Đs9 chủ đề 3 phương trình bậc hai và liên quan đến định lí vi ét ( 2 buổi )

* Nếu xét điều kiện để phương trình trên có nghiệm, trước hết ta phải xét trường hợp m 0, sau đó mớixét đến điều kiện của biệt thức  vì khi m 0 phương trình mới là phương trình bậc

ĐS9-CHỦ ĐỀ 3.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỊNH LÍ VI-ÉT

( 3 BUỔI ) CẦN NHỚ

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: ax2bx c 0 a 0 (1)

b x

a b x

a b x

Chú ý: Nếu phương trình (1) có các hệ số a, b, c thỏa mãn:

 a b c  0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1 1; x2 c

- Hệ quả: Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac 0

- Định lí Vi-ét đảo: Nếu hai số u và v thỏa mãn u v S uv P S  ,   24P thì hai số đó là các nghiệmcủa phương trình X2 SX P 0

- Nếu m 0 thì phương trình đã cho trở thành 2x  3 0.

Đây là phương trình bậc nhất có một nghiệm là 3

Để phương trình có nghiệm kép thì  0 khi 4m 4 hay m 1

Vậy để phương trình có duy nhất một nghiệm thì m 0 hoặc m 1

* Nếu xét điều kiện để phương trình trên có nghiệm, trước hết ta phải xét trường hợp m 0, sau đó mớixét đến điều kiện của biệt thức  vì khi m 0 phương trình mới là phương trình bậc hai.

Dạng 2: Xét tính chất các nghiệm của phương trình bậc hai

Phương pháp giải

- Áp dụng định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai

- Sử dụng các hằng đẳng thức, bảng xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai và một số biến đổiquen thuộc

Dấu nghiệm x1 x2 S x1x2 P x x 1 2  Điều kiện chung

Cùng dương + + S 0 P 0  0  0; P0; S0Cùng âm   S 0 P 0  0  0; P0; S0

Chú ý: Nếu đề bài không yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì cách làm cũng tương tự như trên, chỉ khác ở

chỗ cho “ 0”

Bài tập mẫu

Ví dụ 1: Gọi x x1, 2 là nghiệm của phương trình m1x2 2mx m  4 0

Chứng minh rằng biểu thức A3x1x22x x1 2 8 không phụ thuộc vào giá trị của m.

m

m m

x x m

- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm

- Sau đó dựa vào hệ thức Vi-ét rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế

ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số

Ví dụ 2: Cho phương trình mx2 6m1x9m 3 0 Tìm giá trị của tham số m để phương trình

có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn hệ thức x1x2 x x1 2

Vậy với m 7 thì phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức x1x2 x x1 2

Ví dụ 3: Xác định tham số m sao cho phương trình 2x2 3m1x m 2 m 6 0 có hai nghiệm tráidấu

7 0,0

Vậy với 2m3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

Ví dụ 4: Giả sử m và n là các nghiệm của phương trình x25x 8 0 Hãy lập phương trình bậc hai có

các nghiệm là: 1

1

m x n



 và 2

1

n x m

Bước 1: Lập S (phụ thuộc theo tham số m)

Bước 2: Lập P (phụ thuộc theo tham số m)

Bước 3: Khử m để lập một hệ thức giữa S và P.

Bước 4: Thay S x1x2 và P x x 1 2 thì được hệ thức phải tìm

Chú ý: Nếu P hay S bằng hằng số thì đó chính là hệ thức phải tìm, không cần hai bước sau.

Ngoài ra, để tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ thuộc vào tham số

ta còn có thể có một cách như sau:

Xét biểu thức aP bS , trong đó a, b là những số phải xác định để khử m khỏi biểu thức đó.

Sau đó đưa biểu thức về dạng: M a N b P   m 0 (M, N là hằng số).

Biểu thức P m lúc này còn chứa a, b Chỉ cần xác định a, b sao cho P  m 0 là ta có hệ thức cần tìm.

