Toan 9 tam nong (20 21)

Qua G kẻ đường thẳng cắt AB và AC lần lượt tại E và F.. Nếu hàng tháng Minh rút ra 900 000 đồng vào ngày ngân hàng tính lãi, để chi phí cho sinh hoạt và học tập.. a Chứng minh rằng MIN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TAM NÔNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2020 – 2021

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

( Đề thi có 03 trang)

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ( 8 điểm)

Hãy chọn phương án trả lời đúng

Câu 1: Biểu thức 2

3

x x



 có nghĩa khi

A x 3. B.x 3hoặc x 2. C.  2  x 3. D  2  x 3.

Câu 2: Rút gọn biểu thức x 2 x 1  x 2 x 1 (với 1  x 2 ) được kết quả là

P

    (với x 0;x 4 ) được kết quả là

A 1.

1

x

x



2

x x



5 2

a  b 

 , giá trị biểu thức 2

Q a b là

Câu 5: Cho đa thức 3 2021

(x) (x 3x 5)

f    và m 3 3 2   3 3 2  Giá trị của f(m) là

Câu 6: Cho ab bc ca   11 Rút gọn biểu thức (a2 11)(b 11)2 2 (b a)

11

M

c

 được kết quả là

Câu 7: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2x 2 x 3 là

2 x y z    x  y  z Giá trị của 2 2 2

A x y z là

Câu 9: Cho ABC có đường trung tuyến AD, trọng tâm G Qua G kẻ đường thẳng cắt AB

và AC lần lượt tại E và F Tổng tỷ số AB AC

AE AF là

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 10: Cho ABC là tam giác nhọn, lấy điểm D thuộc cạnh BC ( D khác B và C) sao

2

BD

DC  Qua D kẻ DE AC (E AB)  ; DF AB (F AC)  và diện tích BDE 3cm2 Thì diện tích tứ giác AEDF là

A 6cm2 B 10cm2 C 15cm2 D 12cm2

Câu 11: Cho ABC vuông tại A , đường cao AH (H BC) Biết diện tích AHB 54cm2 ; diện tích AHC 96cm2 ; thì cạnh BC có độ dài là

A 9cm. B 16cm. C 20cm. D 25cm.

Câu 12: Cho tam giác nhọn ABC có BAC 60   0, kẻ hai đường cao BD, CE

D AC;E AB    Gọi S; S' lần lượt là diện tích ABC, ADE Tính tỉ số S'

S là

A 3.

2

Câu 13: Cho hình chữ nhật ABCD , có BH AC H , hệ thức nào sau đây đúng

A AD BC AC HC . B AB BH AC HC . C AD AH AB BH . D AD2 AH AC .

Câu 14: Cho ABC vuông tạ A , đường cao AH (H BC)  ; đường phân giác AD (D BC)  Biết BH  20cm ; HC 45cm , khi đó độ dài đoạn thẳng HD là

A 4cm. B 5cm. C 6cm. D 7cm.

Câu 15: Cho ABC có A B 2C      và độ dài 3 cạnh là 3 số tự nhiên liên tiếp ( đơn vị là cm) Khi đó chu vi ABC là

A 6cm. B 9cm. C 12cm. D 15cm.

Câu 16: Bố bạn minh gửi cho Minh 20 000 000( đồng) vào ngân hàng với lãi suất 0, 45% / tháng Nếu hàng tháng Minh rút ra 900 000 ( đồng) vào ngày ngân hàng tính lãi, để chi phí cho sinh hoạt và học tập Hỏi sau một năm bạn Minh còn bao nhiêu tiền ở ngân hàng ?( tính tròn đến đồng)

A. 10035784. B.10068815. C 10080900. D 9800000.

II PHẦN TỰ LUẬN ( 12 điểm)

Câu 1 ( 3,0 điểm)

a) Tìm các số nguyên x y; thỏa mãn: 3 2

x  x y x y  b) Cho các số thực a b c; ; khác 0 thỏa mãn: ab bc ca   2020abc và 2020(a b c) 1    Tính 2021 2021 2021

P

Câu 2 ( 3,5 điểm) Giải các phương trình sau:

a) (x 1)(x 2  2  10 x 24) 144  

b) x2  3x 2 4  x 1 0 

Câu 3 ( 4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh là a ( a > 0), hai đường chéo AC và

BD cắt nhau tại I Điểm M di động trên cạnh BC ( M khác B và C), trên cạnh AB lấy điểm

N sao cho BN = CM Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại E, đường thẳng IM cắt BE tại F

a) Chứng minh rằng MIN là tam giác vuông cân

b) Chứng minh rằng CF BE.

c) Tìm vị trí điểm M trên cạnh BC để diện tích MIN nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a

Câu 4 ( 1,5 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương khác 0 thỏa mãn a b c    2 abc

Chứng minh rằng: 2 3 2 3 2 3 52

P

……… Hết………

Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:………

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

HƯỚNG DẪN CHẤM THI Năm học: 2020 - 2021 Môn: Toán 9

Lưu ý: Nếu học sinh làm cách khác, tổ chấm thống nhất cho điểm Học sinh không vẽ

hình hoặc vẽ sai không tính điểm

I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời đúng được 0,50 điểm

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm)

Câu 1

3,0 điểm

Câu 1

a Tìm các số nguyên x y; thỏa mãn: x3  x y2  2x y  2

b Cho các số thực a b c; ; khác 0 thỏa mãn: ab bc ca   2020abc

và 2020(a b c) 1    Tính P 20211 20211 20211

Điểm

a)

