Toan 9 viet tri (19 20)

Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng cmx rồi gập tấm nhôm lại để được một cái hộp không nắp như hình vẽ dưới đây... Cho tam giác A

PHÒNG GD&ĐT VIỆT TRÌ KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2019-2020 Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi có 03 trang)

Thí sinh làm bài (cả phần trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) ra tờ giấy thi.

A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức

1

5

x

Câu 2: Tổng các nghiệm của phương trình  1  2  3 2019 2019

Câu 3: Biết  2 x  1   x2 3 x  2   2 x3 bx2 cx d 

Tổng b c 2d bằng

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có AC 3 cm,BC 5 cm, đường cao AH Tỷ số

BH

BC bằng

A

4

3

16

9 25

Câu 5: Biết

2

3

1 4

ax b cx x









Giá trị của a 2b c bằng

Câu 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức 4 2x 4 2x

xác định ?

Câu 7: Biết

7 3 5

a b c





 với , ,a b c là các số nguyên dương và

a

c là phân số tối giản.

Biểu thức a 2b c 2 bằng

Câu 8: Cho đa thức f x( )x52x43x34x25x6. Khi chia ( )f x cho x  ta được2 1

dư là

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Biết chu vi .  HAB và HAC

lần lượt là 9 cm và 12 cm Chu vi ABC bằng

Câu 10: Cho hình chữ nhật ABCD có AC a 5 và chu vi bằng 6 a Diện tích của hình chữ

nhật ABCD bằng

Câu 11: Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi , M N lần lượt là hai điểm thuộc cạnh AB và

cạnh AC sao cho

1 3

AB AC  Biết BN 6,CM  Độ dài đoạn thẳng BC8.

bằng

Câu 12: Biết ,x y là các số thực thỏa mãn x x210y y210 10

Giá trị của biểu

thức x x  2018  2019   y y  2018 2019   10

bằng

Câu 13: Gọi S là tập các giá trị của m để phương trình

3

bình phương các phần tử của tập S bằng

A

121

49

65

16 9

Câu 14: Cho tam giác ABC vuông tại A có AD là phân giác của góc BAC (D thuộc BC )

và AD 2 2. Biểu thức

AB AC bằng

1

2

1

2 2

Câu 15: Tam giác ABC có độ dài các đường trung tuyến AD36 cm, BE15 cm và

39 cm

CF  Diện tích tam giác ABC bằng

A 360 cm 2 B 270 cm 2 C 240 cm 2 D 720 cm 2

Câu 16: Cho một tấm nhôm hình vuông có cạnh bằng 12 cm Người ta cắt ở bốn góc của tấm

nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng cmx rồi gập tấm nhôm lại để được một cái hộp không nắp (như hình vẽ dưới đây)

Thể tích lớn nhất của hộp bằng

A 108 cm 3 B 136 cm 3 C 144 cm 3 D 128 cm 3

B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1 (3,5 điểm)

a) Tìm a để 2

2

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên x y thỏa mãn ;  3x39x2 3xy2x 9y 9 0

Câu 2 (3,5 điểm)

a) Giải phương trình 2x2 2x 5 4  2x 6 2x 5 4  4.

b) Giải phương trình 2 5  x2 2   3  x2 2 x  3 x  1 2   x3 7 x 

Câu 3 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A có BC2 a Điểm M thuộc cạnh

,

BC gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc của điểm M trên AB và AC

a) Tính diện tích tam giác ABC theo a

b) Chứng minh chu vi tứ giác AEMF không phụ thuộc vào vị trí điểm M

c) Khi M thay đổi trên cạnh BC , chứng minh đường thẳng qua điểm M và vuông góc

với EF luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 4 (1,5 điểm) Cho ba số thực a b c , , thỏa mãn 1   a 2; 1   b 2 và 1  Chứngc 2. minh rằng

a b c ab bc ca   a b b c c a    a b c 

-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD:

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

PHÒNG GD&ĐT TP VIỆT TRÌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2019 - 2020 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

Hướng dẫn chấm có 04 trang

I Đáp án phần trắc nghiệm khách quan

- Mỗi câu đúng được 0,5 điểm

- Tổng điểm phần Trắc nghiệm khách quan: 0,5 x 16 = 8,0 điểm

II Đáp án - Thang điểm phần tự luận

1 Một số chú ý khi chấm bài

- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm

- Thí sinh làm bài theo cách khác với đáp án mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của đáp án

- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số

2 Đáp án - thang điểm

1

(3,5đ

)

Câu 1 (3,5 điểm)

a) Tìm a để 2

2

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên x y;  thỏa mãn 3 x3 9 x2 3 xy  2 x  9 y   9 0.

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu Nội dung Điểm

Điều kiện

2 5 6 0

2 0

3 0

a a

   



 



  



0,25

2 3

a a





 



2 9 3 2 1 2 9 3 2 1

P

2 9 3 3 2 1 2

2 3

      



   

 

Nên

P

7 0

3 0

7 0

3 0

a a a a

  





 







  

 

 

 



0,25

3 7

3 7 7

3

a

a a

a

 





     



 



Vậy các giá trị a thỏa mãn là 3a7.

