Hh9 chủ đề 12 liên hệ giữa cung và dây ( 1 buổi )

Bổ sung a Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau..   AB CD∥  AC BD b Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi

HH9-CHỦ ĐỀ 12 LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY

A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Định lí 1

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay

trong hai đường tròn bằng nhau:

a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau

 

AB CD  AB CD

2 Định lí 2

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay

trong hai đường tròn bằng nhau:

a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

 

AB CD  AB CD

3 Bổ sung

a) Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa

hai dây song song thì bằng nhau

 

AB CD∥  AC BD b) Trong một đường tròn, đường kính đi qua

điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm

của dây căng cung ấy

Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung

điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua

điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy AK KB HA HB

c) Trong một đường tròn, đường kính đi qua

điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với

dây căng cung ấy và ngược lại

AK KB  OH⊥ AB

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Chứng minh hai cung bằng nhau

Phương pháp giải

Để giải các bài toán chứng minh hai cung bằng nhau, cần nắm chắc định nghĩa góc ở tâm và kết hợp với sự liên hệ giữa cung và dây để tìm ra các góc chắn các cung bằng nhau

Ví dụ 1 Cho  O , hai dây AB, CD song song với nhau và không đi qua tâm Chứng minh rằng : sđ BD 

sđ AC

Hướng dẫn giải

Kẻ đường kính EF AB CD∥ ∥

Trường hợp 1: AB và CD cùng phía so với EF.

Ta có: OAB OBA  (vì OAB cân tại O, do

OA OB R  )

Lại có: OAB AOE  ; OBA BOF 

(hai góc so le trong bằng nhau do EF AB∥ )

Do đó AOE BOF (1)

Tương tự: OCD ODC  (vì OCD cân tại O,

do OC OD R  )

Lại có: OCD COE  ; ODC DOF 

(hai góc so le trong bằng nhau do EF CD∥ )

Do đó COE DOF  (2)

Từ (1) và (2) suy ra AOCBOD

Vậy sđBD sđAC

Trường hợp 2: AB và CD khác phía so với EF.

Chứng minh tương tự

Câu 2 Cho đường tròn  O đường kính AB và một cung AC có số đo nhỏ hơn 90 Vẽ dây CD vuông góc với AB và dây DT song song với AB.

Chứng minh rằng AOCBOT

Hướng dẫn giải

Gọi N là trung điểm của CT.

CDT

 có: NCND NT (tính chất tam giác

vuông)

Lại có: OC OD OT  (cùng bằng bán kính)

Do đó N trùng O hay ba điểm C; O; T thẳng

hàng

Khi đó: AOC BOT (hai góc đối đỉnh)

Xét AOC, BOT có OC OA OB OT  

(cùng bằng bán kính) và AOC BOT

Vậy AOCBOT (c.g.c)

Câu 3 Vẽ về phía ngoài của tam giác đều ABC nửa đường tròn đường kính BC Trên nửa đường tròn đó

lấy hai điểm D và E sao cho BD DE EC   Các tia AD, AE cắt cạnh BC tại M và N.

Chứng minh rằng BM MN NC

Lời giải

Lời giải

Xét OBD có OB OD R và BOD   60 (vì sđ

 60

BD   )

Vậy OBD đều, nên OBD   60 .

Xét hai tam giác BMD và AMC có:

 

M M (hai góc đối đỉnh), MBD MCA  60

Do đó: BMD∽ CMA (g.g) BM BD

Mà

BD OB



Mà

3

BC

BM MC BC BM 

Chứng minh tương tự:

3

BC

CN   BM MN NC

Câu 4 Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây

căng cung ấy Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu điều kiện để mệnh đề đảo cũng đúng

Lời giải

+) Xét đường tròn  O , đường kính IK đi qua điểm

chính giữa cung AB

Ta có: IA IB   IA IB

Mà OA OB R

IO

 là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Gọi H IKAB HA HB

+) Mệnh đề đảo: Nếu đường kính đi qua trung điểm

của dây căng cung thì đi qua điểm chính giữa của cung

đó

Xét trường hợp dây AB không đi qua O: OAB cân tại

O OA OB 

Khi đó, do OH là đường trung tuyến HA HB  nên

đồng thời là đường phân giác của

AOB AOI BOI  AI BI

Trường hợp AB là đường kính thì mệnh đề đảo không

đúng

Do đó cần bổ sung điều kiện dây AB không đi qua O

để mệnh đề đảo đúng

Câu 5 Cho đường tròn  O đường kính AB, dây EF không cắt đường kính AB (F nằm trên AE ) Gọi I,

K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến EF Chứng minh rằng KEIF

Lời giải

Gọi H là trung điểm của EF Thế thì OH⊥ EF (quan

hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

Ta có: AI⊥EF; BK⊥EF  AI∥ BK (quan hệ

vuông góc và song song)

Do đó: AIKB là hình thang.