1,5 điểm a) Tìm các số nguyên

;

x y thỏa mãn: 3 2

x  x y x y  (1)

Ta có (1) 

2 (x 2)(x 2) x 1

2 4 2 1 ( 2 1) 5 2 1

          5 x2 1

2

2

1 1

1 5

x x

  

 

 



0 2

x x





  

Với x  0 y 2 hoặc x  2 y 2 hoặc x  2 không có y

Vậy (x; y) là (0; 2);(2; 2) 

b)

1,5 điểm

b)Cho các số thực a b c; ; khác 0 thỏa mãn: ab bc ca   2020abc

và 2020(a b c) 1    Tính P 20211 20211 20211

Từ giả thiết ta có: 1 1 1 2020;2002 1

a b c   a b c  0,25

a b c a b c

   

 

0

a b c a b c

2

(a b c)

a b a b c c

   

2 (a b)(ab ac bc c ) 0 (a b)(b c)(c a) 0

0 0 0

a b

b c

c a

 







  



0,25

2020

c

  20211 20211 1 1

( ).Q a b.Q 0



2020

P 

0,25

Tương tự b c  0;c a   0 P 2020 2021 Vậy 2021

2020

Câu 2.

3,5 điểm

Câu 2 Giải các phương trình sau:

a) (x 1)(x 2  2  10 x 24) 144  

b) x2  3x 2 4  x 1 0 

a)

1,5 điểm a)

(x 1)(x   10 x 24) 144  

 (x 1)(x 1)(x 4)(x 6) 144       (x 1)(x 6)(x 1)(x 4) 144      0,25

(x 5 x 6)(x 5 x 4) 144

      Đặt x2  5x 1 a 0,25

2 (a 5)(a 5) 144 a 169 a 13

7

x

x





           



0,25

+ Nếu a 13  x2  5x 1  13  x2  5x 12 0   x  0,25

Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S 2; 7   0,25 b)

2,0 điểm b)

x  x  x  (2)

Pt (2)  2

    

 

   



1 3

   

 

  



0,25

1 9 6 (x 3) 7 10 0(x 3)

          

2

x

Vậy phương trình (2) có tập nghiệm S  2 0,25 Câu 3

4,0 điểm

Cho hình vuông ABCD có cạnh là a ( a > 0), hai đường chéo AC

và BD cắt nhau tại I Điểm M di động trên cạnh BC ( M khác B

và C), trên cạnh AB lấy điểm N sao cho BN = CM Đường thẳng

AM cắt đường thẳng DC tại E, đường thẳng IM cắt BE tại F

a Chứng minh rằng MIN là tam giác vuông cân

b Chứng minh rằng CF BE.

c Tìm vị trí điểm M trên cạnh BC để diện tích MIN nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a

I A

D

B

M

N

F

a) Chứng minh rằng MIN là tam giác vuông cân

1,0 điểm Xét CMI và BNI có IB IC (T/C hình vuông) ; ICM IBN 45     0

; CM BN(gt)  CMI BNI(c.g.c)  IM IN  0,5

Vì CMI BNI (cmt)   NIB MIC   và   0

BIM MIC 90   0,25

BIM BIN 90 MIN 90

     Do đó MIN là tam giác vuông

b)

1,5 điểm

Chứng minh rằng CFBE.

Ta có: AB CE  AM BM

ME MC (Ta Lét); mà BN MC

(gt)  AN BM  AM AN

ME NB  MN BE (Ta Lét đảo)

0,5

Mặt khác: BMF IMC(g.g) MF BM

MC IM

Mà FMC BMI    (đđ) FMC BMI(c.g.c)  MFC MBI 45     0(2) 0,5

Từ (1) và (2) ta có: BFM MFC 45     0  45 0  90 0

c)

1,5 điểm

Tìm vị trí điểm M trên cạnh BC để diện tích MIN nhỏ nhất Tìm

giá trị nhỏ nhất đó theo a

Ta có : CMI BNI(cmt) ; tương tự : ANI BMI(c.g.c) Do đó,

2

BMIN

Nên diện tích MIN nhỏ nhất khi diện tích BMNlớn nhất 0,25

Mặt khác: . (MB NB)2 (MB CM)2 2 2

BMN

(Theo BĐT Cô si) Dấu “=” xảy ra khi MB NB  MB MC

0,5

Do đó : Diện tích MIN nhỏ nhất là GTNN 2 2 2

MIN

a a a

S    khi M là trung điểm của BC

0,25

Câu 4

1,5 điểm

Cho a,b,c là các số thực dương khác 0 thỏa mãn a b c    2 abc

Chứng minh rằng: 2 3 2 3 2 3 52

P

Ta có:a b c    2 abc

( 1) (bc b c 1) (ca c a 1) (abc ab bc ca a b c 1)

(a 1)(b 1) (b 1)(c 1) (c 1)(a 1) (a 1)(b 1)(c 1)

ab a b

           

       

1

0,5

Ta thấy : 6a2  12 4  a2  2(a 2  4) 4 4   a2  8a  4 (2a 2) 2

2

2 2 2( 1) 2 1

6 12

a



0,25

Chứng minh tương tự : 2 3 2 32 12 11

6 12

b

2

6 12

c



0,25

2 2 2

3.

P

-