0,25

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên x y; 

thỏa mãn 3x39x2  3xy2x 9y 9 0. 1,5

Ta có 3x39x2 3xy2x 9y  9 0 3y x 3 3x39x22x 9 0,25

2 2 1

y x

x

   

Do

3

x



 x là ước của 33 0,25  x   3  1; 3  x  6; 4; 2;0    0,25

Câu Nội dung Điểm

Thử lại ta thấy chỉ có cặp số nguyên thỏa mãn là x y ;  0;1  0,25

2

(3,5đ

)

Câu 2 (3,5 điểm)

a) Giải phương trình 2x2 2x 5 4  2x 6 2x 5 4 4. 

b) Giải phương trình 2 5 x223x2 2x 3x1 2 x37 x

a) Giải phương trình 2x2 2x 5 4  2x 6 2x 5 4 4.  2,0

Nhận xét: 2x2 2x 5 4  2x 5 1 2

2x 6 2x 5 4  2x 5 3 2

0,25

Điều kiện

5 2

Khi đó PT   2x 5 1 2   2x 5 3 2 4 0,25  2x 5 1  2x 5 3 4 0,25  2x 5 3 3   2x 5 0,25  2x 5 3 0,25  2x 5 9  x7. 0,25 Kết hợp điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là

5

7

b) Giải phương trình 2 5 x223x2 2x 3x1 2 x37 x 1,5

Điều kiện:

1 3

Phương trình đã cho3 (x x 2) 3x1 2( x3 5x27x 2)

2

2

3 ( 2) 3 1 2(x 2)( 3 1) 2

3 3 1 2( 3 1) (*)

x

      





 

   



0,25

Câu Nội dung Điểm

Đặt

3 1 ( 0)

x

x



ta được

2

1

1

2 3 2 0 2

2 2

t

t







     





 (do t  )0

0,25

Với

1 2

1

3 1 1

2

4(3 1)

x x

x





     

  



0,25

2

1

6 4 2 3

12 4 0

x

x







   

 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x 6 4 2;x2

0,25

3

(3,5đ

)

Câu 3 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A có BC2 a Điểm M thuộc cạnh BC, gọi E F, lần lượt là chân đường vuông góc của điểm M trên AB và AC. a) Tính diện tích tam giác ABC theo a.

b) Chứng minh chu vi tứ giác AEMF không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

c) Khi M thay đổi trên cạnh BC, chứng minh đường thẳng qua điểm M và vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định

a) Tính diện tích tam giác ABC theo a 1,0

Ta có:

2

2

BC

Diện tích tam giác ABC bằng

2

1

2

ABC

b) Chứng minh chu vi tứ giác AEMF không phụ thuộc vào vị trí điểm M 1,5

Câu Nội dung Điểm

Tứ giác AEMF là hình chữ nhật nên có chu vi: C AEMF 2EM EA  0,50

Dựng hình vuông ABDC và gọi N là giao điểm của MF với BD .

Tứ giác BEMN là hình vuông nên EM EB.

0,50

Do đó chu vi tứ giác AEMF bằng:

AEMF

không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đoạn thẳng BC.

0,50

c) Khi M thay đổi trên cạnh BC, chứng minh đường thẳng đi qua M và vuông

góc với EF luôn đi qua một điểm cố định 1,0 Gọi H là giao điểm của đường thẳng DM với EF và G là giao điểm của ME

với CD .

Ta có: Tứ giác CGMF là hình vuông; tứ giác DGMN là hình chữ nhật

Suy ra: AE MF MG ND (1).

AFEM MN (2).

Từ (1), (2)  AEF NDM

0,25

 AFE NMD (3)

Mặt khác NMD HMF  (4) (đối đỉnh)

0,25

Từ (3), (4) suy ra: HMF HFM EFA HFM 90o  MH EF 0,25

Vậy khi M thay đổi trên cạnh BC, thì đường thẳng đi qua M và vuông góc với

EF luôn đi qua điểm D cố định. 0,25

4

(1,5đ

)

Câu 4 (1,5 điểm) Cho ba số thực a b c, , thỏa mãn 1 a 2; 1 b 2 và 1  Chứngc 2. minh rằng a2b2c2ab bc ca  3a b b c c a         a b c  3

Trước hết ta chứng minh a b c  3a3b3c33a b b c c a       

Thật vậy: (a b )c3 a b 3c33a b c a b c     

0,25

Câu Nội dung Điểm

Do đó, BĐT cần chứng minh tương đương với

0,25

Ta có: với 0x y, 1 thì 1 x 1 y 0

 1 xy x y 

Vì 0x y, 1 nên x y x  2y2. Suy ra: 1xy x 2y2.

0,25

Đặt x a 1,y b 1 và áp dụng kết quả trên ta có

1 a 1 b 1 a 1 b 1

      

     a b 2 a3b3 (1)

0,25

Chứng minh tương tự ta cũng có: b c 2b3c3 (2)

c a 2 c3a3 (3)

0,25

Cộng vế với vế của (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c   hoặc 2 a1,b c 2 và các hoán vị

của chúng

0,25