B.CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh đẳng thức.. Rút gọn biểu thức Bài 1... Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu... Chứng minh đẳng thức... Dạng toán Chứng
Trang 1Ngày dạy: 10/10/2023, 15/10/2023
Buổi 4,5: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
A.KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 = 𝑎𝑎2+ 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2
(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)2 = 𝑎𝑎2− 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2
𝑎𝑎2− 𝑏𝑏2 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) = (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)
(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)3 = 𝑎𝑎3+ 3𝑎𝑎2𝑏𝑏 + 3𝑎𝑎𝑏𝑏2+ 𝑏𝑏3
(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)3 = 𝑎𝑎3− 3𝑎𝑎2𝑏𝑏 + 3𝑎𝑎𝑏𝑏2− 𝑏𝑏3
𝑎𝑎3+ 𝑏𝑏3 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(𝑎𝑎2− 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2)
𝑎𝑎3− 𝑏𝑏3 = (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎2+ 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2)
B.CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức Rút gọn biểu thức
Bài 1 Khai triển biểu thức sau
a) (2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦)2; b) (𝑥𝑥𝑦𝑦 − 3)2; c) (2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2; d) (𝑥𝑥 + 3)2;
e) �𝑥𝑥 −13�2; f) (3𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2
g) (2 − 𝑥𝑥𝑦𝑦)2; h) (𝑥𝑥2+ 2)2 i) �𝑥𝑥 −12𝑥𝑥2𝑦𝑦�2; k) (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 2)2 m) (4𝑥𝑥 + 7)2; n) �6𝑥𝑥 −13𝑦𝑦�2;
o) (𝑥𝑥 + 1)2 p) (2𝑥𝑥 − 1)2; q) �12𝑥𝑥 + 4�2; r) (7𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦)2;
s) (3 − 𝑦𝑦)2; t) �𝑥𝑥 −12�2
Bài 2 Tính:
a) (𝑥𝑥 − 3)(3 + 𝑥𝑥); b) (2𝑥𝑥𝑦𝑦2 − 1)(1 + 2𝑥𝑥𝑦𝑦2); c) (6𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2)(𝑦𝑦2− 6𝑥𝑥2);
d) (𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦)2; e) (𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦)(𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦); f) (2𝑥𝑥𝑦𝑦 − 1)(2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 1);
g) 2 �12𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦� (𝑥𝑥2− 2𝑦𝑦)
h) (3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦)(3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦); i) 2 �𝑥𝑥2 +12𝑦𝑦� (2𝑥𝑥2− 𝑦𝑦)
k) (3𝑥𝑥2− 5𝑥𝑥𝑦𝑦3)(3𝑥𝑥2+ 5𝑥𝑥𝑦𝑦3)
Bài 3 Thực hiện phép tính
a) (4𝑥𝑥 + 5)(16𝑥𝑥2