Mà hình thang AIKB có OH∥ AI∥ BK và OA OB

nên HI HK (1) (tính chất đường trung bình của hình

thang)

Lại có HE HF (2)

Từ (1) và (2)  HI HF HK HE , hay KEIF.

Dạng 2: Chứng minh hai cung không bằng nhau

Phương pháp giải

Để giải các bài toán chứng minh hai cung không bằng nhau, cần vận dụng thành thạo mối liên hệ giữa cung và dây, kết hợp với các định lý Py-ta-go, Ta-let,… và tìm ra các góc chắn các cung không bằng nhau hoặc tính độ lớn của từng cung

Câu 1 Cho đường tròn  O đường kính AB và đường tròn  O đường kính AO Các điểm C, D thuộc

đường tròn  O sao cho B CD và BC BD 

Các dây cung AC và AD cắt đường tròn  O theo thứ tự tại E và F Hãy:

a) So sánh độ dài của các đoạn thẳng OE và OF.

b) So sánh số đo các cung AE và AF của đường tròn  O .

Lời giải

a) Ta có:

2

AO

O E O A O O      nên AEO vuông tại E (tính chất tam giác vuông).

Khi đó OE⊥ AC nên E là trung điểm AC (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Do đó: OE là đường trung bình của ABC nên 1

2

OE BC

Tương tự 1

2

OF  DB

Mà BC BD do BC BD nên OE OF

b) Theo chứng minh trên ta có: AOE và AOF vuông nên AE2 AO2 OE2; AF2 AO2 OF2

Mà OE OF  AE2 AF2 AEAF

Câu 2 Cho đường tròn  O Trên dây cung AB, lấy hai điểm C, D sao cho AC BD CD  Kéo dài OC,

OD lần lượt cắt  O tại E, F Chứng minh rằng AE FB EF 

Lời giải

Lời giải

+) AOB cân tại O OA OB   OAB OBA 

Mà AOBO AC, BD nên AOC BOD (c.g.c)

AOC BOD AE FB

    nên AE FB

+) Ta có D nằm trong đường tròn nên AODO

Gọi C là trung điểm của OA.

Ta có CC' là đường trung bình của AOD

2

OD

CC

2

AO

C O  và C CO COD   (so le trong)

Xét OCC có: CCC O  AOC C CO 

Vậy AEFB EF  

Câu 3 Cho đường tròn  O và hai dây AB, CD song song với nhau Gọi I, K lần lượt là trung điểm của

AB, CD Chứng minh rằng I, O, K thẳng hàng.

Lời giải

Lời giải

Gọi MN là đường kính đi qua tâm O và MN⊥ AB

Dễ thấy MN⊥CD (quan hệ giữa vuông góc và song

song)

MN⊥ AB MN đi qua I, với I là trung điểm AB

(quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

Tương tự MN⊥CD MN đi qua K, với K là trung

điểm CD (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây

cung)

Suy ra I, K, O thẳng hàng (Vì cùng nằm trên MN).

Câu 4 Giả sử ABC là tam giác nhọn có các đỉnh thuộc đường tròn  O Đường cao AH cắt đường tròn

 O tại D Kẻ đường kính AE của đường tròn  O Chứng minh rằng: Tứ giác BCED là hình thang cân.

Lời giải

Lời giải

Xét ADE có OA OD OE  R (ba điểm nằm trên

đường tròn) 1

2

(trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó)

Dễ thấy AD⊥ DE; AD⊥ BC DE BC∥ nên

BDEC là hình thang.

Từ đó ta có: BE CD   BE CD

(cung bị chắn bởi hai dây song song thì bằng nhau)

BDEC

 là hình thang cân

Câu 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi M, N là hai điểm bên trong hình vuông.Chứng minh rằng

2

MN a

Lời giải

Câu 5.

ABCD là hình vuông, gọi O là giao điểm hai đường

chéo AC, BD.

Ta có

2

AC

OA OB OC  OD (tính chất hình

vuông) và AC a 2 (định lý Py-ta-go)

Vẽ đường tròn  O , bán kính 2

2 2

AC a

R  

Vẽ dây cung M N  của đường tròn tâm O đi qua M, N

là hai điểm bên trong hình vuông Ta có MN M N 

Ta lại có M N  AC (trong một đường tròn đường

kính là dây cung lớn nhất)

Mà ACa 2 nên MN a 2 (điều phải chứng

minh)