(Cách này thường được áp dụng cho các biểu thức mà trong đó số mũ cao nhất của m là 1).

Bài tập mẫu

Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 m2x2m1 0 có hai nghiệm x x1, 2.

Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x x1, 2 sao cho x x1, 2 độc lập với m.

Vậy hệ thức liên hệ giữa x x1, 2 độc lập với m là 2x1x2 x x1 2 5 0

Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 m x2 2m 1 0 Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình trên Lập

hệ thức liên hệ giữa x x1, 2 không phụ thuộc vào tham số m.

Ví dụ 2: Cho phương trình x2 mx m 1 0 Gọi x x1, 2 là các nghiệm của phương trình Tìm giá trị

nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn.

Ta biến đổi B như sau:

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc hai với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B

để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

2 2

2 1

2 2 1 02

12

B B

B B

Ta có: a b c    1 5 6 0 Nên pt có hai nghiệm là x11;x2 6

Nhận xét: Với các bài giải phương trình, cần chú ý tới điểm đặc biệt của tham số như với điều kiện

0

  

a b c hoặc a b c  0 để giải phương trình nhanh hơn

Bài 2 Giải phương trình 2

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là S 1; 2 

Bài 4 Cho phương trình:

1 Giải phương trình khi m4

2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Lời giải:

1 Khi m = 4, ta có phương trình: 2

8 12 0 có ' 16 12 4 0

x  x      Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vậy với m > 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài 5 Cho phương trình x2 m1x12 0

a Giải phương trình khi m = 12

b Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau

c Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x x1; 2 thỏa mãn:

Vậy x1;x12 là nghiệm của phương trình

b Phương trình (1) là phương trình bậc hai có:

m 12 4.12 m2 2m 47

 

Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt   0 m2 2m 47 0Với điều kiện trên, phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1; 2:

Áp dụng định lí Viet, ta có: 1 2

1 2

112

a Giải phương trình khi m = 3

b Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó

c Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4 Tìm nghiệm còn lại

Vậy x6;x2 là nghiệm của phương trình

b Phương trình (1) là phương trình bậc hai có:

Vậy khi m = 2; phương trình có 2 nghiệm phân biệt x4;x2

Bài 7 Cho phương trình: m1x2 2m1x m  3 0

a Giải phương trình khi m = 3

b Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2 thỏa mãn

Vậy khi m3;x0,x2 là nghiệm của phương trình

b Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

m

x x m

m

  (thỏa mãn)

Vậy m 8 là giá trị cần tìm

Bài 8 Cho phương trình: mx2 m 4x2m0

a Giải phương trình khi m 2

b Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2thỏa mãn

Vậy khi m 2, phương trình có nghiệm x1;x2

b Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Bài 9 Cho phương trình: mx2 6(m1) x9m 3 0 1 

a Giải phương trình (1) với m = 2

b Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn x1x2 2x x1 2

Vậy x0;x4 là nghiệm của phương trình

b Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:

00

m m

Bài 10 Cho phương trình: x2 2m1 x m  4 0 1  

a Giải phương trình (1) với m 5

b Chứng minh rằng phương trình (1) có 2 nghiệm x x1; 2 phân biệt với mọi mc.Tìm m để x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất với x x1; 2 là 2 nghiệm của phương trình (1).

Lời giải:

a Với m 5, phương trình (1) trở thành: x28x 9 0

Phương trình là phương trình bậc hai có: 42 9 25 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2

Vậy x1;x9 là nghiệm của phương trình

b Phương trình (1) là phương trình bậc hai có

m 12 m 4 m2 2m 1 m 4 m2 m 5

Bài 11.Cho phương trình: mx2 2m1xm1 0 1 

a Giải phương trình (1) với 3

5

m 

b Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

c Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm lớn hơn 2

Phương trình là phương trình bậc hai có   12 4.2.3 25

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

c Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

12

Bài 12.Cho phương trình: x 2 mx m 1 0.

a Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt sao cho

 phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b Phương trình có 2 nghiệm phân biệt  0 m 22 0 m2