− 20𝑥𝑥 + 25) b)�6𝑥𝑥 −13� �36𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥 +19� c)�6𝑥𝑥 +12� �36𝑥𝑥2− 3𝑥𝑥 +14�; d) (𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦2)(𝑥𝑥2+ 5𝑥𝑥𝑦𝑦2 + 25𝑦𝑦4) e)(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥 + 4); f)(2𝑥𝑥 + 1)(4𝑥𝑥2− 2𝑥𝑥 + 1) g) �1 −𝑥𝑥2� �1 +𝑥𝑥2+𝑥𝑥42�; h) �𝑦𝑦 −𝑥𝑥𝑦𝑦� �𝑦𝑦2+ 𝑥𝑥 +𝑥𝑥𝑦𝑦22� i) 𝑀𝑀 = (𝑥𝑥 +
3)(𝑥𝑥2− 3𝑥𝑥 + 9)
k)𝑁𝑁 = (1 − 3𝑥𝑥)(1 + 3𝑥𝑥 + 9𝑥𝑥2) m)𝑃𝑃 = �𝑥𝑥 −12� �𝑥𝑥2+𝑥𝑥2+14� n)𝑄𝑄 = (2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦)(4𝑥𝑥2−
6𝑥𝑥𝑦𝑦 + 9𝑦𝑦2)
o) (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥2+ 3𝑥𝑥 + 9); p) (3𝑥𝑥 − 1)(9𝑥𝑥2+ 3𝑥𝑥 + 1); q) �1 −𝑥𝑥2� �1 +𝑥𝑥2+
𝑥𝑥2
4�;
Bài 4 Tính:
a) (2𝑥𝑥2+ 5𝑦𝑦)3; b) (3𝑥𝑥3− 4𝑥𝑥𝑦𝑦)3; c) (5𝑥𝑥 + 1)3; d) (𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦)3;
e) (𝑥𝑥 + 3)3; f) �𝑥𝑥 −13�3; g) (𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦)3; h) �𝑥𝑥 +𝑦𝑦32�3
Bài 5 Rút gọn các biểu thức sau
a) 𝑀𝑀 = (𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦)2− (𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦)2; b) 𝑄𝑄 = (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2− 4(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦) + 4(𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦)2
c) 𝐴𝐴 = (𝑥𝑥 + 2)3+ (𝑥𝑥 − 2)3− 2𝑥𝑥(𝑥𝑥2+ 12); d) 𝐵𝐵 = (𝑥𝑥𝑦𝑦 + 2)3− 6(𝑥𝑥𝑦𝑦 + 2)2+ 12(𝑥𝑥𝑦𝑦 + 2) −
8
e) 𝐴𝐴 = (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥2+ 3𝑥𝑥 + 9) − (𝑥𝑥3+ 3); f) 𝐵𝐵 = (2𝑥𝑥 + 1)(4𝑥𝑥2− 2𝑥𝑥 + 1) − 8 �𝑥𝑥 +
1
2� �𝑥𝑥2−12𝑥𝑥 +14�
c) 𝐶𝐶 = (𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦)(𝑥𝑥2− 2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 4𝑦𝑦2) − (2𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥)(4𝑦𝑦2+ 6𝑥𝑥𝑦𝑦 + 9𝑥𝑥2
)
Trang 2Bài 7 Rút gọn biểu thức
a) 𝐴𝐴 = (2𝑥𝑥 − 3)2− (2𝑥𝑥 + 3)2; b) 𝐵𝐵 = (𝑥𝑥 + 1)2− 2(2𝑥𝑥 − 1)(1 + 𝑥𝑥) + 4𝑥𝑥2− 4𝑥𝑥 + 1 c) 𝐶𝐶 = (2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2− (2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2; d) 𝐷𝐷 = (𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦)2− 4(𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦)𝑦𝑦 + 4𝑦𝑦2
Bài 8 Rút gọn biểu thức:
a) 𝑃𝑃 = (2𝑥𝑥 − 1)(4𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥 + 1) + (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥2− 𝑥𝑥 + 1);
b) 𝑄𝑄 = (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(𝑥𝑥2+ 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦2) − (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)(𝑥𝑥2− 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦2) + 2𝑦𝑦3
