME MO MF MI 

c) Đường tròn đường kính BC có tâm là M vì theo trênMB MC MA  , đường tròn này đi qua A

và có MA là bán kính.

Theo trên OI MA tại A OI là tiếp tuyến tại A của đường tròn đường kính BC.

d) Gọi K là trung điểm của OI.

Ta có MK là đường trung bình của hình thang BCIO KM BC tại M (*)

Theo chứng minh câu a) thì OMI   90 nên M thuộc đường tròn đường kính OI MK là bán kính đường tròn đường kính IO (* *)

Từ (*) và (**) suy ra BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính IO

Câu 4 Cho đường tròn ;

2

AB

T R



  Vẽ dây cung CDAB ở H Gọi M là điểm chính giữa của cung

CB, I là giao điểm của CB và TM, K là giao điểm của AM và CB Chứng minh

a) KC AC

KB AB .

b) MA là tia phân giác của CMD

c) Chứng minh đường vuông góc kẻ từ M đến AC cũng là tiếp tuyến của đường tròn tại M.

Lời giải

a) Theo giả thiết M là điểm chính giữa của BC MB MC

  (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

AK

 là tia phân giác của góc CAB

  (tính chất tia phân giác của tam giác)

b) Theo giả thiết CDAB A là điểm chính giữa của CD

   là tia phân giác của góc CMD

c) Kẻ MJ AC ta có MJ BC// (vì cùng vuông góc với AC).

Theo giả thiết M là điểm chính giữa của BC

 TM BC tại I TM MJ tại J

Suy ra MJ là tiếp tuyến của đường tròn tại M.