2

x x P

   

2 2

Vậy GTLN của P là 1 tại m 1

Bài 13.Cho phương trình: x22m1x 2m 5 0 1 

a Giải phương trình khi m = 2

b Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2và biểu thức

Vậy khi m2; x1 là nghiệm của phương trình

b Phương trình (1) là phương trình bậc hai có

2

2 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4 khi m = 3

Bài 14 Cho phương trình bậc hai: 2  

2x  2m1 x m 1 0

a Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m

b Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm đó

c Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1; 2thỏa mãn  1 x1x2 1

d Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1; 2, hãy lập một hệ thức giữa x và x1 2

Vậy hệ thức không phụ thuộc vào m là x1x2 2x x1 2

Bài 15 Cho phương trình: x2 m1x m2m 2 0 1   (m là tham số)

a Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b Tìm những giá trị của m để (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

c Gọi x x1; 2là nghiệm của phương trình (1) Tìm m để 3 3

 phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2với mọi m

  luôn đúng với mọi m

Vậy với mọi m, phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu

3 2

3 (m 1) 3( 1)( 2)

b Chứng minh rằng phương trình đã cho có nghiệm với mọi m.

c Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp 3 lầnnghiệm kia

Vậy x1; x3 là nghiệm của phương trình

b Phương trình (1) là phương trình bậc hai có :

 phương trình luôn có nghiệm với mọi m

c Gọi x x1; 2là nghiệm của phương trình (1)

Bài 17 Cho phương trình: m 4x2 2m 2x m 1 0 1  

a Giải phương trình khi m 4

b Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2thỏa mãn

m

m m

x x m

Bài 18.Cho phương trình: 3m 2x2 2 5 m 2x3 2 m1 0 1 

a Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

b Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức 2x1x2 3x x1 2 1

m m

Bài 20 Cho phương trình bậc hai: x 2 2mx m  7 0 1   (với m là tham số).

1 Giải phương trình (1) với m 1

2 Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

3 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1; 2thoả mãn hệ thức:

1 3

21

x x

Vậy với mọi giá trị của m thì (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

3 Theo câu 2, ta có (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x x1; 2với mọi giá trị của m.

Theo định lí Viet ta có: 1 2

1 2

27

a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm âm

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1; 2 thỏa mãn hệ thức: x13 x23 50

Để hai nghiệm đều âm thì 3 0 3 3

m m   m R nên: 3m23m 7 10 rồi giải phương trình này)

Bài 22 Cho phương trình (ẩn số x): x2 4x m 2 3 0 *  

1 Chứng minh phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

2 Tìm giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm x x1; 2thỏa x2 5x1

Vậy (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

2 Tìm giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm x x1; 2thỏa x2 5x1

B BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI VÀO 10

Bài 1.Tìm các giá trị của tham số m để các nghiệm x1 và x2 của phương trình

x  m x m   thỏa mãn x12x22 10

Bài 2.Cho phương trình x22x m  2 0  1

a) Tìm điều kiện của m để  1 có nghiệm

b) Tìm m sao cho  1 có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

Bài 3 Cho phương trình: x2 2mx4m 4 0.

a Tìm m để phương trình có hai nghiêm thỏa mãn 1 2

b Viết hệ thức liên hệ giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào tham số m.

Bài 4 Cho phương trình : x2 5x2m1 0

a Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

b Tìm m để 1 2

193

x x

x  x 

Bài 5 Cho phương trình: x2 2m1x2m10 0

a Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b Tìm GTNN của biểu thức 2 2

10

A x x x x

Bài 6 Cho phương trình: m 4x2 2mx m  2 0

a Giải phương trình với m = 3

b Tìm m để phương trình có nghiệm x = 2, tìm nghiệm còn lại

c Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài 7 Cho phương trình: mx2 2m3x m  2 0

a Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

b Tìm m thỏa mãn hệ thức 3x x1 2 2x1x2 7 0

c Viết hệ thức liên hệ giữa x1; x2mà không phụ thuộc vào m.