a) 𝐴𝐴 = (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥2− 2𝑥𝑥 + 4) − 𝑥𝑥3+ 2;
b) 𝐵𝐵 = (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥2+ 𝑥𝑥 + 1) − (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥2− 𝑥𝑥 + 1);
c) 𝐶𝐶 = (2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(4𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦2) + (𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥)(𝑦𝑦2+ 3𝑥𝑥𝑦𝑦 + 9𝑥𝑥2)
Bài 9 Rút gọn các biểu thức
a)(3𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)(9𝑥𝑥2− 3𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦2) − (3𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)3− 27𝑥𝑥2𝑦𝑦
b) (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2− (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2; c) 2(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) + (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2+ (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2
Bài 10 Khai triển các biểu thức sau
a) 𝐶𝐶 = (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)2; b) 𝐷𝐷 = (𝑎𝑎 + 1 − 𝑏𝑏)2
Bài 11 Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của 𝑥𝑥
a) 𝐴𝐴 = 6(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥2− 2𝑥𝑥 + 4) − 6𝑥𝑥3 − 2; b) 𝐵𝐵 = 2(3𝑥𝑥 + 1)(9𝑥𝑥2− 3𝑥𝑥 + 1) − 54𝑥𝑥3
Bài 12 Chứng minh các đẳng thức sau
a) (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)2 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2− 4𝑎𝑎𝑏𝑏; b) (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2+ (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2= 2(𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2)
c) (𝑎𝑎2− 1)2+ 4𝑎𝑎2 = (𝑎𝑎2+ 1)2 d) (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2+ (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2+ 2(𝑥𝑥2− 𝑦𝑦2) = 4𝑥𝑥2
Dạng 2: Viết biểu thức dưới dạng tích
Bài 1 Viết các biểu thức dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu
a) 𝑥𝑥2+ 6𝑥𝑥 + 9; b) 9𝑥𝑥2− 6𝑥𝑥 + 1; c) 𝑥𝑥2𝑦𝑦2+ 𝑥𝑥𝑦𝑦 +14; d) (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2+ 6(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) + 9 e) 𝑥𝑥2− 10𝑥𝑥 + 25; f) 49 + 𝑥𝑥2+ 14𝑥𝑥; g) 𝑥𝑥2+ 𝑥𝑥 +14
Bài 2 Viết các biểu thức dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu
a) 𝑥𝑥2+ 8𝑥𝑥 + 16; b) 9𝑥𝑥2− 24𝑥𝑥 + 16;
c) 𝑥𝑥2− 3𝑥𝑥 +94; d) 4𝑥𝑥2𝑦𝑦4− 4𝑥𝑥𝑦𝑦3 + 𝑦𝑦2;
