Đồng dạng

Gọi M N, lần lượt là giao điểm của BC BD, với AE.. Gọi M N, lần lượt là giao điểm của EF với AD BC,.. Một đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB AC, tại D và E.. Gọi M làtrung điểm

CHUYÊN ĐỀ ĐỒNG DẠNG

HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀTỉnh, thành phố Năm học Tỉnh, thành phố Năm học

HSG Việt Yên Bắc Giang 2013 HSG Thanh Oai Hà Nội 2020-2021

HSG Gia Viễn 2014-2015 HSG Thường Tín 2020-2021

HSG Duy Tiên 2012-2013 HSG Gia Lâm 2020-2021

HSG Cẩm Thủy 2013-2014 HSG Hà Đông 2020-2021

HSG Vĩnh Lộc 2016-2017 HSG Thanh Trì 2019-2020; 2020-2021HSG Chương Mỹ 2018-2019 HSG Ba Vì 2018-2019; 2020-2021Olympic Mỹ Đức 2018-2019 HSG Tỉnh Bắc Ninh 2020-2021

HSG Thuận Thành 2018-2019 HSG Tiền Hải 2020-2021

A

A

N M

C B

B

b a n

m

*) Hệ quả: (các đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song)

1 Hệ quả 1: Nhiều đường thẳng đồng quy định ra trên hai đường thẳng song song những

b a

d''

d' d

Cho hình bình hành ABCD và điểm E thuộc

đoạn BD Gọi M N, lần lượt là giao điểm

của BC BD, với AE Qua C kẻ đường thẳng

song song với BD cắt MN tại F Chứng

B

D A

Cho hình thang ABCD có AB CD AB CD/ / , 

Kẻ đường thẳng qua A song song với BC

cắt BD ở E, đường thẳng qua B song song

với AD cắt AC ở F Gọi M N, lần lượt là

giao điểm của EF với AD BC, Chứng minh

Cho tam giác ABC Một đường thẳng song

song với BC cắt các cạnh AB AC, tại D và

E Qua C kẻ đường thẳng song song với

AB cắt DC tại F Gọi H là giao điểm của

AC với BF Đường thẳng qua H song song

với BC tại I Chứng minh rằng:

a

DB FE

F E

B A

I

H

C

F E

B D A

Cho hình thang ABCD AB CD / /  Gọi M là

trung điểm của CD, gọi I là giao điểm của

AM với BD K, là giao điểm của BM với

AC, đường thẳng IK cắt AD BC, lần lượt tại

Cho tam giác ABC, gọi D là điểm đối xứng

với A qua B E, là điểm đối xứng với B qua

C và F là điểm đối xứng với C qua A

Chứng minh rằng ABC DFE, có cùng

A

Cho hình thang ABCD AB CD AB CD / / ,  .

AC cắt BD tại M Kẻ qua M đường thẳng

song song với AB cắt AD BC, lần lượt tại I

M

Q F

B A

C B

D A

Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A

song song với BC cắt BD ở E Đường

thẳng qua B song song với AD cắt AC ở G

a) Chứng minh rằng RQSP là hình bình hành Các cạnh bên AD và BC của hình thang

B A

c) Một đường thẳng d song song với MN cắt MD tại E cắt CN tại G Chứng minh rằng

RP AD QS // AD và

1 2

F E

d

Vậy AB và BC nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau và AB BC thì RQSP là hìnhvuông

b) MN là đường trung bình của hình thang ABCD  MN // AB

MP là đường trung bình của BAD  MP // AB

NQ là đường trung bình của BAC  NQ // AB

Theo tiên đề Ơ-clit thì 4 điểm R N S, , , M thẳng hàng

1 Chứng minh rằng tam giácAMN là tam

giác vuông cân

2 Gọi E là giao điểm của AD với BN, F là

giao điểm của AM với BD Chứng minh

rằngEF //DM.

3 Gọi K là giao điểm của MN với BD, AK

cắt DC ở H Lấy các điểm P Q I, , lần lượt

là trung điểm của BH BE; ,EH ; AQ cắt CP

E

J

I

Q P

H K

tại J Chứng minh D I J, , thẳng hàng.

