Một số ứng dụng của dạng toàn phương trong thực tế. Trình bày cách đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc, chuẩn tắc

Toán cao cấp là một trong những môn học chính ở những năm đầu bậc đại học. Đặc trưng của nó là môn toán cơ sở mang tính hệ thống chặt chẽ, chính xác và trừu tượng . Vì vậy để học tập và hiểu thật kĩ môn toán cao cấp là một thách thức đối với nhiều bạn sinh viên. “Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc, chuẩn tắc. Ứng dụng của dạng toàn phương trong thực tế” là một trong những nội dung khá quan trọng và cần thiết trong chương trình học bộ môn toán cao cấp. Để hiểu sâu hơn và chính xác hơn, cũng như để được cùng các bạn sinh viên và cô giáo trao đổi, thảo luận về nội dung này, chúng em đã chọn nội dung này làm đề tài thảo luận cho nhóm.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI KHOA KẾ TOÁN – KIỂM TOÁN

  

ĐỀ TÀI THẢO LUẬN MÔN

TOÁN CAO CẤP

Đề tài:

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRONG THỰC TẾ TRÌNH BÀY CÁCH ĐƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC,

CHUẨN TẮC

Nhóm: 5

Lớp học phần: 2265FMAT0111

Người hướng dẫn: Nguyễn Thu Thủy

Hà Nam, tháng 12 năm 2022

3

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 4

PHẦN NỘI DUNG 5

CHƯƠNG IV: DẠNG TOÀN PHUƠNG 5

A LÝ THUYẾT 5

I Các khái niệm cơ bản 5

1 Mở đầu về dạng toàn phương 5

2 Dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc 6

3 Phép biến đổi tuyến tính 7

4 Giá trị riêng và vectơ riêng 7

II Đưa dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc 8

1 Phương pháp giá trị riêng 8

2 Phương pháp Jacobi 9

3 Phương pháp Lagrange 10

4 Định luật quán tính 12

B ỨNG DỤNG CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VÀO THỰC TẾ 12

I Nhận dạng đường, mặt bậc hai 12

II Ứng dụng của dạng toàn phương trong việc giải một số bài toán cực trị 15

1 Điều kiện cần và đủ của cực trị 15

2 Giải bài toán tìm cực trị không điều kiện 16

PHẦN KẾT LUẬN 17

4

LỜI MỞ ĐẦU

Toán cao cấp là một trong những môn học chính ở những năm đầu bậc đại học Đặc trưng của nó là môn toán cơ sở mang tính hệ thống chặt chẽ, chính xác

và trừu tượng Vì vậy để học tập và hiểu thật kĩ môn toán cao cấp là một thách

thức đối với nhiều bạn sinh viên “Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc, chuẩn tắc Ứng dụng của dạng toàn phương trong thực tế” là một trong những

nội dung khá quan trọng và cần thiết trong chương trình học bộ môn toán cao cấp Để hiểu sâu hơn và chính xác hơn, cũng như để được cùng các bạn sinh viên và cô giáo trao đổi, thảo luận về nội dung này, chúng em đã chọn nội dung

này làm đề tài thảo luận cho nhóm

Đề tài gồm phần lý thuyết, phần bài tập và ứng dụng trong thực tế Phần

lý thuyết đã trình bày một cách cô đọng các khái niệm cơ bản về dạng toàn phương và tập trung vào hai nội dung cơ bản: biến đổi dạng toàn phương về dạng chính tắc, chuẩn tắc và ứng dụng của dạng toàn phương trong thực tế Sau mỗi nội dung đều có ví dụ minh họa, cuối đề tài là phần bài tập gồm các bài tập

có liên quan đã được giải một cách chi tiết bằng nhiều phương pháp để thấy

được phương pháp nào là phù hợp nhất

Qua đề tài này, hy vọng rằng nó sẽ phần nào cung cấp lại cho các bạn trong nhóm cũng như các bạn sinh viên trong lớp nội dung kiến thức: Thế nào là dạng toàn phương? Có những phương pháp nào để đưa dạng toàn phương về

dạng chính tắc, chuẩn tắc? Và ứng dụng của dạng toàn phương trong thực tế

Cuối cùng, tuy nhóm chúng em đã chuẩn bị đề tài khá kỹ nhưng không thể tránh khỏi sai sót Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các bạn và cô

giáo để đề tài của chúng tôi hoàn thiện hơn

5

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG IV: DẠNG TOÀN PHƯƠNG

A LÝ THUYẾT

I Các khái niệm cơ bản

1 Mở đầu về dạng toàn phương

Định nghĩa (*): Cho n biến thực 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛

 Một tổng có dạng

F(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ≔ ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗,

n

i,j=1

(*)

trong đó 𝑎𝑖𝑗 là các số thực thỏa mãn 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 với mọi i,j = 1,2, n, gọi là một dạng toàn phương với các biến 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛

 Ma trận

𝐴  ≔ (𝑎𝑖𝑗)

𝑛×𝑚 = (

𝑎11 𝑎21 ⋯ 𝑎1𝑛

𝑎22

⋮ 𝑎22

⋮ ⋯ 𝑎2𝑛

𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛

)

gọi là ma trận của dạng toàn phương (*)

 Thông thường dạng toàn phương được cho dưới dạng

𝐹(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∶= ∑ 𝑏𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗

𝑖≤𝑗

nghĩa là nếu i < j thì: 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗 + 𝑎𝑗𝑖𝑥𝑗𝑥𝑖 = 𝑏𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗 Khi đó, các phần tử của

ma trận A được xác định bởi:

𝑎𝑖𝑖 = 𝑏𝑖𝑖 khi i = j; 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 = 𝑏𝑖𝑗

2 khi i < j

 Hạng của ma trận A gọi là hạng của dạng toàn phương (*)

 Nếu r(A) < n hay |𝐴| = 0 thì ta nói dạng toàn phương (*) là suy biến Trường hợp ngược lại: r(A) = n hay |𝐴| ≠ 0 thì ta nói dạng toàn phương

là không suy biến

 Từ giả thiết 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖, ∀𝑖, 𝑗 ta thấy ma trận A là đối xứng qua đường chéo chính, nghĩa là 𝐴 = 𝐴′

Ký hiệu vectơ n chiều ở dạng cột:

𝑋 ∶= (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)′, khi đó dạng toàn phương trên trở thành

6

𝐹(𝑋) = 𝑋′𝐴𝑋 Đây là biểu diễn ma trận của dạng toàn phương (*) Như vậy, 𝐹 ∶ 𝑅𝑛 →

𝑅 Nói cách khác, F là một hàm vectơ, xác định trên Rn, nhận các giá trị trên R

Ta luôn có 𝐹(0) = 0′𝐴0 = 0 và từ nhận xét ở cuối chương 2, ta có kết quả sau:

Mệnh đề(*): Các mệnh đề sau là tương đương:

 Dạng toàn phương 𝐹(𝑋) = 𝑋′𝐴𝑋 suy biến

 Tồn tại 𝑋 ≠ 0 trong R𝑛, sao cho 𝐹(𝑋) = 0

 r(𝐴) < 𝑛

 |𝐴| = 0

 Hệ phương trình 𝐴𝑋 = 0 có nghiệm không tầm thường

 A có ít nhất một giá trị riêng bằng 0

2 Dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc

Định nghĩa(**): Nói dạng toàn phương (*) có dạng chính tắc nếu 𝑎𝑖𝑗 =

0, ∀𝑖 ≠ 𝑗 Nói cách khác, ma trận của nó có dạng đường chéo chính:

𝐹(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∶= ∑ 𝑘𝑖𝑥𝑖2(𝑘𝑖 ∈ 𝑅)

𝑛

𝑖=1

Nếu ở dạng toàn phương chính tắc các hệ số 𝑘𝑖 chỉ nhận giá trị hoặc 1 hoặc -1 hoặc 0 thì ta nói dạng toàn phương có dạng chuẩn tắc

Ma trận của dạng toàn phương chính tắc là

𝐴 = (

𝑘1 0 0 … 0

0 𝑘2 0 … 0

… … … … …

0 0 0 … 𝑘𝑛

)

Chú ý

 Trong biểu thức của dạng chính tắc ở trên ta gọi ngắn gọn 𝑘𝑖 là hệ số của biến 𝑥𝑖

 Trong biểu thức của dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc tên gọi và số thứ tự của các biến là không thực sự quan trọng Vì thế, ta có thể vẫn dùng kí hiệu 𝑥𝑖 để chỉ các biến và có thể đổi số thứ tự của các biến đó cho nhau

Ví dụ:

7

𝐹(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = 3𝑥12 + 5𝑥22− 7𝑥32; 𝐹(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = 𝑥22− 4𝑥32(= 0𝑥12+ 𝑥22− 4𝑥32)

là các dạng toàn phương chính tắc

𝐹(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = 𝑥12+ 𝑥22− 𝑥32; 𝐹(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = 𝑥22− 𝑥32(= 0𝑥12+ 𝑥22− 𝑥32)

là các dạng toàn phương chuẩn tắc

3 Phép biến đổi tuyến tính

Dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc đơn giản hơn nhiều so với dạng toàn phương ở dạng tổng quát Vì vậy người ta thường tìm cách đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc hoặc chuẩn tắc sao cho trong quá trình đó không mất

đi những tính chất quan trọng của dạng toàn phương đó Điều này được thỏa mãn nếu trong phép biến đổi tuyến tính 𝑋 = 𝑆𝑌 (xem chương 2), ma trận biến đổi 𝑆 = (𝑠𝑖𝑗)

𝑛 × 𝑛 là không suy biến Với phép biến đổi không suy biến này, dạng toàn phương mới, kí hiệu là 𝐺(𝑌) sẽ là

𝐹(𝑋) = 𝑋′𝐴𝑋 = (𝑆𝑌)′𝐴(𝑆𝑌) = 𝑌′(𝑆′𝐴𝑆)𝑌 ∶= 𝑌′𝐵𝑌 ∶= 𝐺(𝑌)

Như vậy, các ma trận của dạng toàn phương mới và cũ liên hệ với nhau như sau:

𝐵 = 𝑆′𝐴𝑆

Dạng chính tắc 𝐹(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = ∑𝑛𝑖=1𝑘𝑖𝑥𝑖2 có thể đưa về dạng chuẩn tắc bằng phép biến đổi không suy biến 𝑦𝑖 = √|𝑘𝑖|𝑥𝑖(𝑖 = 1,2, … , 𝑛)

Nhận xét:

 Do biến X có mặt hai lần trong dạng toàn phương 𝐹(𝑋) = 𝑋′𝐴𝑋 nên mối phép biến đổi tuyến tính 𝑋 = 𝑆𝑌 sẽ tương ứng với hai lần nhân ma trận: 𝑆′ vào bên trái 𝐴, 𝑆 vào bên phải 𝐴

 Với S là ma trận biến đổi sơ cấp 𝑆(𝑖)(𝑖 = 1,2,3), khi nhân (𝑆(𝑖))′ vào bên

trái của A và đồng thời nhân (𝑆(𝑖)) vào bên phải của A thì điều đó cũng tương ứng với các phép biến đổi tuyến tính trên vectơ X Phép biến đổi như thế thực chất là biến đổi sơ cấp đồng thời trên các dòng và trên các cột của A một cách

“đối xứng”

4 Giá trị riêng và vectơ riêng

8

Ta đã biết, với A là một ma trận vuông cấp n, E là ma trận đơn vị cấp n Phương trình đại số |𝐴 − 𝑘𝐸| = 0, trog đó k là ẩn số cần tìm, goi là phương trình đặc trưng của A Phương trình đặc trưng trên có đúng n nghiệm phức Các nghiệm phức của phương trình đặc trưng là các giá trị riêng của ma trận A Nói chung, các tính chất quan trọng của A đều được quyết định bởi sự phân bố của

các giá trị riêng trên mặt phẳng phức Nếu 𝐴 = 𝐴′ thì đó là sự phân bố của các giá trị riêng trên trục thực R Ta sẽ thấy điều đó ở phần “tính xác định dấu” Giả sử k là một giá trị riêng của A, nghĩa là |𝐴 − 𝑘𝐸| = 0 Vậy hệ thuần

nhất ( 𝐴 − 𝑘𝐸)𝑋 = 0 có nghiệm không tầm thường, nghĩa là, tồn tại vectơ 𝑉 ≠

0 trong 𝑅𝑛 sao cho (𝐴 − 𝑘𝐸)𝑉 = 0 hay 𝐴𝑉 = 𝑘𝑉 Vectơ 𝑉 ≠ 0 thỏa mãn đẳng

thức này gọi là vectơ riêng của ma trận A

Người ta chứng minh đươc rằng:

Mệnh đề (**): Nếu A là một ma trận thực, đối xứng thì mọi gia riêng của A đều

là số thực

Nếu X,Y,…,Z là các vectơ riêng của A, ứng với các giá trị riêng khác nhau ℎ ≠

𝑘 ≠ ⋯ ≠ 𝑙 thì {𝑋, 𝑌, … , 𝑍} là môt hệ vectơ độc lập tuyến tính

Định nghĩa: Ma trận A vuông cấp n gọi là trực giao nếu nó khả nghịch và có

ma trận nghịch đảo đúng bằng ma trận chuyển vị Nói cách khác, ma trận vuông

A được gọi là ma trận giao nếu 𝐴′ = 𝐴−1 hay 𝐴𝐴′ = 𝐴′𝐴 = 𝐸

Chú ý

 Các ma trận trực giao đều là vuông và không suy biến

 Định thức của ma trận trực giao chỉ có thể hoặc bằng 1 hoặc bằng -1

 Các giá trị riêng của ma trận trực giao chỉ có thể hoặc bằng 1 hoặc bằng -1

 Các phép biến đổi tuyến tính với ma trận biến đổi là ma trận trực giao

sẽ được gọi một cách ngắn gọn là các phép biến đổi trực giao

II Đưa dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc

1 Phương pháp giá trị riêng

Xét dạng toàn phương F(X) = X’AX trong Rn Khi n không quá lớn hoặc

việc tìm các giá trị riêng của A không quá phức tạp, ta có thể đưa dạng toàn

phương về dạng toàn phương chính tắc theo cách sau đây

Định lí:

9

Giả sử 𝑘₁; 𝑘2; .; 𝑘𝑛 là các nghiệm, kể cả nghiệm 0 và nghiệm bội của

phương trình đặc trưng |A – kE| = 0 của dạng toàn phương F(X) = X’AX Khi đó,

G(𝑥1; 𝑥2; ; 𝑥𝑛 ):= 𝑘₁𝑥12 + 𝑘2𝑥22 + 𝑘𝑛𝑥𝑛2 là một dạng toàn phương chính tắc của

dạng toàn phương nói trên

Ví dụ 2: Đưa dạng toàn phương sau về dạng toàn phương chính tắc,

chuẩn tắc

F(𝑥1; 𝑥2; 𝑥3) = 4𝑥12 + 4𝑥22 − 8𝑥32 − 10𝑥₁𝑥₂ + 4𝑥₂𝑥₃ + 4𝑥₃𝑥₁

Lời giải Ma trận của dạng toàn phương này là

(

)

Phương trình đặc trưng:

|A-kE| = [

] = 0 ⇔ k = 9;k=−9;k=0

Vậy, dạng toàn phương chính tắc là:

G(𝑦1, 𝑦2, 𝑦₃) = 9𝑦12 − 9𝑦22 + 0𝑦32 = 9𝑦12 − 9𝑦22

Đặt tiếp {

𝑥₁ = 3𝑦₁ 𝑥₂ = 3𝑦₂

𝑥3 = 𝑦₃

, ta có dạng toàn phương chuẩn tắc:

H(𝑧1; 𝑧2; 𝑧3) = 𝑧12 − 𝑧22 + 0𝑧32 = 𝑧12 − 𝑧22 Như đã lưu ý ở phần trên, ta có thể dùng lại các biến là 𝑥1; 𝑥2; 𝑥3

Ta có: H(𝑥1; 𝑥2; 𝑥3) = 𝑥12 − 𝑥22 + 0𝑥32 = 𝑥12 − 𝑥22

Nhận xét: Với n > 2, việc tìm các giá trị riêng của ma trận A nói chung là khó

Đó là hạn chế lớn nhất của phương pháp nói trên

2 Phương pháp Jacobi

Cho ma trận:

1

n ij

Các định thức con chính của A là:

10

1 11

11 12 2

21 22

3

| |

D





Định lí Jacobi: Nếu ma trận của một dạng toàn phương có các định thức con

chính 𝐷𝑖 ≠ 0∀𝑖 = 1,2, … 𝑛 thì dạng toàn phương chính tắc của nó là:

G(𝑦1, 𝑦2, … 𝑦𝑛)=𝐷1𝑦12+𝐷2

𝐷1𝑦22 + ⋯ + 𝐷𝑛

𝐷𝑛−1𝑦𝑛2

Phương pháp:

 Bước 1: Viết ma trận của dạng toàn phương

 Bước 2: Tính các định thức con chính

 Bước 3: Kiểm tra điều kiện các định thức con chính đều khác 0 và thay vào công thức của dạng toàn phương chính tắc

G(𝑦1, 𝑦2, … 𝑦𝑛)=𝐷1𝑦12+𝐷2

𝐷1𝑦22 + ⋯ + 𝐷𝑛

𝐷𝑛−1𝑦𝑛2

Ví dụ 1: Đưa dạng toàn phương sau về dạng toàn phương chính tắc:

𝐹(𝑥1; 𝑥2; 𝑥3) = 𝑥12 − 2𝑥22+ 𝑥32+ 2𝑥1𝑥2+ 4𝑥1𝑥3+ 2𝑥2𝑥3

Ma trận của dạng toàn phương: A=(

)

Các định thức con chính : 𝐷1 = 1; 𝐷2 = |1 1

1 −2| = −2 − 1 = −3;

𝐷3 = |

|= − 2 + 2 + 2 + 8 – 1 – 1 = 8

Các định thức con chính đều khác 0, ta có dạng toàn phương chính tắc:

G(𝑦1, 𝑦2, … 𝑦𝑛)=𝐷1𝑦12+𝐷2

𝐷1𝑦22+𝐷3

𝐷2𝑦32 = 𝑦12− 3𝑦22−8

3𝑦32

3 Phương pháp Lagrange

Nội dung của phương pháp này là: thực hiện liên tiếp các phép biến đổi tuyến tính (theo cách đặt Lagrange), không suy biến, đưa dạng toàn phương ở

11

dạng tổng quát về dạng chính tắc mà ở mỗi bước biến đổi tất cả các tích chéo của một biến nào đó sẽ biến mất khỏi tổng

a) Trường hợp 1: Tồn tại ít nhất một hệ số 𝑎𝑖𝑖 ≠ 0, không mất tính tổng quát Giả sử 𝑎11≠ 0

F (𝑥₁, 𝑥₂, , 𝑥𝑛) = ∑𝑛𝑖,𝑗=1𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗

=𝑎11 [𝑥12 + 2𝑥₁ ∑ 𝑎𝑖1

𝑎11

𝑛 𝑖=2 𝑥𝑖 ] + những số hạng không chứa 𝑥₁

=𝑎11 [𝑥12 + 2𝑥₁ ∑ 𝑎𝑖1

𝑎11

𝑛 𝑖=2 𝑥𝑖 ] 2+ 𝑔 (𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑛)

Đặt {

𝑦1 = 𝑥12 + 2𝑥₁ ∑ 𝑎𝑖1

𝑎11

𝑛 𝑖=2 𝑥𝑖

𝑦2 = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝑥2

𝑦3 = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝑔 Khi đó: F (𝑥₁, 𝑥₂, , 𝑥𝑛) = G((𝑦1, 𝑦2, 𝑦₃) = 𝑎11𝑦12 + 𝑔(𝑦2, 𝑦3, ⋯ 𝑦𝑛) Vậy chỉ cần xét tiếp dạng toàn phương n−1 biến 𝑔(𝑦2, 𝑦3, ⋯ 𝑦𝑛) Tiếp tục quá trình trên nhận được kết quả n−1 bước

b) Trường hợp 2: 𝑎𝑖𝑖 = 0, ∀𝑖 = 1, 𝑛̅̅̅̅̅ và có 𝑎𝑖𝑗 ≠ 0 Giả sử 𝑎12 ≠ 0

Trường hợp này có thể đưa về dạng a) bằng cách đặt:

{

𝑥1 = 𝑦1 + 𝑦2

𝑥2 = 𝑦1 − 𝑦2

𝑥3 = 𝑦3

⋯

𝑥𝑛 = 𝑦𝑛

Nhận xét:

 Phương pháp Lagrange tuy chậm nhưng chắc chắn đưa được dạng toàn phương về dạng chính tắc

 Trong quá trình biến đổi phải chú ý ở mỗi bước biến đổi tất cả các tích chéo của một biến nào đó sẽ biến mất

 Trong quá trình biến đổi chú ý giữ nguyên số biến

Ví dụ: Đưa dạng toàn phương về chính tắc, chuẩn tắc:

F(𝑥1; 𝑥2; 𝑥3) = 𝑥12 + 4𝑥22 + 4𝑥32 + 4𝑥₁𝑥₂ + 4𝑥₁𝑥₃ + 16𝑥₂𝑥₃

Lời giải Vì 𝑎11 = 1 ≠ 0 và F(𝑥1; 𝑥2; 𝑥3) = (𝑥₁ + 2𝑥₂ + 2𝑥₃)2 + 8𝑥2𝑥3 nên ta đặt:

12

{

𝑦₁ = 𝑥₁ + 2𝑥₂ + 2𝑥₃

𝑦₂ = 𝑥₂ 𝑦₃ = 𝑥₃

Dạng toàn phương trở thành G(𝑦1, 𝑦2, 𝑦₃) = 𝑦12+8𝑦₂𝑦₃ Đặt tiếp:

{

𝑦₁ = 𝑧₁ 𝑦₂ = 𝑧₂ + 𝑧₃ 𝑦₃ = 𝑧₂ − 𝑧₃

Ta sẽ có dạng chính tắc: H(𝑧1; 𝑧2; 𝑧3) = 𝑧12 + 8𝑧22 −8𝑧32 Đặt tiếp:

{

𝑡₁ = 𝑧₁ 𝑡₂ = √8𝑧₂ 𝑡₃ = √8𝑧₃

Ta sẽ có dạng chính tắc: F(𝑥1; 𝑥2; 𝑥3) = K(𝑡1; 𝑡2; 𝑡3) = 𝑡12 + 𝑡22 −𝑡32

4 Định luật quán tính

Số các hệ số mang dấu dương, số hệ số mang dấu âm và số hệ số bằng không của dạng toàn phương chính tắc nhận được là không đổi khi ta đưa một dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc bằng các phép biến đổi tuyến

tính không suy biến khác nhau

B ỨNG DỤNG CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VÀO THỰC TẾ

I Nhận dạng đường, mặt bậc hai

Phép biến đổi trực giao

Xét không gian vectơ R𝑛 với cơ sở trực chuẩn Phép biến đổi tuyến tính có ma trận biến đổi là ma trận trực giao được gọi là phép biến đổi trực giao Phép biến đổi như vậy có rất nhiều ưu điểm vì nó bảo toàn được nhiều tính chất quan trọng của đối tượng, được mô tả bởi dạng toàn phương đó Ma trận biến đổi trực giao

thường được lập từ hệ các vectơ riêng, độc lập tuyến tính của ma trận A Véc tơ

X = (𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑛 ) có độ dài bằng 1, nghĩa là (𝑥12 + 𝑥22+ ⋯ + 𝑥𝑛2)1 2⁄ = 1 được gọi là vectơ chuẩn hóa

Người ta chứng minh được kết quả sau:

Định lí: Xét dạng toàn phương F(X)=X’AX Nếu ma trận của phép biến đổi

tuyến tính có các cột là các véc tơ riêng độc lập tuyến tính của ma trận A thì bằng phép biến đổi đó sẽ đưa được dạng toàn phương đã cho về dạng chính tắc

13

Nếu ma trận của phép biến đổi tuyến tính có các cột là các véc tơ riêng độc lập tuyến tính chuẩn hóa thì đó là ma trận trực giao đưa được dạng toàn phương đã cho về dạng toàn phương chính tắc

Duới đây, ta đưa ra một ví dụ về việc tìm một ma trận trực giao từ các vectơ riêng để đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

Ví dụ: Cho dạng toàn phương F(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = 𝑥12+ 2𝑥22 + 3𝑥32+ 4𝑥1𝑥2 + 4𝑥2𝑥3 Đưa dạng toàn phương này về dạng toàn phương này về dạng toàn phương chính tắc bằng ma trận biến đổi là ma trận được lập từ các vectơ riêng

độc lập tuyến tính của ma trận A

Lời giải Ta có

A = (

)

Các giá trị riêng của A là 𝑘1 = −1; 𝑘2 = 2; 𝑘3 = 5 Với k = 𝑘1 = −1, ta tìm được

vectơ riêng V ở dạng V = (𝑎, 𝑏, 𝑐)′ sao cho

(

) (

𝑎 𝑏 𝑐 ) = (

0 0 0 )

Lấy c = 1 ta được b = −2; a = 2 Vậy 𝑉1 = (2, −2, 1)′ Tương tự vơi k = 𝑘2= 2 tìm được vectơ riêng tương ứng 𝑉2 = (−2, −1,1)′, với k = 𝑘3= 5 tìm được 𝑉3 = (1,2,2)′ Do đó

S = (𝑉1|𝑉2|𝑉3) = (

−2 −1 2

)

Gọi cơ sở cũ là E cơ sở mới là F Như đã nói ở trên, trong cơ sở mới F, nhận được từ cơ sở E bằng ma trận đổi cơ sở S, ma trận của dạng toàn phương là

B = S’AS = (−90 180 00

)

Đây là một ma trận có dạng đường chéo chính Vậy dạng toàn phương chính tắc

là

F(X) = G(Y) = −9𝑦12+ 18𝑦22+ 45𝑦32

Dạng toàn phương chuẩn tắc là