e) (𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦)2− 4(𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦) + 4; f) (𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦)2− 12𝑥𝑥𝑦𝑦
Bài 3 Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu
a) 𝑥𝑥2− 6𝑥𝑥𝑦𝑦 + 9𝑦𝑦2; b) 4𝑥𝑥2+ 4𝑥𝑥 + 1 c) 𝑥𝑥2+ 4𝑥𝑥 + 4; d) 4𝑥𝑥2− 4𝑥𝑥 + 1; e) 𝑥𝑥2− 𝑥𝑥 +14; f) 4(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2− 4(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) + 1
Bài 4 Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc hiệu:
a) −𝑥𝑥3+ 3𝑥𝑥2− 3𝑥𝑥 + 1; b) 𝑥𝑥3+ 𝑥𝑥2+13𝑥𝑥 +271;
c) 𝑥𝑥6− 3𝑥𝑥4𝑦𝑦 + 3𝑥𝑥2𝑦𝑦2− 𝑦𝑦3; d) (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)3+ (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2+13(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) +271
Bài 5 Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) 𝑥𝑥3− 9𝑥𝑥2+ 27𝑥𝑥 − 27; b) −𝑥𝑥83+34𝑥𝑥2−32𝑥𝑥 + 1; c) 𝑥𝑥6−32𝑥𝑥4𝑦𝑦 +34𝑥𝑥2𝑦𝑦2 −18𝑦𝑦3
Bài 6 Viết các biểu thức sau dưới dạng tích:
a) 𝑥𝑥3+ 27; b) 𝑥𝑥3 −18; c) 8𝑥𝑥3+ 𝑦𝑦3; d) 8𝑥𝑥3 − 27𝑦𝑦3
a) 𝑥𝑥3− 9𝑥𝑥2+ 27𝑥𝑥 − 27; b) −𝑥𝑥83+34𝑥𝑥2−32𝑥𝑥 + 1; c) 𝑥𝑥6−32𝑥𝑥4𝑦𝑦 +34𝑥𝑥2𝑦𝑦2 −18𝑦𝑦3
Bài 7 Viết các biểu thức sau dưới dạng tích:
a) 𝑥𝑥3+ 1; b) 𝑥𝑥3 −271; c) 𝑥𝑥3 − 27𝑦𝑦3; d) 27𝑥𝑥3+ 8𝑦𝑦3
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức
Bài 1 Tính giá trị của biểu thức 𝑄𝑄 = 9𝑥𝑥2+ 6𝑥𝑥 + 1 trong mỗi trường hợp sau
a) 𝑥𝑥 = 33; b) 𝑥𝑥 =−13; c) 𝑥𝑥 = −113
Bài 1 Tính giá trị biểu thức:
a) 𝐴𝐴 = −𝑥𝑥3+ 6𝑥𝑥2− 12𝑥𝑥 + 8 tại 𝑥𝑥 = −28; b) 𝐵𝐵 = 8𝑥𝑥3+ 12𝑥𝑥2+ 6𝑥𝑥 + 1 tại 𝑥𝑥 = 12; c) 𝐶𝐶 = (𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦)3− 6(𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦)2+ 12(𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦) − 8 tại 𝑥𝑥 = 20, 𝑦𝑦 = 1
d) 𝑀𝑀 = (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥2− 3𝑥𝑥 + 9) − (3 − 2𝑥𝑥)(4𝑥𝑥2+ 6𝑥𝑥 + 9) tại 𝑥𝑥 = 20;
Trang 3e) 𝑁𝑁 = (𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦)(𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 4𝑦𝑦2) + 16𝑦𝑦3 biết
Bài 4 Tính giá trị biểu thức:
a) 𝑀𝑀 = 8𝑥𝑥3− 12𝑥𝑥2+ 6𝑥𝑥 − 1 tại 𝑥𝑥 = 25,5; b) 𝑁𝑁 = 1 − 𝑥𝑥 +𝑥𝑥32−𝑥𝑥273 tại 𝑥𝑥 = −27; c) 𝑄𝑄 =𝑥𝑥𝑦𝑦33+ 6𝑥𝑥𝑦𝑦22+ 12𝑥𝑥𝑦𝑦+ 8 tại 𝑥𝑥 = 36, 𝑦𝑦 = 2
Bài 5 Tính giá trị của biểu thức
a) 𝑁𝑁 = 𝑥𝑥2 − 10𝑥𝑥 + 25 tại 𝑥𝑥 = 55; b) 𝑃𝑃 =𝑥𝑥44− 𝑥𝑥2𝑦𝑦 + 𝑦𝑦2 tại 𝑥𝑥 = 4; 𝑦𝑦 =12
Bài 9 Tính giá trị biểu thức:
a) 𝑃𝑃 = (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥2− 4𝑥𝑥 + 16) − (64 − 𝑥𝑥3) tại 𝑥𝑥 = 100;