Lời giải

1) Chứng minh được ABM ADN c g c( )

  và BAM DAN (2 góc tương ứng) (1)

Mà BAM MAD  900 (vì ABCD là hình vuông)

3) Chứng minh được S JAB S JDC S JBC S JAD

JAB JDH JHC JEA JED JBC

S S S S S S (1)

Mà Q là trung điểm của BE Chứng minh được S JAB S JEA

P là trung điểm của BH Chứng minh được S JHC S JBC (2)

Từ (1) và (2), ta có:S JDH S JED

Mà E và H nằm trên hai nửa mặt phẳng bờ JD

Gọi EH giao với JD là I', h h1 , 2 là khoảng cách từ E và H đến JD

Vì S JDH S JED nên h1 h2

Từ đó chứng minh I' là trung điểm của EH VậyI' trùng I

Vậy D I J, , thẳng hàng

Bài 11: HSG Như Xuân, năm học 2020 - 2021Cho hình bình hành ABCD, lấy

điểm M trên BD sao cho

MB MD Đường thẳng qua M

và song song với ABcắt ADvà

BC lần lượt tại Evà F Đường

thẳng qua M và song song với

O

H

K F E

D

C M

2) Gọi giao điểm của BD với KF và HE lần lượt là O và Q N. là giao điểm của AC và

Chứng minh được P và P' trùng nhau

Kết luận các đường thẳng EK HF BD, , đồng quy tại P.

3) Kẻ EG và FI vuông góc với HK I, và G thuộc HK.

B D CA

4 Chú ý tính hất của tỉ lệ thức:

b d  a b c d

Bài 1:

Cho hình bình hành ABCD có AB CD

Phân giác trong các góc BAD cắt BD tại M

Phân giác trong góc ADC cắt AC tại N

Cho tam giác ABC AB AC   , phân giác

trong AD, M là trung điểm của BC Đường

thẳng qua M và song song với AD cắt AB,

Q P

M

B A

Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có

trọng tâm G, phân giác trong BD, biết

GDAC Tính ABC

Lời giải

Gọi M E, lần lượt là trung điểm của BC và AG DE EA EG GM    EGD cân tại E

Mặt khác, tam giác ABC vuông tại A, có AM MB MC  ABM cân tại M

- Có GD/ /AB( AC)  A1 G slt1 ( )  DGE DEG BAM   MBA

2 1 M

I E

C B

A

Cho tam giác ABC kẻ phân giác trong và phân giác ngoài của góc B cắt AC ở I và D Từ

I và D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở M và N

B

A

a Ta có MBI cân tại M  MI MB 12(cm)

động trên cạnh BC, gọi P và Q lần lượt là

hình chiếu của K trên AB và AC

1 Chứng minh tứ giác APKQ có bốn đỉnh

cách đều một điểm, tìm điểm đó? Tam giác

ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác APKQ

là hình chữ nhật, khi đó hãy xác định vị trí

điểm K trên BC để PQ có độ dài nhỏ nhất

2 Vẽ các đường cao AA\prime ; BB\prime

; CC\prime của tam giác ABC, trực tâm H

O H C'

a) Tính tổng: ' ' '

AA BB CC

b) Gọi AI là tia phân giác của tam giác

ABC, IM; IN thứ tự là phân giác của các

góc AIC; AIB (MAC N; AB)

Chứng minh AN BI CM BN IC AM .

Lời giải

1 Gọi O là trung điểm của đoạn AK

 PO và QO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền Ak của tam giác vuông APK vàAQK

1 2

 Bốn đỉnh của tứ giác APKQ cách đều điểm O

Tứ giác APKQ là hình chữ nhật khi và chỉ khi PAQ  900

 Tam giác ABC vuông tại A

Khi đó hai đường chéo AK = PQ

Vậy PQ đạt giá trị nhỏ nhất khi AK đạt giá trị nhỏ nhất

b) Áp dụng tính chất đường phân giác vào các tam

giác ABC, ABI, AIC có:

N M

I

A

C CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC

1 Trường hợp đồng dạng thứ nhất: Nếu ba cạnh của

tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì

hai tam giác đó đồng dạng

' ' '( ) ' ' ' ' ' '

A'

C B

A

Cho tam giác ABC và điểm O thuộc miền

trong tam giác Qua điểm O vẽ các đường

thẳng song song với CA CB AB, , chúng lần

Cho hai tam giác đều ABC và DEF có điểm

F thuộc đoạn BC, điểm A thuộc đoạn DE,

B và E cùng phía so với đường thẳng AF

M

D A

C F

B E

N E

M D

P

F

C B

A

Bài 3:

Cho tam giác ABC cân tại A M, là trung

điểm của BC Các điểm D và E thay đổi

lần lượt thuộc các cạnh AB AC, sao cho

  #     là phân giác của BDE

- Gọi K là hình chiếu của M trên AB suy ra K cố định do M cố định

E H

D K

A

Trên đường thẳng d lấy bốn điểm A B C D, , ,

theo thứ tự ấy sao cho

5 4

BC DC  Từđiểm M nằm ngoài đường thẳng d sao cho

5

,

4

MA

MC  Nối M với A B C D, , , Qua C kẻ

đường thẳng a song song với MA, đường

thẳng a cắt tia MB MD, lần lượt tại I và K

a Biết MB6cm MD, 8cm Tính BD

b Tính chu vi tam giác ADM biết chu vi

tam giác ADM bằng chu vi tam giác CDK

K

B A

M

c DN MN  DNM  900 DNK KNM  D 3 KCM C1 KCM  900

Cách khác: Chứng minh K là trực tâm DCN CK DN MN CK; / /  MN DN N

Bài 6:

1 3

1

1 K

Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC,  ,

c Biết chu vi tam giác ABC là 24cm, chu vi

tam giác AHC là 12cm, chu vi tam giác AHB

là 9cm Tính các cạnh của tam giác ABC

Xét ABC A( 90 )0  BC5k chuvi ABC 12k 24 k  2 AB6;AC 8;BC10

CÁC BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

A

Cho tam giác ABC vuông tại A AC AB,

đường cao AH H BC Trên tia HC lấy

điểm D sao cho HD HA Đường vuông

góc với BC tại D cắt AC tại E

a Chứng minh rằng: BEC# ADC, tính độ

dài đoạn BE theo AB m

b Gọi M là trung điểm của BE Chứng

minh rằng BHM# BEC Tính AHM

c Tia AM cắt BC tại G Chứng minh

Vậy BEC# ADC cgc( ) BEC ADC

+) AHD vuông cân theo giả thiết  DAH  450 ADC 1350 E1  45 0 ABE vuông cân tại

Vậy BHM# BEC cgc( ) BHM BEC =1350 AHM 450

c Ta có: ABE vuông cân tại A nên AM là phân giác

Bài 2: HSG Việt Yên Bắc Giang, năm học 30/04/2013

Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy

điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao

H F

E

B A

CBH EAH

Bài 3: HSG Chương Mỹ, năm học 2018 - 2019

Cho ABC có BAC 900, AB AC , đường

cao AH Gọi M N, lần lượt là hình chiếu

d Gọi O là trung điểm của BC I, là giao

điểm của MN và AH Chứng minh rằng OI

A N C

e Giả sử

40 41

AH

AO  Tính tỉ số

AB AC

Lời giải

a) HM AB tại M (vì M là hình chiếu của H trên AB) AMH  900

HN AC tại N (N là hình chiếu của H trên AC)  ANH  900

Xét tứ giác AMHN có AMH ANH MAN  900  AMHN là hình chữ nhật

AH MN (tính chất hình chữ nhật)

b) HM AB tại M (vì M là hình chiếu của H trên AB) AMH  900

HN AC tại N (N là hình chiếu của H trên AC) ANH  900

Xét tứ giác AMHN có AMH ANH MAN  900

  cân tại O   OAC OCA (tính chất tam giác cân)