Bài 8 Cho phương trình: x2 m 3x m 0

a Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

b Tìm m để phương trình có nghiệm bằng - 2 Tìm nghiệm còn lại

c Tìm m để phương trình có hai nghiệm Tìm nghiệm thỏa mãn hệ thức: 3x1x2 x x1 2 5

Bài 9 Cho phương trình: x2 2x m  3 0

a Tìm m để phương trình có hai nghiệm

b Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức 3 3

x x 

Bài 10 Cho phương trình: x2 2m3x m 28m 6 0

a Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2thỏa mãn hệ thức: 2 2

x x 

b Với giá trị m của câu a Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức: 1 2

x x A

x x

Bài 11 Cho phương trình: x2 2m1x m  4 0

a Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn hệ thức: 2 2

x x 

c Viết hệ thức liên hệ giữa x1; x2mà không phụ thuộc vào m.

Bài 12 Cho phương trình x2 m1x 3 0 (1), với x là ẩn, m là tham số Gọi x x1, 2 là hai nghiệm

Bài 13.Cho phương trình x2ax b 0 (1), x là ẩn, a, b là tham số Tìm a, b biết phương trình (1) có

hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn 13 23

535

Bài 14 Cho phương trình x2 2mx m 2 2m 4 0 (1) (với m là tham số) Tìm m để phương trình (1)

có hai nghiệm x x1, 2 không âm Tính theo m giá trị của biểu thức P x1 x2 và tìm giá trị nhỏ nhất

Bài 16 Cho phương trình x25x 3m0 có hai nghiệm x1 và x2.

a) Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1 và 2x2.

b) Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2

Bài 17.Cho phương trình m1x2 2m 4x m  5 0 m 1

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào tham số m.

Bài 18.Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a2b5c0 Chứng minh phương trình ax2bx c 0

Bài 20.Cho phương trình x2 2m1x m 2m0

a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Kí hiệu hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 Tính 2 2 2 2

Bài 21.Cho phương trình x2 2m1x m 2 3m 2 0, (m là tham số).

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, x x1, 2 thỏa mãn 2 2

Bài 22.Cho phương trình x2 2mx m  4 0 với m là tham số.

Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn 2 2

1

x x đạt giátrị lớn nhất

HƯỚNG DẪN Bài 1.

Điều kiện có nghiệm:  2   2

Thay m 1 8 và m 2 2 vào (*) ta thấy chỉ có m 2 2 thỏa mãn.

Vậy m 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn x12x22 10

41

m

m m

m m

1 2

1 2

2

44

m  thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

b Phương trình có hai nghiệm 1 2

193

Vậy, với m 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm thoả điều kiện

Bài 5 Cho phương trình: x2 2m1x2m10 0

a Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt 0

1 00



 

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là Amin 48 m3

Bài 6 Cho phương trình: m 4x2 2mx m  2 0

a Khim 3 , ta có 2

x x

Giải phương trình ta được nghiệm x 3 10;x 3 10

b Tìm m để phương trình có nghiệm x = 2, tìm nghiệm còn lại

Ta có:   m2 m 4 m 26m 8 Để phương trình có hai nghiệm

thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài 7 Cho phương trình: mx2 2m3x m  2 0

a Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 0

9

8

m m

m   và m 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

b Phương trình có hai nghiệm 1 2

00

90

8

m a

2

m

m m

Vậy, với m 3 phương trình có hai nghiệm thoả điều kiện bài toán.

c Viết hệ thức liên hệ giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m.

2

m

m m

Bài 8 Cho phương trình: x2 m 3x m 0

a Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 0

Vậy, với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b Phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m

Thay nghiệm x 2 vào phương trình ta có:

4 2 m 3  m 0 m 2 0  m2

Theo hệ thức Vi ét: x1x2  m 3   2 x2  2 3 x2 1

Vậy, với m = 2 thì phương trình có nghiệm x 1 2 và x 2 1.

c Phương trình luôn có hai nghiệm x x1; 2 với mọi m.