b) 𝑄𝑄 = (2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(4𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦2) + 2𝑦𝑦3 biết 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 0
Bài 22.a) Rút gọn, tính giá trị của bt với 𝑥𝑥 = −19 𝐴𝐴 = (3𝑥𝑥 + 2)2+ (2𝑥𝑥 − 7)2− 2(3𝑥𝑥 + 2)(2𝑥𝑥 + 5)
b) Rút gọn, tính giá trị của biểu thức với 𝑥𝑥 = 15 𝐵𝐵 = (3𝑥𝑥 − 1)2− (𝑥𝑥 + 7)2− 2(2𝑥𝑥 − 5)(2𝑥𝑥 + 5) c)Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức 𝐴𝐴 với 𝑥𝑥 = −15.𝐴𝐴 = 5(𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 3) + (2𝑥𝑥 + 3)2+ (𝑥𝑥 − 6)2
Bài 2 Tính bằng cách hợp lí:
a) Tính 113− 1; b) Tính giá trị biểu thức 𝑥𝑥3− 𝑦𝑦3 biết 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 6 và 𝑥𝑥 ⋅ 𝑦𝑦 = 9
Dạng 4: Tính nhanh
Bài 1 Tính nhanh
a) 1012; b) 752− 50 ⋅ 75 + 252; c) 103 ⋅ 97
a) 982; b) 632− 372; c) 1052;
a) 972− 9 b) 392+ 78 ⋅ 61 + 612; c) 502− 49 ⋅ 51
Bài 2 Tính nhanh
a) 1013; b) 983+ 6 ⋅ 982+ 12 ⋅ 98 + 8;
c) 993; d) 133− 9 ⋅ 132+ 27 ⋅ 13 − 27
Bài 3 Tính nhanh
a) 1032; b) 962+ 8 ⋅ 96 + 42; c) 99 ⋅ 101
a) 5012; b) 882+ 24 ⋅ 88 + 122; c) 52 ⋅ 48
Bài 4 Tính nhanh:
a) 513; b) 893+ 33 ⋅ 892+ 3 ⋅ 121 ⋅ 89 + 113; c) 233− 9 ⋅ 232+ 27 ⋅ 23 − 27
C BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1 Khai triển các biểu thức sau
a) 𝐴𝐴 = (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧)2; ĐS: 𝐴𝐴 = 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2+ 𝑧𝑧2+ 2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 2𝑦𝑦𝑧𝑧 + 2𝑧𝑧𝑥𝑥
b) 𝐵𝐵 = (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐)2 ĐS: 𝐵𝐵 = 𝑎𝑎2+ 𝑏𝑏2+ 𝑐𝑐2− 2𝑎𝑎𝑏𝑏 − 2𝑎𝑎𝑐𝑐 + 2𝑏𝑏𝑐𝑐
Bài 2 Chứng minh rằng (2𝑛𝑛 + 3)2− (2𝑛𝑛 − 1)2 chia hết cho 8 với 𝑛𝑛 ∈ ℤ
Bài 3 Tính giá trị biểu thức:
a) 𝐴𝐴 = (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)3+ 𝑥𝑥3 biết 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 0; b) 𝐵𝐵 = 𝑥𝑥3− 𝑦𝑦3− 3𝑥𝑥𝑦𝑦 biết 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 1
c) Cho 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 15 và 𝑥𝑥𝑦𝑦 = −100 Tính giá trị của biểu thức 𝐵𝐵 = 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2
d) Cho 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 1, tính giá trị của biểu thức 𝑀𝑀 = 2(𝑥𝑥3 − 𝑦𝑦3) − 3(𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2)
e) Cho a + b =1 Hãy tính giá trị của biểu thức 𝑁𝑁 = 𝑎𝑎3+ 𝑏𝑏3 + 3𝑎𝑎𝑏𝑏
Bài 4: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) 𝐴𝐴 = 2(𝑚𝑚 3 + 𝑛𝑛 3 ) − 3(𝑚𝑚 2 + 𝑛𝑛 2 ), với m + n = 1;
b) 𝐵𝐵 = 2𝑚𝑚 6 + 3𝑚𝑚 3 𝑛𝑛 3 + 𝑛𝑛 6 + 𝑛𝑛 3 , với 𝑚𝑚 3 + 𝑛𝑛 3 = 1.