Mà OCA AMN  (ANM đồng dạng với ABC) OAC AMN

Mà ANM AMN  900  OAC ANM   900 OA MN  OA NK

Xét KAO, có AH OK NK, OA mà AH cắt KN tại I  I là trực tâm KAO OI AK

Xét OAH vuông tại H ta có: OA2 OH2AH2(định lí Pitago)

Cho tam giác ABC phân giác AD Trên nửa

phẳng không chứa A bờ BC, vẽ tia Cx sao

BAD BCE  BAC

; ADB CDE (đối đỉnh)

BAD EAC  BAC

; ABD AEC (ABD = CED)

Vậy trung trực của BC đi qua E

Bài 5: HSG Cẩm Thủy, năm học 2013 - 2014

Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O

O O  EOM 90 0 kết hợp với OE OM  OEM vuông cân tại O

Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông  AB CD AB CD ; / /

1

3 2 1 E

N H

M O

D

C B A

c) Gọi H' là giao điểm của OM và BN

Bài 6: HSG Duy Tiên, năm học 2012 - 2013

Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E

thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao

F

E

Bài 7: HSG Gia Viễn, năm học 2014 - 2015

Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia

B A

D

1 2

đường cao AH HBC Gọi D và E

lần lượt là hình chiếu của H trên

3 Giả sử diện tích tam giác ABC gấp

đôi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ

tam giác ABC vuông cân

4 Lấy một điểm O nằm trong tam

giác ABC Gọi N P Q, , lần lượt là hình

chiếu của O trên BC AB AC, , Hãy tìm

vị trí của điểm O sao cho tổng

3 Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC

Gọi O’ là giao điểm của AH và DE  O A O E O H O D'  '  '  ' (t/c hình chữ nhật)

 O AE' cân tại O\prime  A2 E 1 (t/c tam giác cân) Mà A2 B nên  B E 1

Xét AED và ABCcó: BACchung

Xét AHC và vuông tại H có

1 2

 HE là đường trung tuyến ứng với cạnh AC Mà HEAC  gt  AHCvuông cân tại H

 ACH 45o hay ACB 45o ABCvuông tại A

4 Lấy một điểm O nằm trong tam giác ABC Gọi N P Q, , lần lượt là hình chiếu của O trên, ,

BC AB AC Hãy tìm vị trí của điểm O sao cho tổng ON2OP2 OQ2đạt giá trị nhỏ nhất

Ta có: Tứ giác APOQ có: PAQAPOAQO90o  APOQ là hình chữ nhật.

Dấu “ ”  xảy ra khi ON OA hay O là trung điểm của AN

Mà ON BC nên AN trùng với AH hay O là trung điểm của AH

Vậy O là trung điểm của AH thì ON2OP2OQ2 nhỏ nhất

AB BC lần lượt lấy hai điểm E và G sao

cho Gọi H là giao điểm của tia AG và tia

DC, I là giao điểm của tia OG và đoạn

thẳng BH

1 Chứng minh rằng: OGE vuông cân

2 Tính diện tích tứ giác OEBG theo a

K

I O

H G

E

B A

Từ (1) và (2) suy ra OEGvuông cân tại O

2) Ta có: s OEBG sOGB sOEB

OEBG OEA OEB ABC

Bài 10: HSG Hà Đông, năm học 2020 - 2021Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O

M là điểm bất kì thuộc cạnh BC M B C, 

Tia AM cắt đường thẳng CD tại N Trên

cạnh AB lấy điểm E sao cho BE CM

1) Chứng minh OEM vuông cân

2) Chứng minh EM//BN

3) Từ C kẻ CH BN H BN Chứng minh

ba điểm O M H, , thẳng hàng

4) Cho độ dài đoạn thẳng AB a và P Q,

lần lượt thuộc cạnh AB AD, sao cho

1) Chứng minh OEM vuông cân

Ta có ABCD là hình vuông tâm O (GT)

  

+ Xét EOM có EO OM (cmt)  EOM cân tại O, mà EOM 90 

MN MC (hệ quả của định lí talet)