c) 𝐶𝐶 = (𝑎𝑎 − 1) 3 − 4𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 1)(𝑎𝑎 − 1) + 3(𝑎𝑎 − 1)(𝑎𝑎 2 + 𝑎𝑎 + 1), với a = -3;
d) 𝐷𝐷 = (𝑦𝑦 − 1)(𝑦𝑦 − 2)(1 + 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 2 )(4 + 2𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 2 ), với y = 1
Bài 5 a) Chứng minh 𝐴𝐴3+ 𝐵𝐵3 = (𝐴𝐴 + 𝐵𝐵)3− 3𝐴𝐴𝐵𝐵(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) và 𝐴𝐴3− 𝐵𝐵3 = (𝐴𝐴 − 𝐵𝐵)3+ 3𝐴𝐴𝐵𝐵(𝐴𝐴 − 𝐵𝐵) b) Áp dụng để tính 1013− 1
c) Tính giá trị biểu thức 𝑥𝑥3+ 𝑦𝑦3 biết 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 2 và 𝑥𝑥 ⋅ 𝑦𝑦 = −3
Bài 6 Chứng minh đẳng thức
Trang 43(𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2+ 𝑧𝑧2) − (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2− (𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)2− (𝑧𝑧 − 𝑥𝑥)2 = (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧)2
.; (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2− (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2
= 4𝑥𝑥𝑦𝑦
(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)3− (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)3 = 2𝑦𝑦(3𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2) ; 𝑎𝑎3+ 𝑏𝑏3 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)[(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)2+ 𝑎𝑎𝑏𝑏]
Bài 7 Cho 𝑎𝑎2+ 𝑏𝑏2+ 𝑐𝑐2 = 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏𝑐𝑐 + 𝑐𝑐𝑎𝑎 Chứng minh rằng 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐
Bài 8 : Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng : 𝑎𝑎3+ 𝑏𝑏3+ 𝑐𝑐3 = 3𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐
Cho a + b + c = 0 và 𝑎𝑎2+ 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 = 10 Tính 𝑎𝑎4 + 𝑏𝑏4+ 𝑐𝑐4
Dạng toán Chứng minh bất đẳng thức; tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức
Bài 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
a) 𝑀𝑀 = 𝑥𝑥2− 4𝑥𝑥 + 5; b) 𝑁𝑁 = 𝑦𝑦2− 𝑦𝑦 − 3; c) 𝑃𝑃 = 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2− 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 7
a) 𝑃𝑃 = 𝑥𝑥2− 6𝑥𝑥 + 11; b) 𝑄𝑄 = 𝑦𝑦2+ 𝑦𝑦; c) 𝐾𝐾 = 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2− 6𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 10
Bài 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
a) 𝐴𝐴 = 𝑥𝑥2− 4𝑥𝑥 + 6; b) 𝐵𝐵 = 𝑦𝑦2− 𝑦𝑦 + 1; c) 𝐶𝐶 = 𝑥𝑥2− 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦2− 𝑦𝑦 + 5
d)𝑃𝑃 = 𝑥𝑥2+ 10𝑥𝑥 + 28 e)𝑄𝑄 = 5𝑥𝑥2− 10𝑥𝑥
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
𝐴𝐴 = −𝑥𝑥2− 6𝑥𝑥 + 1 𝐵𝐵 = 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2+ 5 𝑃𝑃 = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2− 1
Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) 𝐴𝐴 = 4𝑥𝑥2− 12𝑥𝑥 + 10; b) 𝐵𝐵 = 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2− 2
Bài 5: Chứng minh
a) Biểu thức 4𝑥𝑥2− 4𝑥𝑥 + 3 luôn dương với mọi 𝑥𝑥 b) Biểu thức 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦2− 1 luôn âm với mọi 𝑦𝑦
Bài 6 Chứng minh giá trị của biểu thức 𝑃𝑃 = 𝑥𝑥2− 2𝑥𝑥 + 3 luôn luôn dương với mọi 𝑥𝑥
Bài 7 Chứng minh giá trị của biểu thức 𝑄𝑄 = 6𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2− 10 luôn luôn âm với mọi giá trị của 𝑥𝑥
Bài 8 Chứng tỏa) 𝑥𝑥2− 6𝑥𝑥 + 10 > 0 với mọi 𝑥𝑥; b) 4𝑦𝑦 − 𝑦𝑦2− 5 < 0 với mọi 𝑦𝑦