Mà AB BC (do ABCD là hình vuông) và BE CM (gt)  AE BM

Q

D A

hay CH' BN tại H' mà CH BN tại H

DCQ QCA ACP QCA

vuông góc với OD.tại O, cắt Bytại C

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên

K

3 Goi I là giao điểm của ACvà BD, E làgiao điểm của AHvà DO, F là giao điểmcủa BH và CO Chứng minh E I, , F thẳnghàng

4.Tìm vị trí của D trên Ax để diện tích tứgiác ABCD nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất

Mà OHB cân tại O  DHA cân tại D  DA DH

B

EBC CDF cmt BEC DCF cmt

  ” 

Vậy BCE” DFC g g( )

b) ABCDlà hình thoi nên ABAD  ABD cân tại A

mà BAD   60 nên ABD là tam giác đều

Vậy EIF  120 .

Bài 13: HSG Thanh Trì, năm học 2019 - 2020Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao

AD, BE,CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh: Các tam giác ABC, AEF

đồng dạng

b) Chứng minh: 1

AD BE CF  c) Chứng minh: BF BA.  CE CA BC.  2

d) Gọi M là trung điểm của BC Đường

thằng qua H vuông góc MH cắt AB, AC lần

lượt tại N, K Chứng minh: Tam giác MNK

S HD

E

D A

Cộng vế với vế của hai đẳng thức ta được:

BF.BA + CE CA CD BC   BD.BC = CD DB BC BC

d) Chứng minh được BAH BCH  (Cùng phụ ABC)

Chứng minh được ANH CHM  (Cùng phụ NHF)

Suy ra: ANH đồng dạng CHM (g - g)

HM CM hay  1

H AH

đường cao AH Gọi M N, lần lượt là hình

chiếu của H trên các cạnh AB và AC

a) Chứng minh rằng AM AB AN AC  AH2

b) Gọi K la giao điểm của MN và BC

Chứng minh rằng KB KC KH.  2

c) Gọi O là trung điểm của BC, I là giao

điểm của MN và AH Chứng minh rằng OI

vuông góc với AK

d) Giả sử

40 41

A

Từ (5) và (6) suy ra N1 A2

Mà N1 N 2  90   2  2

40 90

AH

Bài 15: HSG Ba Vì, năm học 2018 - 2019Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia

PDM BDM

Cho O trung điểm của đoạn AB Trên cùng

D

O

C

Nên KOD BDO   ODM ODB. Vậy DB DM

c) Theo chứng minh trên ta có ODM ODB OM OB OA nên COM COA

Suy ra S COM S COA;S OBD S OMD

1

2 2

COD ABDC ABDC COD

a) Chứng minh:  BOE  COM và OEM vuông cân

N

M O

B A

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.

Trên cạnh AB BC, lần lượt lấy 2 điểm P Q, (

,

P Qkhông trùng với đỉnh của hình vuông)

sao cho POQ  90o Đường thẳng AQ cắt

đường thẳng DC tại N , đường thẳng OQ

cắt đường thẳng BN tại K:

1) Chứng minh BPOCQO Tính diện

tích tứ giác BPOQtheoa

Lời giải

K N Q

A

C D

O

B P

1) Xét BPQvà CQO, ta có:

   45o

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

2

2

Vậy khi Plà trung điểm của AB thì QO QK. lớn nhất

CK  CN không đổi ( vì a không đổi)

Bài 19: HSG Hà Trung, năm học 2020 - 2021Cho tam giác đều ABC Gọi O là trung

điểm của BC Trên cạnh AB và AC lần lượt

lấy các điểm di động M và N sao cho

 đều  ABC BAC ACB 60

Lại có: MON MOB NOC    180

O

Hay MO là đường phân giác của BMN

* Chứng minh ON là phân giác của CNMtương tự3) Chu vi AMN không đổi

C không đổi do AHkhông đổi

Bài 20: HSG Quan Hóa, năm học 2020 - 2021Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường

cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

đường vuông góc hạ từ E xuống AB, AD,

H F

E

D B

A

Hay EH là phân giác của FEK

Mà ECEH  EC là phân giác ngoài tại đỉnh E của EFK

xét EFKcó EH là phân giác trong của FEK, EC là phân giác ngoài

 bốn điểm M , N , P, Q cùng nằm trên một đường thẳng.